Calculs dintégrales et de primitives
Intégration des fonctions rationnelles a) Fonctions rationnelles. Définition 2.1. Une fonction ou fraction rationnelle F sur R est le quotient de deux
Détermination de la primitive dune fraction rationnelle à laide de la
n x. f x. d x. . où le numérateur n et le dénominateur d sont deux fonctions polynômes. Pour déterminer une primitive d'une telle fonction f on procède par
Chapitre 3 CALCUL DE PRIMITIVES
f(x)dx pour désigner une primitive de la fonction f(x). Il faut 3.5 Primitives de fractions rationnelles. Les fractions rationnelles en x (quotients de ...
1.7.4 Techniques de calcul des primitives et des intégrales.
Intégrale d'une fonction rationnelle. Lorsque l'on doit évaluer l'intégrale ou la primitive d'une fonction rationnelle. ? b.
Calculs dintégrales et de primitives
Intégration des fonctions rationnelles a) Fonctions rationnelles. Définition 2.1. Une fonction ou fraction rationnelle F sur R est le quotient de deux
Chapitre 2 Primitives - Intégration
Principe: écrire la fraction rationnelle comme une somme de fractions rationnelle dont on sait calculer la primitive. Exemple: = 1. ( ? 2)( + 3)
Primitives
3 Primitives de fractions rationnelles. 6. 3.1 Décomposition en éléments simples . . . . . . . . . 6. 3.2 Cas particulier o`u deg(Q)=2 .
Chapitre 4 - Fractions rationnelles - Décomposition en éléments
Définition 4.2 On appelle fraction rationnelle toute classe d'équivalence pour ?. L'ensemble toujours calculer une primitive (en théorie du moins).
Chapitre 1 - Fonctions polynômes fractions rationnelles
Calculer la dérivée n-ième d'une fraction rationnelle. – Calculer les primitives ou les intégrales de fonctions du type.
Calcul des primitives
Tableau des primitives usuelles. 3. Changement de variable. 4. Intégration par parties. 5. Intégration des fractions rationnelles.
[PDF] Calculs dintégrales et de primitives
Autrement dit toute fraction rationnelle réelle se décompose en somme d'un polynôme et d'éléments simples de 1re et de 2e espèce 21 Page 26 2 Intégration
[PDF] Primitives de fractions rationnelles
Détermination de la primitive d'une fraction rationnelle à l'aide de la V200 Rappelons qu'une fraction rationnelle est une fonction du type :
[PDF] Chapitre 3 CALCUL DE PRIMITIVES
Les fractions rationnelles en x (quotients de deux polynômes) sont des fonctions dont on peut toujours calculer une primitive (en théorie du moins)
Primitives des fractions rationnelles
On appelle fraction rationnelle le quotient de deux polynômes La plupart des primitives que l'on sait calculer formellement se ramènent à des calculs de
[PDF] Primitives - Mathieu Mansuy
1 1 Définition des primitives d'une fonction continue 2 1 2 Existence des primitives d'une fonction continue 3 Primitives de fractions rationnelles
[PDF] Primitives usuelles fonction primitive lnx x ? = ?1 x exemples
PRIMITIVES DES FRACTIONS RATIONNELLES Une fraction rationnelle (réelle) est un quotient de polynômes (`a coefficients réels) Exemple :
[PDF] Calcul des primitives
des fonctions usuelles Par « fonction usuelle » on entend ici les fonctions rationnelles exponen- tielles et logarithmes trigonométriques et hyperboliques
[PDF] Calcul de primitives Mathovore
21 2 Fractions rationnelles Définition 21 1 : Fractions rationnelles Une fraction rationnelle est un (( quotient )) de deux polynômes PQ ? K[X]
[PDF] 174 Techniques de calcul des primitives et des intégrales
CHAPITRE 1 FONCTIONS D'UNE VARIABLE R ´EELLE 103 Intégrale d'une fonction rationnelle Lorsque l'on doit évaluer l'intégrale ou la primitive d'une
Intégration des fonctions rationnelles [Lintégrale simple]
Les primitives d'une fraction rationnelle \(f(x)\) s'obtiennent par la primitivation de chacun des termes de sa décomposition
Comment Primitiver une fonction rationnelle ?
Les primitives d'une fraction rationnelle \\(f(x)\\) s'obtiennent par la primitivation de chacun des termes de sa décomposition.Comment décomposer une fraction rationnelle ?
