Calculs dintégrales et de primitives
Intégration des fonctions rationnelles a) Fonctions rationnelles. Définition 2.1. Une fonction ou fraction rationnelle F sur R est le quotient de deux
Détermination de la primitive dune fraction rationnelle à laide de la
n x. f x. d x. . où le numérateur n et le dénominateur d sont deux fonctions polynômes. Pour déterminer une primitive d'une telle fonction f on procède par
Chapitre 3 CALCUL DE PRIMITIVES
f(x)dx pour désigner une primitive de la fonction f(x). Il faut 3.5 Primitives de fractions rationnelles. Les fractions rationnelles en x (quotients de ...
1.7.4 Techniques de calcul des primitives et des intégrales.
Intégrale d'une fonction rationnelle. Lorsque l'on doit évaluer l'intégrale ou la primitive d'une fonction rationnelle. ? b.
Calculs dintégrales et de primitives
Intégration des fonctions rationnelles a) Fonctions rationnelles. Définition 2.1. Une fonction ou fraction rationnelle F sur R est le quotient de deux
Chapitre 2 Primitives - Intégration
Principe: écrire la fraction rationnelle comme une somme de fractions rationnelle dont on sait calculer la primitive. Exemple: = 1. ( ? 2)( + 3)
Primitives
3 Primitives de fractions rationnelles. 6. 3.1 Décomposition en éléments simples . . . . . . . . . 6. 3.2 Cas particulier o`u deg(Q)=2 .
Chapitre 4 - Fractions rationnelles - Décomposition en éléments
Définition 4.2 On appelle fraction rationnelle toute classe d'équivalence pour ?. L'ensemble toujours calculer une primitive (en théorie du moins).
Chapitre 1 - Fonctions polynômes fractions rationnelles
Calculer la dérivée n-ième d'une fraction rationnelle. – Calculer les primitives ou les intégrales de fonctions du type.
Calcul des primitives
Tableau des primitives usuelles. 3. Changement de variable. 4. Intégration par parties. 5. Intégration des fractions rationnelles.
[PDF] Calculs dintégrales et de primitives
Autrement dit toute fraction rationnelle réelle se décompose en somme d'un polynôme et d'éléments simples de 1re et de 2e espèce 21 Page 26 2 Intégration
[PDF] Primitives de fractions rationnelles
Détermination de la primitive d'une fraction rationnelle à l'aide de la V200 Rappelons qu'une fraction rationnelle est une fonction du type :
[PDF] Chapitre 3 CALCUL DE PRIMITIVES
Les fractions rationnelles en x (quotients de deux polynômes) sont des fonctions dont on peut toujours calculer une primitive (en théorie du moins)
Primitives des fractions rationnelles
On appelle fraction rationnelle le quotient de deux polynômes La plupart des primitives que l'on sait calculer formellement se ramènent à des calculs de
[PDF] Primitives - Mathieu Mansuy
1 1 Définition des primitives d'une fonction continue 2 1 2 Existence des primitives d'une fonction continue 3 Primitives de fractions rationnelles
[PDF] Primitives usuelles fonction primitive lnx x ? = ?1 x exemples
PRIMITIVES DES FRACTIONS RATIONNELLES Une fraction rationnelle (réelle) est un quotient de polynômes (`a coefficients réels) Exemple :
[PDF] Calcul des primitives
des fonctions usuelles Par « fonction usuelle » on entend ici les fonctions rationnelles exponen- tielles et logarithmes trigonométriques et hyperboliques
[PDF] Calcul de primitives Mathovore
21 2 Fractions rationnelles Définition 21 1 : Fractions rationnelles Une fraction rationnelle est un (( quotient )) de deux polynômes PQ ? K[X]
[PDF] 174 Techniques de calcul des primitives et des intégrales
CHAPITRE 1 FONCTIONS D'UNE VARIABLE R ´EELLE 103 Intégrale d'une fonction rationnelle Lorsque l'on doit évaluer l'intégrale ou la primitive d'une
Intégration des fonctions rationnelles [Lintégrale simple]
Les primitives d'une fraction rationnelle \(f(x)\) s'obtiennent par la primitivation de chacun des termes de sa décomposition
Comment Primitiver une fonction rationnelle ?
