[PDF] Cardinalité des ensembles finis - Université de Toulouse PDF

Corollaire 12 Soit A un ensemble fini de cardinal n. Le la probabilité d'un événement A se calcule facilement : P(A) = ?.

Mathématiques pour la finance

Distribution Uniforme Probabilité de Laplace Dénombrements Les Paris. Chapitre 2. Le calcul des Probl`eme : Comment calculer les cardinaux dans des.

Quelques notions mathématiques de base

22?/01?/2017 tiques fondamentales (utilisées souvent en probabilités entre autre). ... Le nombre des éléments de E est appelé cardinal de E. Il est noté.

Chapitre 3 : Cardinaux factorielles et coefficients binomiaux. 1

aspect est la structure cardinale c'est l'aspect ”nombre” et calcul que nous allons étudier ici. Definition 1. On dit que deux ensembles E et F ont le même

Cardinalité des ensembles finis

cardinal d'un ensemble précise la notion de nombre d'éléments équiprobable (c'est à dire que chaque élément à la même probabilité.

Probabilités MATH 424 Feuille de travaux dirigés 2. Solutions.

Calculer la probabilité que la somme des points marqués sur les trois faces soit paire. ont un chiffre distinct” et son cardinal est 120 = 6×5×4.

PROBABILITÉS CONDITIONNELLES

Méthode : Calculer une probabilité conditionnelle à l'aide d'un tableau On rappelle que Cardinal de A noté Card(A)

Cours de probabilités et statistiques

Cette formule n'est valable que lorsque les événements élémentaires sont bien équiprobables. Dans ce cas il suffit de savoir calculer le cardinal des ensembles.

Probabilités

Si E et F sont deux ensembles finis le cardinal du produit cartésien E × F Remarque: Pour calculer la probabilité qu'un événement A et un.

ficall.pdf

Calculer ces cardinaux et en déduire la valeur de On peut alors résoudre un célèbre problème de probabilité le problème des chapeaux. n personnes.

[PDF] Ch 1 Ensembles et dénombrement I Ensembles II Cardinaux

On a (X = x) ? ? il s'agit d'un événement et on peut calculer sa probabilité Exemple : on lance trois fois une pi`ece ? = {F P}×{F P}×{

[PDF] Cours de probabilités et statistiques

Dans ce cas il suffit de savoir calculer le cardinal des ensembles considérés pour calculer les probabilités Page 9 1 4 IND´EPENDANCE ET CONDITIONNEMENT 9

[PDF] 2 - Le calcul des probabilités - Renaud Bourles - Centrale Marseille

Distribution Uniforme Probabilité de Laplace Dénombrements Les Paris Chapitre 2 Le calcul des Probl`eme : Comment calculer les cardinaux dans des

[PDF] Cardinalité des ensembles finis - Université de Toulouse

Qui se traduit de la manière suivante avec les cardinaux Proposition Soient E et F deux ensembles finis On a : Il existe une application injective de E dans

[PDF] Cours de Probabilités

Cette formule permet de calculer la probabilité d'un événement B en le décomposant suivant un système complet d'événements (En effet B est égal à la réunion

[PDF] Probabilités - AC Nancy Metz

Cardinal d'un ensemble Définition Si E est un ensemble fini le cardinal de E est le nombre d'élément de E On le note Card(E) ou #E () Probabilités

[PDF] Analyse combinatoire

6 mar 2008 · Calculer la probabilité que le 6 apparaisse au moins une fois Quelle valeur donner `a n pour que cette probabilité atteigne 1/2 ?

[PDF] Introduction au Calcul des Probabilités

Par rapport aux rudiments de calcul des probabilités enseignés au lycée Ce document est disponible sur Internet au format PDF `a l'adresse suivante

[PDF] Formulaire de Probabilités et Statistique - Christophe Chesneau

pdf ? Éléments de cours de Probabilités de Jean-François Marckert : Cardinal : Le nombre des éléments d'un ensemble fini A est appelé cardinal de A

[PDF] Dénombrement

Définir la notion de cardinal et les opérations sur les cardinaux Formule du crible 3 Notion de dénombrabilité 4 Arrangements permutations et combinaisons

On a (X = x) ? ?, il s'agit d'un événement, et on peut calculer sa probabilité. Exemple : on lance trois fois une pi`ece. ? = {F, P}×{F, P}×{

Comment calculer la cardinal probabilité ?
= P(A) + P(B) ? P(A ? B).
Comment calculer le cardinal de à ?
Le cardinal de A, noté Card(A), est le nombre d'éléments de l'ensemble A.
Comment déterminer le cardinal d'un ensemble ?
Lorsqu'un ensemble est fini, c'est-à-dire si ses éléments peuvent être listés par une suite finie, son cardinal est la longueur de cette suite, autrement dit il s'agit du nombre d'éléments de l'ensemble. En particulier, le cardinal de l'ensemble vide est zéro.
Cantor utilisa la notation hébraïque ? (aleph, 1ère lettre de l'alphabet hébreu choisie au détriment des lettres grecques déjà trop utilisées) pour désigner les nombres transfinis : ?_o est le cardinal de N. Un ensemble équipotent à N est dit dénombrable. Tout sous-ensemble infini de N est équipotent à N lui-même.