On peut décomposer toute fraction rationnelle en somme de fractions élémentaires plus simples, au sens où leurs dénominateurs ne feront apparaître qu'un seul polynôme irréductible chacune. F = E + G et deg(G) < 0. Le polynôme E est appelé la partie entière de F.Comment Primitiver un polynôme ?
La primitive générale d'une fonction minuscule de est la fonction majuscule de plus telle que la dérivée première de majuscule de , prime de , soit égale à de et est une constante réelle quelconque.- On appelle élément simple de ? ( X ) une fraction rationnelle d'un des deux types suivants : type "racine réelle" : a ( x ? u ) k avec a et u des nombres réels et k un entier. Cet élément simple a pour numérateur une constante et pour dénominateur une puissance d'un polynôme x ? u où u est un réel.
Chapitre 3
CALCUL DE PRIMITIVES
3.1 D´efinition
D´efinition:soitfune fonction d´efinie sur un intervalleI. Une primitive defsurIest une fonctionFd´erivable surIet telle que, pour tout r´eelxdeI,F (x)=f(x). Th´eor`eme 12Toute fonction continue sur un intervalleIadmet des primitives surI,deux d"entre elles diff´erant d"une constante.Il est important de bien connaıtre les primitives de fonctions usuelles : on s"y ram`ene toujours.
La table ci-dessous ne pr´ecise pas les intervalles sur lesquels on consid`ere les fonctions. On utilisera la notation usuelle? f(x)dxpour d´esigner une primitive de la fonctionf(x). Il fautbien voir qu"elle cache une ambig¨uit´e, puisque qu"une primitive n"est d´efinie qu"`a une constante
pr`es sur un intervalle. Syst´ematiquement, quand on ´ecrit des ´egalit´es entre primitives, on
oubliera ces "constantes d"int´egration". Il faut se souvenir que c"est unabus de notation.Primitives de fonctions usuelles
f(x) f(x)dxf(x) f(x)dx x (α?R,α?=-1) xα+1
α+1
x ln|x| eλx1
λe λx a x (a>0,a?=1)- b,aa x cosωx 1ωsinωx
sinωx -1ωcosωx
chx shxshxchx 1 -.x 2Arctanx
1a 2 +x 2 1 aArctanxa 1 1-x 2Arcsinx
1 fF,x ln|tanx 2| 1 eIfx ln tan x2+π4
1 eIf 2 x= 1 + tan 2 xtanx 1 fF, 2 x -1 x<,x1 e( 2 x=1-th 2 xthx 1 f( 2 x-1 x(x 1 x 2 -1 b, x+⎷x 2 -1Argchxpourx>1
-Argch (-x) pourx<-1 1 1+x 2 ln(x+⎷x 2 + 1) = Argshx Soientaetbdeux r´eels d"un intervalleI,etfune fonction continue surI. L"int´egrale dea`ab def, not´ee b a f(x)dx, est le r´eelF(b)-F(a)o`uFest une primitive quelconque defsurI. 153.2Lin´earit´e
C"est l"utilisation de
(λf(x)+μg(x))dx=λ f(x)dx+μ g(x)dx.On a toujours int´eret `ad´ecomposer la fonction `a int´egrer en somme de fonctions plus simples `a
int´egrer. Par exemple, sin2xcos3xdx= 11nfF,4x-sinx)dx=11
sin5xdx-1 1 sinxdx =-1 -/eIf4x+11eIfx.La premi`ere ´egalit´e utilise sinacosb=
1 F (sin(a+b) + sin(a-b)).3.3 Int´egration par parties
C"est l"utilisation de?
