[PDF] Mathématiques pour la finance





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Ch 1. Ensembles et dénombrement I. Ensembles II. Cardinaux

Corollaire 12 Soit A un ensemble fini de cardinal n. Le la probabilité d'un événement A se calcule facilement : P(A) = ?.



Mathématiques pour la finance

Distribution Uniforme Probabilité de Laplace Dénombrements Les Paris. Chapitre 2. Le calcul des Probl`eme : Comment calculer les cardinaux dans des.



Quelques notions mathématiques de base

22?/01?/2017 tiques fondamentales (utilisées souvent en probabilités entre autre). ... Le nombre des éléments de E est appelé cardinal de E. Il est noté.



Chapitre 3 : Cardinaux factorielles et coefficients binomiaux. 1

aspect est la structure cardinale c'est l'aspect ”nombre” et calcul que nous allons étudier ici. Definition 1. On dit que deux ensembles E et F ont le même 



Cardinalité des ensembles finis

cardinal d'un ensemble précise la notion de nombre d'éléments équiprobable (c'est à dire que chaque élément à la même probabilité.



Probabilités MATH 424 Feuille de travaux dirigés 2. Solutions.

Calculer la probabilité que la somme des points marqués sur les trois faces soit paire. ont un chiffre distinct” et son cardinal est 120 = 6×5×4.



PROBABILITÉS CONDITIONNELLES

Méthode : Calculer une probabilité conditionnelle à l'aide d'un tableau On rappelle que Cardinal de A noté Card(A)



Cours de probabilités et statistiques

Cette formule n'est valable que lorsque les événements élémentaires sont bien équiprobables. Dans ce cas il suffit de savoir calculer le cardinal des ensembles.



Probabilités

Si E et F sont deux ensembles finis le cardinal du produit cartésien E × F Remarque: Pour calculer la probabilité qu'un événement A et un.



ficall.pdf

Calculer ces cardinaux et en déduire la valeur de On peut alors résoudre un célèbre problème de probabilité le problème des chapeaux. n personnes.



[PDF] Ch 1 Ensembles et dénombrement I Ensembles II Cardinaux

On a (X = x) ? ? il s'agit d'un événement et on peut calculer sa probabilité Exemple : on lance trois fois une pi`ece ? = {F P}×{F P}×{ 



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Dans ce cas il suffit de savoir calculer le cardinal des ensembles considérés pour calculer les probabilités Page 9 1 4 IND´EPENDANCE ET CONDITIONNEMENT 9



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Distribution Uniforme Probabilité de Laplace Dénombrements Les Paris Chapitre 2 Le calcul des Probl`eme : Comment calculer les cardinaux dans des



[PDF] Cardinalité des ensembles finis - Université de Toulouse

Qui se traduit de la manière suivante avec les cardinaux Proposition Soient E et F deux ensembles finis On a : Il existe une application injective de E dans 



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Cette formule permet de calculer la probabilité d'un événement B en le décomposant suivant un système complet d'événements (En effet B est égal à la réunion 



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Cardinal d'un ensemble Définition Si E est un ensemble fini le cardinal de E est le nombre d'élément de E On le note Card(E) ou #E () Probabilités



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6 mar 2008 · Calculer la probabilité que le 6 apparaisse au moins une fois Quelle valeur donner `a n pour que cette probabilité atteigne 1/2 ?



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Par rapport aux rudiments de calcul des probabilités enseignés au lycée Ce document est disponible sur Internet au format PDF `a l'adresse suivante



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pdf ? Éléments de cours de Probabilités de Jean-François Marckert : Cardinal : Le nombre des éléments d'un ensemble fini A est appelé cardinal de A



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Définir la notion de cardinal et les opérations sur les cardinaux Formule du crible 3 Notion de dénombrabilité 4 Arrangements permutations et combinaisons 

On a (X = x) ? ?, il s'agit d'un événement, et on peut calculer sa probabilité. Exemple : on lance trois fois une pi`ece. ? = {F, P}×{F, P}×{ 

  • Comment calculer la cardinal probabilité ?

    = P(A) + P(B) ? P(A ? B).

  • Comment calculer le cardinal de à ?

    Le cardinal de A, noté Card(A), est le nombre d'éléments de l'ensemble A.

  • Comment déterminer le cardinal d'un ensemble ?

