LES DÉTERMINANTS DE MATRICES
2- Le déterminant d'une matrice . 3- Calcul du déterminant pour une matrice ... Déterminants de matrices carrées de dimensions 4x4 et plus .
Cours de mathématiques - Exo7
Le déterminant permet de savoir si une matrice est inversible ou pas et de façon plus générale
Matrices déterminants 1. Les matrices
Dans tout ce cours on fixe un corps K : soit R
L1 MASS : Alg`ebre Linéaire Cours 9 mars 2006 Déterminants
Seules les matrices carrées ont des déterminants. Déterminants d'ordre 1 2 et 3. Le déterminant d'une matrice 1 × 1 est son coefficient
MAT 1200: Introduction à lalgèbre linéaire
Les déterminants et les matrices inversibles Notes de cours chapitre 5 . ... Soit A = (a11) une matrice de type 1 × 1 le déterminant de A est.
Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique
Inverse d'une matrice. Critère d'inversibilité : le déterminant. 2. Pivot de Gauss sur les matrices. But de l'algorithme. Présentation de la méthode.
Déterminant
On retrouve ici qu'une matrice triangulaire est inversible si et seulement si tous ces coefficients diagonaux sont non nuls. 2.3 Déterminant d'une famille de
Déterminants
3.2 Propriétés du déterminant grâce aux matrices élémentaires et à Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . 4 PCSI de l'Essouriau 19-20
ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE
de l'artillerie il rédige un cours de mathématiques à l'usage de la marine et Deux matrices semblables ont même trace
Chapitre 3 - Déterminants - Cours
Lycée Blaise Pascal - TSI 2 - Jérôme Von Buhren - http://vonbuhren.free.fr. CHAPITRE 3. Déterminants. Plan du chapitre. I Déterminant d'une matrice carrée .
LES DÉTERMINANTS DE MATRICES - HEC Montréal
confusion entre deux matrices contenant le même nombre d'entrées Par exemple une matrice de dimension 34 possède 3 rangées et 4 colonnes Celle?ci serait distincte d'une matrice 43 qui a 4 rangées et 3 colonnes quoiqu'elle compte également 12 entrées
Déterminant (mathématiques) : définition de Déterminant
Le déterminant permet de savoir si une matrice est inversible ou pas et de façon plus générale joue un rôle important dans le calcul matriciel et la résolution de systèmes linéaires Dans tout ce qui suit nous considérons des matrices à coef?cients dans un corps commutatif K les principaux exemples étant K = R ou K = C Nous
1 Qu'est-ce que le déterminant d'une matrice? - univ-toulousefr
Proposition 1 3 Le déterminant d'une matrice est nul dès lors que deux olonnesc de ettec matrice sont identiques La preuve de cette proposition nécessite deux résultats intermédiaires Lemme 1 4 Le déterminant d'une matrice est nul dès lors que deux olonnces onséccutives de ettec matrice sont identiques 2
Chapitre 3 : Les matrices - Claude Bernard University Lyon 1
Une matrice carrée D = dij est dite diagonale si tous ses éléments non diagonaux sont nuls Une telle matrice est fréquemment notée D =diag(d11d22 dnn) où certains ou tous les scalaires dii peuvent être égaux à zéro Exemples 1 100 030 002 = D 2 40 05 = ? D 3 1000 0000 0020 0005
Exo7 - Cours de mathématiques
1 3 Addition de matrices Dé?nition 3 (Somme de deux matrices) Soient A et B deux matrices ayant la même taille n p Leur somme C = A+B est la matrice de taille n p dé?nie par cij = aij + bij En d’autres termes on somme coef?cients par coef?cients Remarque : on note indifféremment aij où aij pour les coef?cients de la
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Le d´eterminant nous donne une nouvelle m´ethode pour calculer l’inverse d’une matrice carr´ee La matrice (A ij ) 1?ij?n des cofacteurs est appel´e la comatrice de A not´ee com(A) Si A est une matrice (nn) elle est inversible si et seulement si det(A) 6= 0
Comment définir le déterminant de la matrice?
