LES DÉTERMINANTS DE MATRICES
2- Le déterminant d'une matrice . 3- Calcul du déterminant pour une matrice ... Déterminants de matrices carrées de dimensions 4x4 et plus .
Cours de mathématiques - Exo7
Le déterminant permet de savoir si une matrice est inversible ou pas et de façon plus générale
Matrices déterminants 1. Les matrices
Dans tout ce cours on fixe un corps K : soit R
L1 MASS : Alg`ebre Linéaire Cours 9 mars 2006 Déterminants
Seules les matrices carrées ont des déterminants. Déterminants d'ordre 1 2 et 3. Le déterminant d'une matrice 1 × 1 est son coefficient
MAT 1200: Introduction à lalgèbre linéaire
Les déterminants et les matrices inversibles Notes de cours chapitre 5 . ... Soit A = (a11) une matrice de type 1 × 1 le déterminant de A est.
Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique
Inverse d'une matrice. Critère d'inversibilité : le déterminant. 2. Pivot de Gauss sur les matrices. But de l'algorithme. Présentation de la méthode.
Déterminant
On retrouve ici qu'une matrice triangulaire est inversible si et seulement si tous ces coefficients diagonaux sont non nuls. 2.3 Déterminant d'une famille de
Déterminants
3.2 Propriétés du déterminant grâce aux matrices élémentaires et à Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . 4 PCSI de l'Essouriau 19-20
ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE
de l'artillerie il rédige un cours de mathématiques à l'usage de la marine et Deux matrices semblables ont même trace
Chapitre 3 - Déterminants - Cours
Lycée Blaise Pascal - TSI 2 - Jérôme Von Buhren - http://vonbuhren.free.fr. CHAPITRE 3. Déterminants. Plan du chapitre. I Déterminant d'une matrice carrée .
LES DÉTERMINANTS DE MATRICES - HEC Montréal
confusion entre deux matrices contenant le même nombre d'entrées Par exemple une matrice de dimension 34 possède 3 rangées et 4 colonnes Celle?ci serait distincte d'une matrice 43 qui a 4 rangées et 3 colonnes quoiqu'elle compte également 12 entrées
Déterminant (mathématiques) : définition de Déterminant
Le déterminant permet de savoir si une matrice est inversible ou pas et de façon plus générale joue un rôle important dans le calcul matriciel et la résolution de systèmes linéaires Dans tout ce qui suit nous considérons des matrices à coef?cients dans un corps commutatif K les principaux exemples étant K = R ou K = C Nous
1 Qu'est-ce que le déterminant d'une matrice? - univ-toulousefr
Proposition 1 3 Le déterminant d'une matrice est nul dès lors que deux olonnesc de ettec matrice sont identiques La preuve de cette proposition nécessite deux résultats intermédiaires Lemme 1 4 Le déterminant d'une matrice est nul dès lors que deux olonnces onséccutives de ettec matrice sont identiques 2
Chapitre 3 : Les matrices - Claude Bernard University Lyon 1
Une matrice carrée D = dij est dite diagonale si tous ses éléments non diagonaux sont nuls Une telle matrice est fréquemment notée D =diag(d11d22 dnn) où certains ou tous les scalaires dii peuvent être égaux à zéro Exemples 1 100 030 002 = D 2 40 05 = ? D 3 1000 0000 0020 0005
Exo7 - Cours de mathématiques
1 3 Addition de matrices Dé?nition 3 (Somme de deux matrices) Soient A et B deux matrices ayant la même taille n p Leur somme C = A+B est la matrice de taille n p dé?nie par cij = aij + bij En d’autres termes on somme coef?cients par coef?cients Remarque : on note indifféremment aij où aij pour les coef?cients de la
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Le d´eterminant nous donne une nouvelle m´ethode pour calculer l’inverse d’une matrice carr´ee La matrice (A ij ) 1?ij?n des cofacteurs est appel´e la comatrice de A not´ee com(A) Si A est une matrice (nn) elle est inversible si et seulement si det(A) 6= 0
Comment définir le déterminant de la matrice?