    Lorsqu'un ensemble est fini, c'est-à-dire si ses éléments peuvent être listés par une suite finie, son cardinal est la longueur de cette suite, autrement dit il s'agit du nombre d'éléments de l'ensemble. En particulier, le cardinal de l'ensemble vide est zéro.
  • Cantor utilisa la notation hébraïque ? (aleph, 1ère lettre de l'alphabet hébreu choisie au détriment des lettres grecques déjà trop utilisées) pour désigner les nombres transfinis : ?o est le cardinal de N. Un ensemble équipotent à N est dit dénombrable. Tout sous-ensemble infini de N est équipotent à N lui-même.
Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP aris

Chapitre 2

Le calcul des probabilitesRenaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP aris Equiprobabiliteet Distribution UniformeDeux evenementsAetBsont ditsequiprobablessi

P(A) =P(B)Si il y a equiprobabilite sur

, cad si tous les evenements elementaires ont la m^eme probabilite. On parlera alors de distribution de probabilite uniformeDenition

On appelledistribution uniformesur

la fonction de distribution qui assigne la m^eme valeur a tous les evenements elementaires. Si =f!1;!2;:::;!ng, la distribution de probabilite uniforme s'ecritp(!) =1n ,8!2

Remarque :On a bien alorsX

!2 p(!) =n:1n = 1Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP aris Probabilitede LaplaceSi la distribution de probabilites sur est uniforme, la probabilite d'un evenementEest deni par

P(E) =card(E)card(

ou card(E) represente le cardinal deEc'est a dire le nombre d'evenements elementaires contenus dansE

Remarque :On a bienP(

) = 1P(A[B) =P(A) +P(B) siA\B=; (car alors card(A\B)=0)Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP aris

Exemple

On lance deux des et on fait la somme des resultats. Soit E="le total est 7". Quelle est la probabilite deE?Si on choisit comme evt elementaires la somme : =f2;3;:::;12g, la distribution n'est pas uniforme

(une seule maniere d'obtenir 2, plusieurs d'obtenir 7)Prenons comme univers les couples de resultats :

=f(i;j);1i6;1j6g

Alors la distrib est uniforme et card(

) = 6

2= 36 (arbre)

E=f(1;6);(2;5);(3;4);(4;3);(5;2);(6;1)g

)card(E) = 6 etP(E) =636 =16 Probleme : Comment calculer les cardinaux dans des problemes plus compliques (loto foot, tierce, jeux de carte)? Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP aris

DenombrementsOn considere une experience

a plusieurs etapes telle que le nb d'issuesma l'etapenne depend pas du

resultat des etapes precedentesle nb d'issuesmpeut dierer selon les etapeson cherche le nb de manieres dont l'exp peut se derouler

Soit une t^ache qui se deroule enretapes. Siil y an1facons de realiser la premiere etape,pour chaque des cesn1facons, on an2possibilites... et ainsi de suite jusqu'anr

Alorsle nombre total de facons dont cette tache peut se

derouler est donne par le produitN=n1:n2:n3:::nrRenaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

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Listes

Denition

SoitEun ensemble denelements. Unep-liste deEest une collectionordonneedepelements deE:x1;x2;:::;xp;xi2E

8iRemarques

on tient compte de l'ordre un m^eme element peut revenir plusieurs fois Exemple type :Tirage avec remise: Une urne contient 10 boules numerotees. On extrait 3 boules, avec remise apres chaque tirage. Le resultat est une 3-liste def1;2;:::;10g

Autres exemples :une grille de loto-foot est une 16-liste def1;N;2gun code PIN a 4 chires est une 4-liste def1;2;:::;9gRenaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

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Theoreme 2.1

Il existenpp-listes de E (oun= card(E))(on utilise la formuleN=n1:n2:::npavecn1=n2=:::=np)

Exemplesil y a 10

3= 10:000 tirages (de 10 boules avec remise)

possibles (cf. arbre)il y a 3

16= 43:046:721 grilles de loto foot possiblesil y a 9

4= 6:561 codes PIN a 4 chires possiblesRenaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

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Arrangements

Denition

SoitEun ensemble denelements. Unp-arrangement deE

est une collectionordonneedepelementsdistinctsdeE (pn):x1;x2;:::;xp;xi2E xi6=xjsii6=jRemarques on tient compte de l'ordre un m^eme element ne peut pas revenir plusieurs fois Exemple type :Tirage sans remise: Une urne contient 10 boules numerotees. On extrait 3 boules, sans remettre les boules tirees. Le resultat est une 3-arrangement de f1;2;:::;10g Autres exemples :Le tierce gagnant dans une course a 18

chevaux est un 3-arrangement def1;2;:::;18gRenaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

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Theoreme 2.2

Il existeApn=n!(np)!p-arrangements de E(on utilise la formuleN=n1:n2:::npavecni+1=ni1 )ni=ni+ 1)Denition Soitkun entier positif. La factorielle dek(ou factoriellek), notek! est deni park!k(k1)(k2):::1 =kY i=1i.Par convention 0! = 1