Les vecteurs colonnes de la matrice peuvent être identifiés à des éléments de l'espace vectoriel . Ce dernier est muni d'une base canonique. Il est alors possible de définir le déterminant de la matrice A comme le déterminant du système de ses vecteurs colonnes relativement à la base canonique.
Est-ce que le déterminant d'une matrice est nul?
Le déterminant d'une matrice est nul dès lors que deux olonnesc de ettec matrice sont identiques. La preuve de cette proposition nécessite deux résultats intermédiaires.
Quel est le déterminant de la matrice identité?
Il est noté det ( A) puisqu'il n'y a pas d'ambiguïté sur la base de référence. Par définition même, le déterminant dépend de façon linéaire de chaque colonne, et est nul lorsque deux colonnes sont égales. Le déterminant de la matrice identité vaut un.
Comment calculer le déterminant de la matrice triangulaire?
où M’ est une matrice triangulaire supérieure d’ordre n-1et où ?11est le premier coef?- cient diagonale de M. La propriété précédente permet d’af?rmer que det(M)=?11M’. Appliquons l’hypothèse de récurrence: le déterminant de M’ est égal au produit des coef?cients diagonaux de M’.
L1 MASS : Alg`ebre Lin´eaireCours 9 mars 2006
D´eterminants
Led´eterminantd"une matrice carr´eeAest un nombre detAqu"on associe `aAqui apparaˆıt dans beaucoup de formules. Quand les coefficients de la matrice sont donn´es, la notation usuellepour son d´eterminant est le membre de gauche suivant, mais les autres notations sont utilis´ees.??????a
11a12a13
a21a22a23
a31a32a33?
?????= det( (a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33)
=|A|= detA.Les d´elimiteurs| |sont r´eserv´es aux d´eterminants, et les d´elimiteurs ( ) et [ ] aux matrices.
On ditd´eterminant d"ordrenpour le d´eterminant d"une matricen×n. (La matrice aussi s"appelle souvent unematrice carr´ee d"ordren.)Il y a au moins 4 fa¸cons diff´erentes mais ´equivalentes `a d´efinir les d´eterminants, mais aucune
d"elles n"est simple. Donc on va concentrer sur le calcul des d´eterminants et sur leurs propri´et´es
principales. Seulement apr`es cela on donnera une des d´efinitions de d´eterminants, et quelques
applications th´eoriques de cette d´efinition (e.g. la r`egle de Cramer).Seules les matrices carr
´ees ont des d´eterminants.
D´eterminants d"ordre1,2et3.
Le d´eterminant d"une matrice 1×1 est son coefficient :??a??= det(a) =a. On ne distingue pas trop entre une matrice 1×1, son unique coefficient, et son d´eterminant. Le d´eterminant d"une matrice 2×2 est donn´e par : (?)????a b c d? ???= det?a b c d? =ad-bc. On a d´ej`a rencontr´e cette expression dans l"exercice 5.4.Le d´eterminant d"une matrice 3×3 se calcule par lar`egle de Sarrus. Cette r`egle est utilis´eeuniquement pour les d´eterminants d"ordre 3.Elle estfaussepourtoute autre taille. On
recopie les deux premi`ıeres colonnes de la matrice comme les 4`eme et 5`eme colonnes d"une matrice
augment´ee.( (a 11 ??????a12 ??????a13 ??????a11 ??????a12 a21a22a23a21a22
a31a32a33a31a32)
Le d´eterminant est la somme et diff´erence de 6 termes correspondant aux 6 grandes diagonales de la matrice augment´ee. Sp´ecifiquement, on fait la somme des 3 produits le long des longues diagonales de sens\\\, puis on soustrait les 3 produits le long des longues diagonales de sens ///. (??) detA=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31-a11a23a32-a12a21a33.Il y a ceux qui pr´ef`erent ajouter deux lignes `a la matrice plutˆot que deux colonnes, mais cela
revient `a la mˆeme chose. Avec un peu d"exp´erience, on peut apprendre `a appliquer la r`egle de
Sarrus sans ´ecrire explicitement les colonnes ou lignes suppl´ementaires. Par exemple : A=( (1 2 3 4 5 67 8 9)
(1 2 3 4 5 67 8 9?