Les vecteurs colonnes de la matrice peuvent être identifiés à des éléments de l'espace vectoriel . Ce dernier est muni d'une base canonique. Il est alors possible de définir le déterminant de la matrice A comme le déterminant du système de ses vecteurs colonnes relativement à la base canonique.
Est-ce que le déterminant d'une matrice est nul?
Le déterminant d'une matrice est nul dès lors que deux olonnesc de ettec matrice sont identiques. La preuve de cette proposition nécessite deux résultats intermédiaires.
Quel est le déterminant de la matrice identité?
Il est noté det ( A) puisqu'il n'y a pas d'ambiguïté sur la base de référence. Par définition même, le déterminant dépend de façon linéaire de chaque colonne, et est nul lorsque deux colonnes sont égales. Le déterminant de la matrice identité vaut un.
Comment calculer le déterminant de la matrice triangulaire?
où M’ est une matrice triangulaire supérieure d’ordre n-1et où ?11est le premier coef?- cient diagonale de M. La propriété précédente permet d’af?rmer que det(M)=?11M’. Appliquons l’hypothèse de récurrence: le déterminant de M’ est égal au produit des coef?cients diagonaux de M’.
Clément Rau
Laboratoire de Mathématiques de Toulouse
Université Paul Sabatier-IUT GEA Ponsan
Module complémentaire de maths, année 2012
Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique... Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesNotion d"inverse d"une application linéaireInverse d"une matrice
Critère d"inversibilité : le déterminant1Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une
application linéaire/matriceNotion d"inverse d"une application linéaireInverse d"une matrice
Critère d"inversibilité : le déterminant
2Pivot de Gauss sur les matrices
But de l"algorithme
Présentation de la méthode
Diposition des calculs : un exemple
L"algorithme général
Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique... Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesNotion d"inverse d"une application linéaireInverse d"une matrice
Critère d"inversibilité : le déterminant1Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une
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Critère d"inversibilité : le déterminant
2Pivot de Gauss sur les matrices
But de l"algorithme
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L"algorithme général
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Critère d"inversibilité : le déterminantRappel : Notion d"application bijectiveDefinition
Soit f:U!V une application linéaire. On dit que f est bijective si pour tout y de V, il existe un unique x dans U tel que f(x) =y:Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique... Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesNotion d"inverse d"une application linéaireInverse d"une matrice
Critère d"inversibilité : le déterminantRappel : Notion d"application bijectiveDefinition
Soit f:U!V une application linéaire. On dit que f est bijective si pour tout y de V, il existe un unique x dans U tel que f(x) =y:Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique... Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesNotion d"inverse d"une application linéaireInverse d"une matrice
Critère d"inversibilité : le déterminantNotion d"inverse d"un application linéaire bijective
Dans le cas oùfest bijective, on peut lui fabriquer une application inverse notéef1 f 1:V!Uqui à chaqueydeVassocie l"uniquexdeUtel quey=f(x).Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...
Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesNotion d"inverse d"une application linéaireInverse d"une matrice
Critère d"inversibilité : le déterminantNotion d"inverse d"un application linéaire bijective
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Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesNotion d"inverse d"une application linéaireInverse d"une matrice
Critère d"inversibilité : le déterminantPropriétés évidentes de l"inverseOn a :
f1est bijective(f1)1=fpour toutxdansU;f1(f(x)) =x,
ie:f1of=IdUpour toutydansV;f(f1(y)) =y,ie:fof1=IdVsifest linéaire, alorsf1l"est aussi.Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...
Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesNotion d"inverse d"une application linéaireInverse d"une matrice
Critère d"inversibilité : le déterminantPropriétés évidentes de l"inverseOn a :
f1est bijective(f1)1=fpour toutxdansU;f1(f(x)) =x,
ie:f1of=IdUpour toutydansV;f(f1(y)) =y,ie:fof1=IdVsifest linéaire, alorsf1l"est aussi.Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...
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Critère d"inversibilité : le déterminantPropriétés évidentes de l"inverseOn a :
f1est bijective(f1)1=fpour toutxdansU;f1(f(x)) =x,ie:f1of=IdUpour toutydansV;f(f1(y)) =y,
ie:fof1=IdVsifest linéaire, alorsf1l"est aussi.Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...
Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesNotion d"inverse d"une application linéaireInverse d"une matrice
Critère d"inversibilité : le déterminantPropriétés évidentes de l"inverseOn a :
f1est bijective(f1)1=fpour toutxdansU;f1(f(x)) =x,ie:f1of=IdUpour toutydansV;f(f1(y)) =y,
ie:fof1=IdVsifest linéaire, alorsf1l"est aussi.Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...
Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesNotion d"inverse d"une application linéaireInverse d"une matrice
Critère d"inversibilité : le déterminantPropriétés évidentes de l"inverseOn a :
f1est bijective(f1)1=fpour toutxdansU;f1(f(x)) =x,ie:f1of=IdUpour toutydansV;f(f1(y)) =y,ie:fof1=IdVsifest linéaire, alorsf1l"est aussi.Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...
Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesNotion d"inverse d"une application linéaireInverse d"une matrice
Critère d"inversibilité : le déterminantPropriétés évidentes de l"inverseOn a :
f1est bijective(f1)1=fpour toutxdansU;f1(f(x)) =x,ie:f1of=IdUpour toutydansV;f(f1(y)) =y,ie:fof1=IdVsifest linéaire, alorsf1l"est aussi.Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...
Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesNotion d"inverse d"une application linéaireInverse d"une matrice
Critère d"inversibilité : le déterminantPropriétés évidentes de l"inverseOn a :
f1est bijective(f1)1=fpour toutxdansU;f1(f(x)) =x,ie:f1of=IdUpour toutydansV;f(f1(y)) =y,ie:fof1=IdVsifest linéaire, alorsf1l"est aussi.Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...
Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesNotion d"inverse d"une application linéaireInverse d"une matrice
Critère d"inversibilité : le déterminantDéfinition de l"inverse d"une matrice Puisque une matrice est une représentation d"une application linéaire (dans de certaines bases), la notion d"inverse d"une application linéaire se translate aux matrices... Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique... Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesNotion d"inverse d"une application linéaireInverse d"une matrice
Critère d"inversibilité : le déterminantDéfinition de l"inverse d"une matriceOn considère une application linéaire bijectivef:Rn!RmSoitBdetBades bases respectives deRnetRm.SoitAla matrice defdans les basesBdetBaSoitBla matrice def1dans les basesBaetBdClément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...
Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesNotion d"inverse d"une application linéaireInverse d"une matrice
Critère d"inversibilité : le déterminantDéfinition de l"inverse d"une matriceOn considère une application linéaire bijectivef:Rn!RmSoitBdetBades bases respectives deRnetRm.SoitAla matrice defdans les basesBdetBaSoitBla matrice def1dans les basesBaetBdClément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...
Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesNotion d"inverse d"une application linéaireInverse d"une matrice
Critère d"inversibilité : le déterminantDéfinition de l"inverse d"une matriceOn considère une application linéaire bijectivef:Rn!RmSoitBdetBades bases respectives deRnetRm.SoitAla matrice defdans les basesBdetBaSoitBla matrice def1dans les basesBaetBdClément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...
Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesNotion d"inverse d"une application linéaireInverse d"une matrice
Critère d"inversibilité : le déterminantDéfinition de l"inverse d"une matrice Puisque la multiplication matricielle a été construite pour prolonger la composition des applications, des égalités f1of=IdRnfof1=IdRm
on déduit :BA=IdnAB=Idm;
oùIdp=0 B @10 011 CA(de taillep)Definition
La matrice B s"appelle la matrice inverse de A. On la note parfois A1.Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...
Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesNotion d"inverse d"une application linéaireInverse d"une matrice
Critère d"inversibilité : le déterminantDéfinition de l"inverse d"une matrice Puisque la multiplication matricielle a été construite pour prolonger la composition des applications, des égalités f1of=IdRnfof1=IdRm
on déduit :BA=IdnAB=Idm;oùIdp=0 B @10 011 CA(de taillep)Definition
La matrice B s"appelle la matrice inverse de A. On la note parfois A1.Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...
Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesNotion d"inverse d"une application linéaireInverse d"une matrice
Critère d"inversibilité : le déterminantDéfinition de l"inverse d"une matrice Puisque la multiplication matricielle a été construite pour prolonger la composition des applications, des égalités f1of=IdRnfof1=IdRm
on déduit :BA=IdnAB=Idm;oùIdp=0 B @10 011 CA(de taillep)Definition
La matrice B s"appelle la matrice inverse de A. On la note parfois A1.Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...
Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesNotion d"inverse d"une application linéaireInverse d"une matrice
Critère d"inversibilité : le déterminantDéfinition de l"inverse d"une matrice Puisque la multiplication matricielle a été construite pour prolonger la composition des applications, des égalités f1of=IdRnfof1=IdRm
on déduit :BA=IdnAB=Idm;oùIdp=0 B @10 011 CA(de taillep)Definition
La matrice B s"appelle la matrice inverse de A. On la note parfois A1.Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...
Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesNotion d"inverse d"une application linéaireInverse d"une matrice
Critère d"inversibilité : le déterminantDéterminant Il existe un critère tres pratique pour savoir si une matrice est inversible. Le fondement de ce critère ne rentre pas dans lecadre de ce cours, mais son utilisation fait partie du cours.A chaque matriceA, on associe un nombre appelé
determinant deAet notédet(A). det:Mn!R A7!det(A):Ce nombre a la propriété "magique" suivante : A est inversible,det(A)6=0:Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique... Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesNotion d"inverse d"une application linéaireInverse d"une matrice
Critère d"inversibilité : le déterminantDéterminant Il existe un critère tres pratique pour savoir si une matrice est inversible. Le fondement de ce critère ne rentre pas dans lecadre de ce cours, mais son utilisation fait partie du cours.A chaque matriceA, on associe un nombre appelé
determinant deAet notédet(A). det:Mn!R A7!det(A):Ce nombre a la propriété "magique" suivante : A est inversible,det(A)6=0:Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique... Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesNotion d"inverse d"une application linéaireInverse d"une matrice
Critère d"inversibilité : le déterminantDéterminant Il existe un critère tres pratique pour savoir si une matrice est inversible. Le fondement de ce critère ne rentre pas dans lecadre de ce cours, mais son utilisation fait partie du cours.A chaque matriceA, on associe un nombre appelé
determinant deAet notédet(A). det:Mn!R A7!det(A):Ce nombre a la propriété "magique" suivante : A est inversible,det(A)6=0:Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique... Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesNotion d"inverse d"une application linéaireInverse d"une matrice
Critère d"inversibilité : le déterminantCalcul de déterminants de matrices d"ordre 2 et 3
det(a b c d ) =adbcdet(0 @a 1a2a3 b 1b2b3 c1c2c31
A ) =a1b2c3+b1c2a3+c1a2b3 (a3b2c1+b3c2a1+c3a2b1)Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique... Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesNotion d"inverse d"une application linéaireInverse d"une matrice
Critère d"inversibilité : le déterminantCalcul de déterminants de matrices d"ordre 2 et 3
det(a b c d ) =adbcdet(0 @a 1a2a3 b 1b2b3 c1c2c31
A ) =a1b2c3+b1c2a3+c1a2b3 (a3b2c1+b3c2a1+c3a2b1)Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique... Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesNotion d"inverse d"une application linéaireInverse d"une matrice
Critère d"inversibilité : le déterminantPour s"en souvenir, on peut écrire : 0 B BBB@a 1a2a3 b 1b2b3 c 1c2c3 a 1a2a3 b1b2b31
CCCCAet
remarquer que le déterminant est la différence entre la somme des diagonales vers le bas et des diagonales vers le haut. det(0 @a 1a2a3 b 1b2b3 c1c2c31
A ) =a1b2c3+b1c2a3+c1a2b3 (a3b2c1+b3c2a1+c3a2b1)Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique... Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesNotion d"inverse d"une application linéaireInverse d"une matrice
Critère d"inversibilité : le déterminantPour s"en souvenir, on peut écrire : 0 B BBB@a 1a2a3quotesdbs_dbs9.pdfusesText_15[PDF] matrice deisenhower excel
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