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kx xm - = xx
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COMMANDABILITÉ ET OBSERVABILITÉ DES SYSTÈMES LINÉAIRES. 1. Modèle d'état du processus compensé : qθ = ω qω = Ω2θ − x. 3 + u qx. 3 = Ωu y = θ. Donc A = 0 1 0.
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4 Commandabilité et observabilité. 83. 4.1 Commandabilité non linéaire Exercice 17 (commandabilité des syst`emes discrets) Donner une définition de la.
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8.7 Commandabilité et observabilité . La robustesse du processus corrigé est alors faible et la synth`ese de la commande doit.
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Représentation et analyse des syst`emes linéaires 1 Compléments
Les propriétés de commandabilité et d'observabilité d'une représentation [7] o`u l'on pourra trouver de nombreux exercices corrigés ainsi qu'une courte.
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3. Mettre le système sous forme diagonale. Conclure sur la commandabilité et l'observabilité? > Solution 1. Matrice de passage :.
Travaux dirigés III Commandabilité et observabilité des systèmes
Il est également complètement observable puisque aucune colonne dans le vecteur ˜C n'est nulle. III.2 Solution de l'exercice 2. La matrice de commandabilité est
CORRIGÉS DES EXERCICES PROPOSÉS
CORRIGÉS DES EXERCICES PROPOSÉS. MODÉLISATION COMMANDABILITÉ ET OBSERVABILITÉ DES SYSTÈMES LINÉAIRES ... Appliquons le critère de commandabilité : Q =.
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Cas d'un système multivariable. ? Passage fonction de transfert ? modèle d'état. ?Forme canonique de commandabilité. ?Forme canonique d'observabilité.
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Exercices supplémentaires : Systèmes d’état : Commandabilité
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Cours 9 Commandabilité observabilité représentations minimales
La commandabilité et l’observabilité sont deux concepts développés pour la représentation d’état des systèmes qui permettent de caractériser respectivement la possibilité que la commande exerce une influence sur un des états et la possibilité d’obtenir une certaine information d’un des états
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commandabilité et l’observabilité des variables d’états du vecteur x Commandabilité : on a x1 non commandable et x2 commandable Observabilité : on a x1 et x2 observable Remarque : Cependant on ne peut rien conclure sur x1 et x2 4 Déterminer la sortie y(t) pour une entrée en échelon unitaire
Qu'est-ce que la commandabilité et l'observabilité?
La commandabilité et l'observabilité sont des propriétés structurelles du système qui n'apparaissent pas dans la représentation par fonction de transfert. . La condition nécessaire et suffisante de commandabilité ci-après est appelée le critère de Kalman pour la commandabilité.
Qu'est-ce que la commandabilité et l'observabilité ?
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Comment définir la commandabilité et l'observabilité d'un système non linéaire?
La commandabilité et l'observabilité d'un système non linéaire se définissent de la manière habituelle, déjà explicitée ci-dessus. La commandabilité s'étudie, dans le cas de systèmes affines en la commande, c'est-à-dire régis par une équation d'état de la forme
Qu'est-ce que la commandabilité?
La commandabilité est une notion importante puisqu¶elle établit le fait que l¶on puisse commander le système afin de modifier son comportement (stabilisation d¶un système instable, modification des dynamiques propres). Cette notion joue donc un rôle très important dans la théorie de la synthèse de systèmes de commande dans l¶espace d¶état.