Les primitives d'une fraction rationnelle \\(f(x)\\) s'obtiennent par la primitivation de chacun des termes de sa décomposition.Comment décomposer une fraction rationnelle ?
On peut décomposer toute fraction rationnelle en somme de fractions élémentaires plus simples, au sens où leurs dénominateurs ne feront apparaître qu'un seul polynôme irréductible chacune. F = E + G et deg(G) < 0. Le polynôme E est appelé la partie entière de F.Comment Primitiver un polynôme ?
La primitive générale d'une fonction minuscule de est la fonction majuscule de plus telle que la dérivée première de majuscule de , prime de , soit égale à de et est une constante réelle quelconque.- On appelle élément simple de ? ( X ) une fraction rationnelle d'un des deux types suivants : type "racine réelle" : a ( x ? u ) k avec a et u des nombres réels et k un entier. Cet élément simple a pour numérateur une constante et pour dénominateur une puissance d'un polynôme x ? u où u est un réel.
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Calculs d"intégrales
et de primitivesAimé Lachal
Cours de mathématiques
1 ercycle, 1reannéeSommaire1Deux techniques d"intégration
Intégration par parties
Changement de variable
2Intégration des fonctions rationnelles réelles
Fonctions rationnelles
Exemples préliminaires
Décomposition en éléments simples
Intégration des éléments simples
Synthèse de la méthode d"intégration
Exemples de synthèse1. Deux techniques d"intégrationa) Intégration par partiesNotations
On a vu dans le chapitre "Intégrale de Riemann» que toute fonction continue sur un intervalleIadmet des primitives et que celles-ci diffèrent toutes 2 à 2d"une constante.On noterax7!Z
f(x)dxune primitive defsurIdéfinie donc à une constante additive près. On dit queZ f(x)dxest une intégraleindéfiniepar opposition àZ b af(x)dxqui est appelée intégraledéfinie.Exemple :
Z xdx=12 x2+CsteoùCstedésigne une constante réelle.On rappelle la notationF(x)b
a=F(b)F(a).Théorème 1.1 (Intégration par parties) Soituetvdeux applications declasseC1C1C1définies sur un intervalleIà valeurs réellesoucomplexes.18(a;b)2I2,Z b a u(x)v0(x)dx=u(x)v(x)b aZ b a u0(x)v(x)dx.2Z u(x)v0(x)dx=u(x)v(x)Z u0(x)v(x)dx.
Formulation mnémotechnique :Z
udv=uvZ vdu.11. Deux techniques d"intégrationa) Intégration par partiesExemple 1.2 (Polynôme-logarithme)
SoitP2R[X]un polynôme de degrén.
En choisissantu(x) = ln(x)etv0(x) =P(x), alorsu0(x) =1x etv(x) =Q(x)oùQ est un polynôme primitive deP(de degrén+1) que l"on choisira sans terme constant (de façon à avoirQ(0) =0), l"IPP donneZP(x) ln(x)dx=Q(x) ln(x)ZQ(x)x
dx:Notons quex!Q(x)x
est une fonction polynôme de degrén(puisqueQ(0) =0), elle admet donc pour primitive une fonction polynômeRde degrén+1, et l"on trouve :ZP(x) ln(x)dx=Q(x) ln(x)R(x) +Cste:
Exemples :
pourP(x) =1, on choisitQ(x) =xqui donneR(x) =xet l"on obtient une primitive deln(x):Z ln(x)dx=xln(x)x+Cste: pourP(x) =xn, on choisitQ(x) =xn+1n+1qui donneR(x) =xn+1(n+1)2et l"on obtient :Z xnln(x)dx=xn+1n+1ln(x)xn+1(n+1)2+Cste:21. Deux techniques d"intégrationa) Intégration par parties
Exemple 1.3 (Polynôme-exponentielle)
Soita2RetP2R[X]un polynôme de degrén.
