Calculs dintégrales et de primitives
Intégration des fonctions rationnelles a) Fonctions rationnelles. Définition 2.1. Une fonction ou fraction rationnelle F sur R est le quotient de deux
Détermination de la primitive dune fraction rationnelle à laide de la
n x. f x. d x. . où le numérateur n et le dénominateur d sont deux fonctions polynômes. Pour déterminer une primitive d'une telle fonction f on procède par
Chapitre 3 CALCUL DE PRIMITIVES
f(x)dx pour désigner une primitive de la fonction f(x). Il faut 3.5 Primitives de fractions rationnelles. Les fractions rationnelles en x (quotients de ...
1.7.4 Techniques de calcul des primitives et des intégrales.
Intégrale d'une fonction rationnelle. Lorsque l'on doit évaluer l'intégrale ou la primitive d'une fonction rationnelle. ? b.
Calculs dintégrales et de primitives
Intégration des fonctions rationnelles a) Fonctions rationnelles. Définition 2.1. Une fonction ou fraction rationnelle F sur R est le quotient de deux
Chapitre 2 Primitives - Intégration
Principe: écrire la fraction rationnelle comme une somme de fractions rationnelle dont on sait calculer la primitive. Exemple: = 1. ( ? 2)( + 3)
Primitives
3 Primitives de fractions rationnelles. 6. 3.1 Décomposition en éléments simples . . . . . . . . . 6. 3.2 Cas particulier o`u deg(Q)=2 .
Chapitre 4 - Fractions rationnelles - Décomposition en éléments
Définition 4.2 On appelle fraction rationnelle toute classe d'équivalence pour ?. L'ensemble toujours calculer une primitive (en théorie du moins).
Chapitre 1 - Fonctions polynômes fractions rationnelles
Calculer la dérivée n-ième d'une fraction rationnelle. – Calculer les primitives ou les intégrales de fonctions du type.
Calcul des primitives
Tableau des primitives usuelles. 3. Changement de variable. 4. Intégration par parties. 5. Intégration des fractions rationnelles.
[PDF] Calculs dintégrales et de primitives
Autrement dit toute fraction rationnelle réelle se décompose en somme d'un polynôme et d'éléments simples de 1re et de 2e espèce 21 Page 26 2 Intégration
[PDF] Primitives de fractions rationnelles
Détermination de la primitive d'une fraction rationnelle à l'aide de la V200 Rappelons qu'une fraction rationnelle est une fonction du type :
[PDF] Chapitre 3 CALCUL DE PRIMITIVES
Les fractions rationnelles en x (quotients de deux polynômes) sont des fonctions dont on peut toujours calculer une primitive (en théorie du moins)
Primitives des fractions rationnelles
On appelle fraction rationnelle le quotient de deux polynômes La plupart des primitives que l'on sait calculer formellement se ramènent à des calculs de
[PDF] Primitives - Mathieu Mansuy
1 1 Définition des primitives d'une fonction continue 2 1 2 Existence des primitives d'une fonction continue 3 Primitives de fractions rationnelles
[PDF] Primitives usuelles fonction primitive lnx x ? = ?1 x exemples
PRIMITIVES DES FRACTIONS RATIONNELLES Une fraction rationnelle (réelle) est un quotient de polynômes (`a coefficients réels) Exemple :
[PDF] Calcul des primitives
des fonctions usuelles Par « fonction usuelle » on entend ici les fonctions rationnelles exponen- tielles et logarithmes trigonométriques et hyperboliques
[PDF] Calcul de primitives Mathovore
21 2 Fractions rationnelles Définition 21 1 : Fractions rationnelles Une fraction rationnelle est un (( quotient )) de deux polynômes PQ ? K[X]
[PDF] 174 Techniques de calcul des primitives et des intégrales
CHAPITRE 1 FONCTIONS D'UNE VARIABLE R ´EELLE 103 Intégrale d'une fonction rationnelle Lorsque l'on doit évaluer l'intégrale ou la primitive d'une
Intégration des fonctions rationnelles [Lintégrale simple]
Les primitives d'une fraction rationnelle \(f(x)\) s'obtiennent par la primitivation de chacun des termes de sa décomposition
Comment Primitiver une fonction rationnelle ?
Les primitives d'une fraction rationnelle \\(f(x)\\) s'obtiennent par la primitivation de chacun des termes de sa décomposition.Comment décomposer une fraction rationnelle ?
On peut décomposer toute fraction rationnelle en somme de fractions élémentaires plus simples, au sens où leurs dénominateurs ne feront apparaître qu'un seul polynôme irréductible chacune. F = E + G et deg(G) < 0. Le polynôme E est appelé la partie entière de F.Comment Primitiver un polynôme ?