f(x)g (x)dx=f(x)g(x)- f (x)g(x)dx. On suppose dans cette formule quefetgsont de classeC 1 sur l"intervalle ouvert consid´er´e. La formule vient simplement par int´egration defg =(fg) -f g.Pour l"utilisation de cette formule, il faut reconnaıtre dans la fonction `a int´egrer le morceau
fet le morceaug , dont on connait une primitiveg. C"est utile quandf gest "plus simple" que fg . Par exemple, xlnxdx=x 2 2lnx- x 221xdx=x
2 2lnx- x 2dx x 22lnx-x
2 4.L"int´egration par parties, meme quand elle semble "tourner en rond", peut permettre d"obtenir
des relations d´eterminant la primitive. Par exemple e x sin2xdx=e x sin2x-2 e x cos2xdx =e x sin2x-2e x cos2x-4 e x sin2xdx, d"o`u e x sin2xdx=1 4ne x sin2x-2e x cos2x).Mais ¸ca ne marche pas `a tous les coups :
e x chxdx=e x chx- e x shxdx =e x chx-e x shx+ e x chxdx=1+ e x chxdx, d"o`u semble-t-il 0 = 1. Expliquer ce paradoxe (se souvenir qu"une primitive n"est d´efinie qu"`a une constante pr`es!), et trouver une autre m´ethode pour calculer la primitive. Pour un calcul d"int´egrale, la formule d"int´egration par partie devient b a f(x)g (x)dx=[f(x)g(x)] ba b a f (x)g(x)dx. 163.4 Changement de variables
Proposition :Soitfune fonction continue sur l"intervalle ouvertJ, et soit?une fonction de classeC 1 sur un intervalle ouvertIet `a valeurs dansJ.SiF(x)= f(x)dx, alorsF(?(t)) =
f(?(t))? (t)dt.D´emonstration :La formule vient par int´egration de la formule de d´erivation des fonctions
compos´ees : (F◦?) =(F =(f◦?)? Pour mener les calculs, si on posex=?(t), il est commode d"´ecriredx=? (t)dt. On ne saitpas donner de sens `a cette ´egalit´e pour le moment, mais c"est bien consistant avec la notation
de Leibniz dx ,d (t). Le changement de variables s"utilise de deux fa¸cons pour calculer des primitives.1. On veut
f(?(t))? (t)dt, et on connait f(x)dx. Le probl`eme est bien sur de reconnaıtre que la fonction `a int´egrer est de la formef(?(t))? (t). Soit par exemple `a calculer 2t+1 t 2 +t+1dt.On voit que 2t+1 est la d´eriv´ee det
2 +t+1. Ici?(t)=t 2 +t+1etf(x)=1/⎷x.Ona dx x=2⎷ x, et donc 2t+1 t 2 +t+1dt=2⎷ t 2 +t+1.2. On veut
f(x)dx,etG(t)= f(?(t))? (t)dtest plus facile `a obtenir. Ceci n"a d"int´eret que si?est inversible; alors on peut exprimert=? -1 (x), et ceci donne : f(x)dx=G(? -1 (x)). Le probl`eme est de trouver un "bon" changement de variable : c"est une affaire d"exp´erience et d"intuition. Souvent, on a d"abordt=? -1 (x), avec une expression plus simple ent. Par exemple, soit `a calculer1-⎷x
xdx,avecx?]0,1[. Ce1-⎷xest embetant, alors on poset=
1-⎷x. Ceci donnet
2 =1-⎷xet x=(1-t 2 2 . La fonction?(t)=(1-t 2 2 est bien une bijection d´ecroissante de ]0,1[ sur ]0,1[, et?et? -1 sontC .Onadx=? (t)dt=-4(1-t 2 )tdt. On est amen´e`a calculer t (1-t 2 2 (-4(1-t 2 )t)dt= -4t 2 1-t 2 dt= 4-4 --t 2 dt =4t-2ln1+t 1-t d"o`u1-⎷x
xdx=41-⎷x-2ln1+
1-⎷x
1-1-⎷x.
17 Quand on applique le changement de variables au calcul d"int´egrale, il faut bien se souvenir que LES BORNES D"INTEGRATION CHANGENT. Avec les notations et les hypoth`eses de la proposition ci-dessus, siaetbsont dansI, ?(b) ?(a) f(x)dx= b a f(?(t))? (t)dt.Par exemple, le calcul
3 -1 dx (1 +x 2 )⎷1+x 2π/3
-π/4 costdt= [sint]π/3
-π/43+⎷2
1 fRdfx α3.5 Primitives de fractions rationnelles
Les fractions rationnelles enx(quotients de deux polynomes) sont des fonctions dont on peuttoujours calculer une primitive (en th´eorie du moins). L"outil fondamental est la d´ecomposition
d"une fraction rationnelle en ´el´ements simples, qui permet d"´ecrire une fraction rationnelle
comme sommed"un polynome,
d"´el´ements simples de premi`ere esp`ece (x-a) n d"´el´ements simples de deuxi`eme esp`eceλx+μ
((x-a) 2 +b 2 nquotesdbs_dbs28.pdfusesText_34[PDF] calculer cardinal probabilité
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