En choisissantu(x)=P(x)etv0(x)=eax, alorsu0(x)=P0(x)etv(x)=1a eaxet l"IPP donneZP(x)eaxdx=1a
P(x)eax1a
Z P0(x)eaxdx:
Notons queP0est un polynôme de degrén1. Ainsi, l"IPP permet d""abaisser» le degré du polynôme présent dans l"intégrande initiale. En réitérant ce procédé, on abaisse progressivement le degré dePpour arriver in fine à une primitive d"intégrande e ax:ZP(x)eaxdx=Q(x)eax+Cste
oùQest le polynôme de degréns"exprimant selonQ(x)=1a
P(x)1a
2P0(x)+1a
3P00(x)+(1)n1a
n+1P(n)(x)=nX k=0(1)k1a k+1P(k)(x): Application :supposons le réelanégatif. Alors, pour toutk2N,limx!+1P(k)(x)eax=0.Ainsi, en notantZ
+1 0 = limA!+1Z A 0 , on trouve Z +1 0P(x)eaxdx=nX
k=0(1)k+11a k+1P(k)(0):31. Deux techniques d"intégrationa) Intégration par partiesExemple 1.4 (Exponentielle complexe)
Soita;bdeux réelsnon simultanément nuls.Supposons e.g.a6=0 (sinonb6=0). En choisissantu(x)=cos(bx)etv0(x)=eax, alorsu0(x)=bsin(bx)etv(x)=1a eax et l"IPP donne Z cos(bx)eaxdx=1a cos(bx)eax+ba Z sin(bx)eaxdx: En choisissantu(x)=sin(bx)etv0(x)=eax, alorsu0(x)=bcos(bx)etv(x)=1a eax, une nouvelle IPP donneZ sin(bx)eaxdx=1a sin(bx)eaxba Z cos(bx)eaxdx que l"on reporte dans la première formule : Z cos(bx)eaxdx=1a cos(bx) +ba2sin(bx)
e axb2a 2Z cos(bx)eaxdx d"où l"on extrait Z cos(bx)eaxdx=acos(bx) +bsin(bx)a2+b2eax+Cste:
La même méthode conduirait à
Z sin(bx)eaxdx=bcos(bx) +asin(bx)a2+b2eax+Cste:
Application :soitc2C. En posantc=a+ibaveca;bréels non simultanément nuls, et en rappelant que e cx=eaxcos(bx) +isin(bx), on obtient une primitive de x7!ecx:Z e cxdx=1cecx+Cste:41. Deux techniques d"intégrationa) Intégration par parties Exemple 1.5 (Formule de Taylor avec reste intégral(facultatif))1Un calcul préliminaire Soita;bdeux réels etfune application définie sur[a;b](ou[b;a]) declasseC2C2C2. En choisissantu(x)=(bx)etv0(x)=f00(x), alorsu0(x)=1 etv(x)=f0(x)et l"IPP donneZb a (bx)f00(x)dx=(bx)f0(x)b a+Z b a f0(x)dx=f(b)f(a)f0(a)(ba) soit f(b) =f(a) +f0(a)(ba) +Z b a (bx)f00(x)dx:2Généralisation Soita;bdeux réels etfune application définie sur[a;b](ou[b;a]) declasse C n+1Cn+1Cn+1. Alors : f(b) =nX k=0f (k)(a)k!(ba)k+Z b a(bx)nn!f(n+1)(x)dx: Remarque :la fonctionf(n+1)étant continue, on peut appliquer la formule de la moyenne :9c2[a;b];Z
b a(bx)nn!f(n+1)(x)dx=f(n+1)(c)Z b a(bx)nn!dx=(ba)n+1(n+1)!f(n+1)(c): On retrouve la formule de Taylor-Lagrange avec des hypothèses plus fortes. (La formule de Taylor-Lagrange requière quefsoit de classeCnsur[a;b]et (n+1)fois dérivable sur]a;b[.)51. Deux techniques d"intégrationb) Changement de variable Théorème 1.6 (Changement de variable pour le calcul d"intégrales)1Soit'une application declasseC1C1C1sur[a;b]à valeursréellesetfune