La primitive générale d'une fonction minuscule de est la fonction majuscule de plus telle que la dérivée première de majuscule de , prime de , soit égale à de et est une constante réelle quelconque.- On appelle élément simple de ? ( X ) une fraction rationnelle d'un des deux types suivants : type "racine réelle" : a ( x ? u ) k avec a et u des nombres réels et k un entier. Cet élément simple a pour numérateur une constante et pour dénominateur une puissance d'un polynôme x ? u où u est un réel.
Calculs d"intégrales
et de primitivesAimé Lachal
Cours de mathématiques
1 ercycle, 1reannéeSommaire
1Deux techniques d"intégration
Intégration par parties
Changement de variable
2Intégration des fonctions rationnelles réelles
Fonctions rationnelles
Exemples préliminaires
Décomposition en éléments simples
Intégration des éléments simples
Synthèse de la méthode d"intégration
Exemples de synthèse
Sommaire
1Deux techniques d"intégration
Intégration par parties
Changement de variable
2Intégration des fonctions rationnelles réelles
1. Deux techniques d"intégrationa) Intégration par parties
Notations
On a vu dans le chapitre "Intégrale de Riemann» que toute fonction continue sur un intervalleIadmet des primitives et que celles-ci diffèrent toutes 2 à 2d"une constante.On noterax7!Z
f(x)dxune primitive defsurIdéfinie donc à une constante additive près. On dit queZ f(x)dxest une intégraleindéfiniepar opposition àZ b af(x)dxqui est appelée intégraledéfinie.Exemple :
Z xdx=12 x2+CsteoùCstedésigne une constante réelle.On rappelle la notationF(x)b
a=F(b)F(a).Théorème 1.1 (Intégration par parties) Soituetvdeux applications declasseC1C1C1définies sur un intervalleIà valeurs réellesoucomplexes.18(a;b)2I2,Z b a u(x)v0(x)dx=u(x)v(x)b aZ b a u0(x)v(x)dx.2Z u(x)v0(x)dx=u(x)v(x)Z u0(x)v(x)dx.
Formulation mnémotechnique :Z
udv=uvZ vdu.11. Deux techniques d"intégrationa) Intégration par parties
Exemple 1.2 (Polynôme-logarithme)
SoitP2R[X]un polynôme de degrén.
En choisissantu(x) = ln(x)etv0(x) =P(x), alorsu0(x) =1x etv(x) =Q(x)oùQ est un polynôme primitive deP(de degrén+1) que l"on choisira sans terme constant (de façon à avoirQ(0) =0), l"IPP donneZP(x) ln(x)dx=Q(x) ln(x)ZQ(x)x
dx:Notons quex!Q(x)x
est une fonction polynôme de degrén(puisqueQ(0) =0), elle admet donc pour primitive une fonction polynômeRde degrén+1, et l"on trouve :ZP(x) ln(x)dx=Q(x) ln(x)R(x) +Cste:
Exemples :
pourP(x) =1, on choisitQ(x) =xqui donneR(x) =xet l"on obtient une primitive deln(x):Z ln(x)dx=xln(x)x+Cste: pourP(x) =xn, on choisitQ(x) =xn+1n+1qui donneR(x) =xn+1(n+1)2et l"on obtient :Z x nln(x)dx=xn+1n+1ln(x)xn+1(n+1)2+Cste:21. Deux techniques d"intégrationa) Intégration par parties
Exemple 1.3 (Polynôme-exponentielle)
Soita2RetP2R[X]un polynôme de degrén.