Exemples :1! = 1 ; 2! = 2x1 = 2 ; 3! = 3x2x1 = 6

Propriete :p:(p1)! =p!Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP aris

Ainsi,

A

pn=n!(np)!=n(n1):::(np+1)(np)!(np)!=n(n1):::(np+ 1)Cas particulier:sip=n(classement complet dans l'ordre),

A pn=n! et on parle depermutationdeE(une permutation est donc unn-arrangement) ExemplesIl y aA310= 10x9x8 = 720 tirages (de 10 boules sans remise) possibles (cf. arbre)Il y aA318= 18x17x16 = 4896 tierces dans l'ordre possibles Application :Si equiprobabiliteproba de toucher le tierce dans l'ordre= 14896
= 0;02%proba de toucher le tierce dans le desordre= 54896
= 0;10% ((acb);(bac);(bca);(cab);(cba)) Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP aris

Combinaisons

Denition

SoitEun ensemble denelements. Unep-combinaison est une collectionnon ordonneedepelementsdistinctsdeE (pn)Remarques on ne tient pas compte de l'ordre un m^eme element ne peut pas revenir plusieurs fois Exemple type :Tirage du loto. C'est une 6-combinaison de f1;2;:::;49g Autres exemples :Un tierce, dans le desordre, d'une course a 18 chevaux est une 3-combinaison def1;2;:::;18gune "main"au poker (tirage de 5 cartes) est une

5-combinaison de l'ensemble des 32 cartes

Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP aris

Theoreme 2.3

Il existeCpn=n!(np)!p!p-combinaisons de ERemarque

C pnest aussi appele "coecient binomial"et est parfois note n pC pn=Apnp!="arrangements de p elements""permutation des p elements" (Cnn= 1)

Exemples:il y aC649=49!43!6!

= 13:983:816 tirages possibles du lotoil y aC318=18!15!3! =18x17x163x2x1= 816 tierces possibles dans le desordreil y aC532= 201:376 mains possibles dans un jeu de 32 cartes Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP aris

Proprietes des combinaisonsPropriete 1 (symetrie)

C pn=CnpnInterpretation C pn=nb de facons d'extrairepelmts d'un ens denelmtsC npn=nb de facons de laisserpelmts dans ens denelmtsPropriete 2 (Triangle de Pascal) C p1 n1+Cp n1=CpnExemple C

649tirages possibles du LotoC

648tirages possibles ne contenant pas la boule 1C

548tirages possibles contenant la boule 1

)necessairementC548+C648=C649Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP aris

Ensemble des parties:P(E)Denition

SoitEun ensemble denelements. L'ensemble des parties de

E est alors deni parP(E) =fA=AEgExemples

E=;, cardE= 0,P(E) =f;g, cardP(E) = 1E=fag, cardE= 1,P(E) =f;;fagg, cardP(E) = 2E=fa;bg, cardE= 2,P(E) =f;;fag;fbg;fa;bgg,

cardP(E) = 4 = 22Theoreme 2.4 cardP(E) = 2n= 2cardE"Demonstration"P(E) =C0n+C1n+C2n+:::+Cnn

+ Bin^ome de Newton: (a+b)n=Conanb0+:::+Cknankbk+:::+Cnna0bnRenaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP aris Permutations d'objets partiellement indiscernables

Soitnobjets que l'on decompose enpgroupes:

n=n1+n2+:::+np. A l'interieur de chaque groupes les objets sont indiscernables.

Le nombre de permutations de ces objets est

n!n

1!n2!:::np!

ExemplesDe combien de facon peut-on aligner 3 boules rouges, 2 vertes et 5 bleues?

10!5!3!2!

= 2520Combien de "mots"de 6 lettres peut-on former avec les lettre S, R, R, E, E, E?

6!3!2!1!

= 60Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP aris Probabilites Subjectives : Les ParisProbl^eme :Les distributions de probabilites ne sont pas toujours uniformes et on ne peut pas toujours denir des probabilites objectives! ExemplesProbabilite que le TeFeCe batte l'OM ou qu'un actif soit en hausse. On peut toutefois conna^tre les probabilites subjectives que chaque individu attache a ces evenements a l'aide des paris! Si je suis pr^et a payer 2 euros si Toulouse gagne pour recevoir

1 euro quand Marseille gagne, cela signie que je pense que la

probabilite que Marseille gagne est 2=3Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP aris

Plus generalement,

paris arcontre 1 que l'evenementEse realise. ,Earfois + de chance de survenir que de ne pas survenir, cadP(E) =rP(E)

)P(E) =rr+1(carP(E) +P(E) = 1)Cas general d'une c^ote arcontres:P(E) =r=sr=s+1=rr+sSi on connait la probaP(E) =p, on ar=s=p1pRenaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

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