applicationcontinuesur l"intervalle'([a;b])à valeursréellesoucomplexes.Alors :
Zb a f'(t)'0(t)dt=Z '(b) '(a)f(x)dx:2Si, de plus,'estbijectivede[a;b]sur[;] ='([a;b]), Z f(x)dx=Z '1()1()f'(t)'0(t)dt:
Formellement, on posex='(t)et l"on écritdx='0(t)dt.Théorème 1.7 (Changement de variable pour le calcul de primitives)
SoitIetJdeux intervalles,fune applicationcontinuesurIà valeursréellesou SiGest une primitive de(f')'0surJ, alorsG'1est une primitive defsurI. Autrement dit, en posantx='(t)(ou encoret='1(x)) : Z f(x)dx=Z f'(t)'0(t)dt=G(t) +Cste=G'1(x)+Cste61. Deux techniques d"intégrationb) Changement de variable Exemple 1.8 (Racine carrée d"un polynôme du 2 nddegré)Soitfune fonction continue surR. On propose une méthode de calcul de primitives des fonctionsx7!fpx2+1,x7!fp1x2etx7!fpx
21.1Le changement de variablex=shtfournit dx=chtdtetpx
2+1=cht, puisZ
fpx 2+1 dx=Z f(cht)chtdt: Si l"on dispose d"une primitiveFde la fonctiont7!f(cht)cht, alorsZ fpx 2+1 dx=F(argshx) +Cste: 2+1.)Exemple :pourf=idR,Zpx
2+1dx=Z
ch2tdt=Z12
ch(2t) +1dt 14 sh(2t) +12 t+Cste=12 chtsht+t+Cste 12 xpx2+1+argshx
+Cste:Application :Z1
0px2+1dx=12h
xpx2+1+argshxi
1 0=12 p2+ ln1+p2 :71. Deux techniques d"intégrationb) Changement de variable
Exemple 1.8 (Racine carrée d"un polynôme du 2 nddegré)Soitfune fonction continue surR. On propose une méthode de calcul de primitives des fonctionsx7!fpx2+1,x7!fp1x2etx7!fpx
21.2Le changement de variablex= sint(x2[1;1];t2[2
;2 ]) fournit dx= costdt,p1x2= cost, et sur[1;1]:Z fp1x2 dx=Z f(sint) sintdt=F(arcsinx) +Cste Fétant une primitive de la fonctiont7!f(sint) sint.Application :
L"aire sous l"arc de cercle entrecoset 1 est donnée parZ1 cosp1x2dx=Z 0 sin2tdt=Z 0121cos(2t)dt
2 14 sin(2) =2 12 cos()sin()L"aire du triangle de basecosvaut12
cos()sin().L"aire dutriangle circulairevaut alors2
.xy0y=p1x21cossinaire=2
81. Deux techniques d"intégrationb) Changement de variable
Exemple 1.8 (Racine carrée d"un polynôme du 2 nddegré)Soitfune fonction continue surR. On propose une méthode de calcul de primitives des fonctionsx7!fpx2+1,x7!fp1x2etx7!fpx
21.3Le changement de variablex=cht(x>1;t>0) fournit dx=shtdt,px
21=sht, et, e.g. sur[1;+1[:Z
fpx 21dx=Z f(sht)shtdt=F(argchx) +Cste Fétant une primitive de la fonctiont7!f(sht)sht.