En choisissantu(x)=P(x)etv0(x)=eax, alorsu0(x)=P0(x)etv(x)=1a eaxet l"IPP donneZP(x)eaxdx=1a
P(x)eax1a
Z P0(x)eaxdx:
Notons queP0est un polynôme de degrén1. Ainsi, l"IPP permet d""abaisser» le degré du polynôme présent dans l"intégrande initiale. En réitérant ce procédé, on abaisse progressivement le degré dePpour arriver in fine à une primitive d"intégrande e ax:ZP(x)eaxdx=Q(x)eax+Cste
oùQest le polynôme de degréns"exprimant selonQ(x)=1a
P(x)1a
2P0(x)+1a
3P00(x)+(1)n1a
n+1P(n)(x)=nX k=0(1)k1a k+1P(k)(x): Application :supposons le réelanégatif. Alors, pour toutk2N,limx!+1P(k)(x)eax=0.Ainsi, en notantZ
+1 0 = limA!+1Z A 0 , on trouve Z +1 0P(x)eaxdx=nX
k=0(1)k+11a k+1P(k)(0):31. Deux techniques d"intégrationa) Intégration par parties
Exemple 1.4 (Exponentielle complexe)
Soita;bdeux réelsnon simultanément nuls.Supposons e.g.a6=0 (sinonb6=0). En choisissantu(x)=cos(bx)etv0(x)=eax, alorsu0(x)=bsin(bx)etv(x)=1a eax et l"IPP donne Z cos(bx)eaxdx=1a cos(bx)eax+ba Z sin(bx)eaxdx: En choisissantu(x)=sin(bx)etv0(x)=eax, alorsu0(x)=bcos(bx)etv(x)=1a eax, une nouvelle IPP donneZ sin(bx)eaxdx=1a sin(bx)eaxba Z cos(bx)eaxdx que l"on reporte dans la première formule : Z cos(bx)eaxdx=1a cos(bx) +ba2sin(bx)
e axb2a 2Z cos(bx)eaxdx d"où l"on extrait Z cos(bx)eaxdx=acos(bx) +bsin(bx)a2+b2eax+Cste:
La même méthode conduirait à
Z sin(bx)eaxdx=bcos(bx) +asin(bx)a2+b2eax+Cste:
Application :soitc2C. En posantc=a+ibaveca;bréels non simultanément nuls, et en rappelant que e cx=eaxcos(bx) +isin(bx), on obtient une primitive de x7!ecx:Z e cxdx=1cecx+Cste:41. Deux techniques d"intégrationa) Intégration par parties
Exemple 1.5 (Formule de Taylor avec reste intégral(facultatif))1Un calcul préliminaire Soita;bdeux réels etfune application définie sur[a;b](ou[b;a]) declasseC2C2C2. En choisissantu(x)=(bx)etv0(x)=f00(x), alorsu0(x)=1 etv(x)=f0(x)et l"IPP donneZb a (bx)f00(x)dx=(bx)f0(x)b a+Z b a f0(x)dx=f(b)f(a)f0(a)(ba) soit f(b) =f(a) +f0(a)(ba) +Z b a (bx)f00(x)dx:2Généralisation Soita;bdeux réels etfune application définie sur[a;b](ou[b;a]) declasse C n+1Cn+1Cn+1. Alors : f(b) =nX k=0f (k)(a)k!(ba)k+Z b a(bx)nn!f(n+1)(x)dx: Remarque :la fonctionf(n+1)étant continue, on peut appliquer la formule de la moyenne :9c2[a;b];Z
b a(bx)nn!f(n+1)(x)dx=f(n+1)(c)Z b a(bx)nn!dx=(ba)n+1(n+1)!f(n+1)(c): On retrouve la formule de Taylor-Lagrange avec des hypothèses plus fortes. (La formule de Taylor-Lagrange requière quefsoit de classeCnsur[a;b]et (n+1)fois dérivable sur]a;b[.)51. Deux techniques d"intégrationb) Changement de variable
Théorème 1.6 (Changement de variable pour le calcul d"intégrales)1Soit'une application declasseC1C1C1sur[a;b]à valeursréellesetfune
applicationcontinuesur l"intervalle'([a;b])à valeursréellesoucomplexes.Alors :
Zb a f'(t)'0(t)dt=Z '(b) '(a)f(x)dx:2Si, de plus,'estbijectivede[a;b]sur[;] ='([a;b]), Z f(x)dx=Z '1()1()f'(t)'0(t)dt:
Formellement, on posex='(t)et l"on écritdx='0(t)dt.Théorème 1.7 (Changement de variable pour le calcul de primitives)
SoitIetJdeux intervalles,fune applicationcontinuesurIà valeursréellesou SiGest une primitive de(f')'0surJ, alorsG'1est une primitive defsurI. Autrement dit, en posantx='(t)(ou encoret='1(x)) : Z f(x)dx=Z f'(t)'0(t)dt=G(t) +Cste=G'1(x)+Cste61. Deux techniques d"intégrationb) Changement de variable
Exemple 1.8 (Racine carrée d"un polynôme du 2 nddegré)Soitfune fonction continue surR. On propose une méthode de calcul de primitives des fonctionsx7!fpx2+1,x7!fp1x2etx7!fpx
21.1Le changement de variablex=shtfournit dx=chtdtetpx
2+1=cht, puisZ
fpx 2+1 dx=Z f(cht)chtdt: Si l"on dispose d"une primitiveFde la fonctiont7!f(cht)cht, alorsZquotesdbs_dbs22.pdfusesText_28[PDF] calculer cardinal probabilité
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