?????1 2 4 5 7 8) detA= 1·5·9 + 2·6·7 + 3·4·8-3·5·7-1·6·8-2·4·9 = 45 + 84 + 96-105-48-72 = 0. Pourquoi on ne fait pas comme ¸ca pour les grands d´eterminants.Il y a des formulespour les d´eterminants de taille sup´erieure analogues aux formules (?) et (??) ci-dessus. Mais dans
la formule pour les d´eterminants d"ordre 4 il y a 24 termes, et dans celle pour l"ordre 5 il y a 120
termes. Pour l"ordrenil y an! = 1·2·3·····ntermes. La moiti´e des termes sont avec le signe +
et l"autre moiti´e avec le signe-. Il est extrˆemement lent d"appliquer ces formules aux calculs.
Calcul de d´eterminants
Les deux th´eor`emes suivants permettent de calculer les d´eterminants efficacement.Th´eor`eme 1.Le d´eterminant d"une matrice triangulaire est le produit de ses coefficients
diagonaux.Ce th´eor`eme s"applique aux matrices triangulaires sup´erieures, aux matrices triangulaires
inf´erieures, et aux matrices diagonales : ??????a b c 0d e 0 0f? ?????=adf,? ?????u0 0 v x0 w y z? ?????=uxz,? ?????r0 0 0s0 0 0t? ?????=rst. Le d´eterminant d"une matrice identit´e est donc detI= 1. Par exemple detI4=? ???????1 0 0 00 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1?
???????= 1·1·1·1 = 1.D´ecrivons ce qui se passe au d´eterminant quand on fait des op´erations ´el´ementaires sur ses lignes :Th´eor`eme 2.SoitAune matrice carr´ee, et soitA1la matrice obtenue en appliquant une
op´eration ´el´ementaire aux lignes deA. On a detA=? ?detA1si l"op´eration est du typeLi←Li+aLj(aveci?=j), -detA1si l"op´eration est du typeLi↔Lj(aveci?=j), r·detA1si l"op´eration est du typeLi←1rLi.On peut donc ´evaluer un d´eterminant en mettant la matrice en forme ´echelonn´ee. Le d´eterminant
´evolue selon le Th´eor`eme 2. Le d´eterminant de la matrice ´echelonn´ee se calcule par le Th´eor`eme
1. Par exemple :
??????1 2 3 4 5 67 8 9?
?????1 2 3 0-3-60-6-12?
?????(L2←L2-3L1etL3←L3-7L1) ?????1 2 3 0-3-60 0 0?
?????(L3←L3-2L2) = 1·(-3)·0 (Th´eor`eme 1) = 0.Propri´et´es du d´eterminant
Un des int´erˆets principaux du d´eterminant est le fait suivant : 2Th´eor`eme 3.Une matrice carr´eeAest inversible si et seulement si on adetA?= 0.Donc pourAune matrice carr´ee de taillen×non a :Ainversible??rgA=n??detA?= 0.Th´eor`eme 4.SoitAetBdes matrices carr´ees de la mˆeme taille. On a:
(a) det(AT) = detA, (b) det(AB) = detA·detB, et(c) det(A+B)?= detA+ detBen g´en´eral.D´eveloppement par rapport `a une ligne ou une colonne
On peut voir `a partir des formules (?) et (??) qu"un d´eterminant d"ordre 3 v´erifie : ?????a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33?