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Document mis à jour le 10 septembre 2009
Infos:gdrion@ulg.ac.be
UNIVERSITÉ DE LIÈGE
INSTITUT MONTEFIORE
ANALYSE ET SYNTHÈSE DES SYSTÈMES
Prof. R. Sepulchre - Prof. E. Bullinger
Exercices supplémentaires :
Systèmes d"état :
Commandabilité et Observabilité
Année académique 2009-2010
1 Le satellite
On considère les équations linéarisées d"un satellite au voisinage d"une orbite circulaire
parcourue à vitesseωconstante :¨r= 3ω2r+ 2ωθ+ur(1)
¨θ=-2ωr+uθ(2)
Le satellite est commandé par deux moteurs. Le premier fournit une force radialeuret le second une force tangentielleuθ. La sortie mesuréeyest la position radialer.On demande :
1. Suite à un problème technique, vous devez couper un des deux moteurs. Lequel choisiriez-
vous?2. De montrez que si l"autre choix est fait, il existe une quantité conservée (intégrale pre-
mière). Déduisez-en l"équation du mode non-commandable.3. De déterminer si ce système est observable lorsque la sortie mesurée est la position
radialer, si possible sans calculer le rang d"une matrice. Si non, quelle sortie utiliser?4. De déterminer les conditions initiales qui ne peuvent être distinguées les unes des autres
lorsque seulsy(t)etu(t)sont connus. 1Solution
1. Nous pouvons écrire le modèle d"état suivant :
x1=x3(3) x2=x4(4) x3= 3ω2x1+ 2ωx4+ur(5) x4=-2ωx3+uθ(6) y=x1(7) oùx1=r,x2=θ,x3= retx4=θ. Les matrices d"état de ce système s"écrivent donc :A=((((0 0 1 00 0 0 1
3ω20 0 2ω
0 0-2ω0))))
(8) B r=((((0010)))) (9) Bθ=((((0001))))
(10)C= (1 0 0 0)(11)
D= 0(12)
Si on choisi de conserver le moteur tangentiel, la matrice decommandabilité s"écrit : (BθABθA2BθA3Bθ) =((((0 0 2ω00 1 0-4ω
0 2ω0-2ω3
1 0-4ω20))))
(13) Elle est de rang plein (rang 4), le système est donc commandable. Par contre, si on conserve plutôt le moteur radial, la matrice de commandabilité s"écrit : (BrABrA2BrA3Br) =((((0 1 0-ω20 0-2ω0
1 0-ω20
0-2ω0 2ω3))))
(14) Elle n"est pas de rang plein (rang 3) : la deuxième et la quatrième colonne sont linéaire- ment dépendantes. Le système possède donc dans ce cas un modenon-commandable. L"automaticien averti choisira donc de sacrifier le moteur radial. 22. Dans le casuθ= 0, l"équation (6) peut se récrirex4=-2ωx1et doncx4+ 2ωx1= Cte.
Ce système possède donc un mode non commandable :z(t) =x4(t) + 2ωx1(t)avec z(t) = 0.3. La variable d"étatx2n"est pas observable car elle n"intervient pas dans l"équation de la
sortiey, ni dans celles des dérivées des autres variables d"état. Son estimation nécessi-
terait l"intégration dey... Une sortie à utiliser pour rendre le système observable est la position angulaireθ.4. Les conditions initiales qui ne peuvent être distinguéesles unes des autres sont celles
relatives au mode non-observable, donc sur la position angulaire. Autrement dit, la position angulaire d"un satellite ne peut pas êtreobservéesi on ne mesure que sa position radiale.2 Construction d"un modèle d"état - Juin 2007
On demande :
1. De construire un modèle d"étatobservablemaisnon-commandablede fonction de trans-
fert :H(s) =1
s+ 12. De construire un observateur pour ce système en justifiantle choix des gains.
3. Sous quelle(s) condition(s) peut-on négliger la présence de modes observables mais non-
commandables dans le design d"un système?4. De donner un exemple physique d"un système comportant un mode observable mais
non-commandable.Solution
1. Construction d"un modèle d"étatobservablemaisnon-commandable
On désire un modèle non-commandable. Partons donc de la forme canonique de comman- dabilité : ?xC xNC? =?A1A12 0A2? A? xC x NC? +?B1 0? Buquotesdbs_dbs2.pdfusesText_3[PDF] observabilité définition
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