Application :
L'aire sous la branche d'hyperbole entre 1 et chest donnée parZch 1px21dx=Z
0 sh2tdt=Z 012 ch(2t)1dt 14 sh(2)2 =12 ch()sh()2L'aire du triangle de base chvaut12
ch()sh().L'aire dutriangle hyperboliquevaut alors2.xy
0y=px211chshaire=2
91. Deux techniques d"intégrationb) Changement de variable
Exemple 1.8 (Racine carrée d"un polynôme du 2 nddegré)Soitfune fonction continue surR. On propose une méthode de calcul de primitives des fonctionsx7!fpx2+1,x7!fp1x2etx7!fpx
21.Généralisation : intégrales abéliennes (facultatif)
Ces trois exemples permettent en fait de calculer des primitives de fonctions de la forme fpax2+bx+clorsquea;b;csont trois réels tels quea>0 ou (a<0 etb24ac>0).
En eet, il sut de décomposer le trinômeax2+bx+csous sa forme canonique et de procéder à un changement de variable intermédiaire ane (x=u+) and'exprimerax2+bx+cen fonction deu2+1,u21 ou 1u2...102.Intégration des fonctions rationnellesa) Fonctions rationnelles
Définition 2.1
Unefonction ou fraction rationnelleFsurRest le quotient de deux fonctions polynômesPetQdeR[X],Qétant non identiquement nulle. On a donc F(x) =P(x)Q(x)pour toutx2Rtel queQ(x)6=0. On poseF=PQ.1On noteR(X)l"ensemble des fonctions rationnelles surR.2On dit que la fractionFestréductiblelorsque les polynômesPetQadmettent
un facteur commun de degré>1, i.e. lorsqu"il existe un polynômeRde degré>1 et des polynômesP1etQ1tels queP=P1RetQ=Q1R. On a alorsF=PQ =P1Q 1: Dans le cas contraire, on dit queFestirréductible.Définition 2.2SoitF=PQ
2R(X)unefraction irréductible.1On appellepartie entièredeFla fonction polynômequotientde la division
euclidienne dePparQ.2On appellepôledeFtoute racine du dénominateurQdansRouC. On appellealorsmultiplicitéd"un pôle deF, sa multiplicité en tant que racine deQ.112.Intégration des fonctions rationnellesb) Exemples préliminaires
Problématique
SoitF=PQ
2R(X)une fonction rationnelleréelle.
L'objectif de ce paragraphe est de calculer une primitive deFsurR. On commence par présenter quelques exemples avant de décrire une méthode générale. Exemples étudiés :1F(x) =2x5(x1)(x2)2F(x) =2x5x2(x1)3F(x) =3x
314F(x) =x6(x21)25F(x) =x8x
4+1122.Intégration des fonctions rationnellesb) Exemples préliminaires
Exemple 2.3
SoitF(x) =2x5(x1)(x2).
La fonction rationnelleFadmet deux pôlessimplesréels1 et 2 . L'idée est de séparer les facteurs du dénominateur(x1)et(x2). Pour cela on cherche des réelsaetb(s'ils existent) tels queF(x)=ax1+bx2. ?Méthode "provisoire» : on réduit au même dénominateur :F(x) =(a+b)x(2a+b)(x1)(x2); on identie avec l'expression initiale deF:a+b=2 et 2a+b=5; on résout le système et l'on trouvea=3e tb=1, soitF(x)=3x11x2. ?Méthode "générale» : on isoleaen multipliant par(x1):(x1)F(x) =a+( x1)bx2 et l'on fait tendrexvers1 : a= limx!1(x1)F(x) = limx!12x5x2=3; on isoleben multipliant par(x2):(x2)F(x) =( x2)ax1+b et l'on fait tendrexvers2 : b= limx!2(x2)F(x) = limx!22x5x1=1.Les fractions élémentaires
3x1et1x2s'appellent"éléments simples», ce sont
les"parties polaires»deFrelatives aux pôles1 et 2 .Il devient facile de calculer une primitive deF:Z
F(x)dx=Z3x1dxZ1x2dx=3lnjx1jlnjx2j+Cste:132.Intégration des fonctions rationnellesb) Exemples préliminaires
Exemple 2.4
SoitF(x) =2x5x
quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35[PDF] calculer cardinal probabilité
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