?????=a11????a 22a23a
32a33?
???-a12????a 21a23a
31a33?
???+a13????a 21a22a
31a32?
Cette formule est led´eveloppement du d´eterminant par rapport `a la premi`ere ligne. C"est un cas particulier d"une formule plus g´en´erale. Un peu de vocabulaire. Unesous-matriced"une matriceAest une matrice obtenue en suppri- mant quelques lignes et/ou colonnes deA. UnmineurdeAest le d´eterminant d"une sous-matrice carr´ee deA. Pour une matrice carr´eeAde taillen×n, notonsAijla sous-matrice (n-1)×(n-1) obtenue en supprimant lai-`eme ligneLiet laj-`eme colonneCjdeA. La formule (†) est le casn= 3 de la formule plus g´en´erale :(‡)detA=a11·detA11-a12·detA12+a13·detA13- ··· ±a1n·detA1n.Regardons de pr`es cette formule. On prend tous les coefficientsa11,a12,...,a1nd"une ligne
ou d"une colonne deA. On multiplie chacun de ces coefficientsa1jpar le mineur detA1j, le d´eterminant de la sous-matrice o`u on supprime la ligne et la colonne du coefficienta1j. Ensuite on multiplie chaque produit par un signe + ou-, en alternance, et on additionne.Par exemple :
??????1 2 3 4 5 67 8 9?
?????= 1????5 6 8 9? ???-2????4 6 7 9? ???+ 3????4 5 7 8? ???= 1(5·9-6·8)-2(4·9-6·7) + 3(4·8-5·7) = 1(-3)-2(-6)-3(-3) =-3 + 12-9 = 0. On peut d´evelopper detApar rappport `a n"importe quelle ligne ou colonne. La formule pour les d´eveloppements par rapport `a lai-`eme ligneLiest : detA= (-1)i+1ai1detAi1+ (-1)i+2ai2detAi2+···+ (-1)i+naindetAin. Le d´eveloppement le long de laj-`eme colonneCjest detA= (-1)1+ja1jdetA1j+ (-1)2+ja2jdetA2j+···+ (-1)n+janjdetAnj.Le signe inclus dans le terme g´en´eral (-1)i+jaijdetAijsuit uner`egle d"´echiquiercommen¸cant
3 Donc le d´eveloppement par rapport `a la deuxi`eme colonne est ??????1 2 3 4 5 67 8 9?
?????=-2????4 6 7 9? ???+ 5????1 3 7 9? ???-8????1 3 4 6? ???=-2(-6) + 5(-12)-8(-6) = 12-60 + 48 = 0. Pratique.Normalement il n"est pas tr`es pratique d"´evaluer un d´eterminant d"ordren≥4par d´eveloppement par rapport `a une ligne ou une colonne, parce qu"il faut ´evaluer beaucoup de
mineurs d"ordren-1 en les d´eveloppant `a leur tour, etc.La r´eduction `a la forme ´echelonn´ee est ´enorm´ement plus efficace pour les grands d´eterminants.
Exception.Il peut ˆetre pratique de d´evelopper un d´eterminant par rapport `a une ligne ou une colonne qui contient seulement 1 ou 2 coefficients non nuls.La d´efinition du d´eterminant
Jusqu"`a maintenant on a ´evit´e de donner une d´efinition du d´eterminant d"une matrice carr´ee
n×ng´en´erale parce que toutes les d´efinitions sont compliqu´ees.La d´efinition la plus ´el´ementaire estrecursive.D´efinition 5.SoitAune matrice carr´ee d"ordren.
•Pourn= 1, etA= (a), on pose detA=a. •Pourn≥2, on d´efinit detApar son d´eveloppement par rapport `a la premi`ere ligne (‡) detA=a11·detA11-a12·detA12+a13·detA13- ··· ±a1n·detA1n.4quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32[PDF] matrice deisenhower excel
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