Cardinalité

Université de Toulouse

Année 2020/2021

1 / 23

Cardinalité des ensembles finis

Cardinalité des ensembles finis2 / 23

Ensembles équipotents

SoientE=fa;b;c;dgetF=f1;2;3g.Il existe une application surjective deEsurF, mais pas d"application injective.Il existe application injective deFsurE, mais pas d"application surjective. En fait, il n"y a pas assez d"éléments dansF(ou trop peu dansE). Le cardinal d"un ensemble précise la notion de nombre d"élémentsEnsemble de même cardinal Deux ensembles (fini ou non) sontéquipotentsou demême cardinals"il existe une bijection entre eux. Cardinalité des ensembles finisEnsembles équipotents3 / 23

Cardinal d"un ensemble fini

Définition

Un ensembleEestfinisiE=;ou si9n2?tel queEest en bijection avecf1;:::;ng. Cet entier est unique, il est appelé lecardinaldeEnoté

Card(E). SiE=;, on poseCard(E) =0.Pour montrer que cet entier est définit de manière unique, on prouve la

proposition suivante :Proposition S"il existe une application injective def1;:::;ngdansf1;:::;kgalors nk.S"il existe une application surjective def1;:::;ngdansf1;:::;kg alorsnk.S"il existe une application bijection def1;:::;ngdansf1;:::;kgalors n=k.Cardinalité des ensembles finisCardinal d"un ensemble fini4 / 23

Cardinal d"un ensemble fini

Définition

Un ensembleEestfinisiE=;ou si9n2?tel queEest en bijection avecf1;:::;ng. Cet entier est unique, il est appelé lecardinaldeEnoté Card(E). SiE=;, on poseCard(E) =0.Qui se traduit de la manière suivante avec les cardinaux.

Proposition

SoientEetFdeux ensembles finis. On a :Il existe une application injective deEdansFsi et seulement si Card(E)Card(F).Il existe une application surjective deEdansFsi et seulement si Card(E)Card(F).Il existe une application bijective deEdansFsi et seulement si Card(E) =Card(F).Cardinalité des ensembles finisCardinal d"un ensemble fini4 / 23

Principe des tiroirs

SoientEetFdeux ensembles finis non vides etf:E!Fune application. SiCard(E)>Card(F)alors il existex1;x22Etels quef(x1) =f(x2).Nombre moyen de cheveux : 150000

Nombre d"habitant à Paris : 2,2 million

Il y a au moins deux personnes à Paris qui ont exactement le même nombre de cheveux.Principe des tiroirs généralisé SoientEetFdeux ensembles finis non vides etf:E!Fune application. SiCard(E)>kCard(F)aveck2?alors il existe une valeur defqui est répétée au moinsk+1 fois.Cardinalité des ensembles finisPrincipe des tiroirs5 / 23

Principe des tiroirs

SoientEetFdeux ensembles finis non vides etf:E!Fune application. SiCard(E)>Card(F)alors il existex1;x22Etels quef(x1) =f(x2).Nombre moyen de cheveux : 150000

Nombre d"habitant à Paris : 2,2 million

Dénombrement

Dénombrement6 / 23

Pourquoi dénombrer un ensemble fini?

En informatique vous utiliserez la notion de dénombrement au moins dans

les deux cas de figures suivants :dénombrer le nombre de cas à analyser par un algorithme en vu

d"étudier sa complexité;lorsqu"on tire au hasard un élément dans un univers finis de manière équiprobable (c"est à dire que chaque élément à la même probabilité d"être tiré), la probabilité que cet élément soit dans l"ensembleA est

P(A) =Card(A)Card(

):DénombrementMotivations7 / 23 Dénombrement et opérations sur les ensembles Union

Card(A[B) =Card(A) +Card(B)Card(A\B)AB

abcd efgh DénombrementOpération sur les ensembles8 / 23 Dénombrement et opérations sur les ensembles Union

Card(A[B) =Card(A) +Card(B)Card(A\B)

Card(A[B[C) =Card(A) +Card(B) +Card(C)Card(A\B)

Card(A\C)Card(B\C) +Card(A\B\C)AB

C abcd efgh i jkl m DénombrementOpération sur les ensembles8 / 23 Dénombrement et opérations sur les ensembles

Produit cartésien

Card(AB) =Card(A)Card(B)

Card(A1 An) =Card(A1) Card(An)a

1a 2a 3a

4(a1;b1)(a1;b2)(a1;b3)(a2;b1)(a2;b2)(a2;b3)(a3;b1)(a3;b2)(a3;b3)(a4;b1)(a4;b2)(a4;b3)A=fa1;a2;a3;a4g,B=fb1;b2;b3g,Card(AB) =43=12DénombrementOpération sur les ensembles9 / 23

Dénombrement et opérations sur les ensembles

Passage au complémentaire

Card A

=Card(

)Card(A)DénombrementOpération sur les ensembles10 / 23

Arrangement

Permutation denélémentsNombre de façon de rangernobjets dans l"ordre. n! =n(n1)(n2) 21Examples :

DénombrementArrangement11 / 23

Arrangement

Permutation denélémentsNombre de façon de rangernobjets dans l"ordre. n! =n(n1)(n2) 21Examples : Voici les 4! =24 permutations de quatre éléments distincta,b,cetd: abcd abdc acbd acdb adbc adcb bacd badc bcad bcda bdac bdca cabd cadb cbad cdba cdab cdba dabc dacb dbac dbca dcab dcba

DénombrementArrangement11 / 23

Arrangement

De combien de façons pouvez-vous ranger 10 livres sur une étagère?DénombrementArrangement11 / 23