Exercices supplémentaires : Systèmes détat : Commandabilité et
10 sept. 2009 Exercices supplémentaires : Systèmes d'état : Commandabilité et Observabilité. Année académique 2009-2010. 1 Le satellite. On considère les ...
Correction du TD 3 Automatique
commandabilité et l'observabilité des variables d'états du vecteur x . Commandabilité : on a 1 x commandable et 2 x non commandable. Observabilité : on a 1 x
kx xm - = xx
UE Robotique et Contrôle. Cours ICP Année 2013-2014. Liste d'exercices
TD 2 dautomatique [ ] [ ]
2) Vérifier la commandabilité et l'observabilité du système. 3) Représenter ce système sous forme de schéma bloc. Exercice 3. Le comportement d'un système
CORRIGÉS DES EXERCICES PROPOSÉS
COMMANDABILITÉ ET OBSERVABILITÉ DES SYSTÈMES LINÉAIRES. 1. Modèle d'état du processus compensé : qθ = ω qω = Ω2θ − x. 3 + u qx. 3 = Ωu y = θ. Donc A = 0 1 0.
ANALYSE ET COMMANDE DE SYST`EMES DYNAMIQUES
4 Commandabilité et observabilité. 83. 4.1 Commandabilité non linéaire Exercice 17 (commandabilité des syst`emes discrets) Donner une définition de la.
TD - ENSTA-Bretagne 1ère année Automatique 2012-2013
3) Conclure sur le critère de commandabilité. Exercice .33. Preuve du critère d'observabilité. Soit le système linéaire à temps continu. ˙x = Ax + Bu y = Cx
Stabilité et commande des systèmes dynamiques
27 mar. 2018 sont la commandabilité l'observabilité et la stabilisation. Chaque chapitre ... Corrigé de l'exercice 1.10. Cet exercice est un exemple d ...
AO 102 Systèmes Dynamiques
sont la commandabilité l'observabilité et la stabilisation. Chaque chapitre Corrigé de l'exercice 2.3. Le polynôme caractéristique de A est PA(λ) = (λ + ...
Analyse et correction des Systèmes linéaires continus ou
8.7 Commandabilité et observabilité . La robustesse du processus corrigé est alors faible et la synth`ese de la commande doit.
Exercices supplémentaires : Systèmes détat : Commandabilité et
10 sept. 2009 Exercices supplémentaires : Systèmes d'état : Commandabilité et Observabilité. Année académique 2009-2010. 1 Le satellite.
Représentation et analyse des syst`emes linéaires 1 Compléments
Les propriétés de commandabilité et d'observabilité d'une représentation [7] o`u l'on pourra trouver de nombreux exercices corrigés ainsi qu'une courte.
Correction du TD 3 Automatique
3. Mettre le système sous forme diagonale. Conclure sur la commandabilité et l'observabilité? > Solution 1. Matrice de passage :.
Travaux dirigés III Commandabilité et observabilité des systèmes
Il est également complètement observable puisque aucune colonne dans le vecteur ˜C n'est nulle. III.2 Solution de l'exercice 2. La matrice de commandabilité est
CORRIGÉS DES EXERCICES PROPOSÉS
CORRIGÉS DES EXERCICES PROPOSÉS. MODÉLISATION COMMANDABILITÉ ET OBSERVABILITÉ DES SYSTÈMES LINÉAIRES ... Appliquons le critère de commandabilité : Q =.
Présentation PowerPoint
Rappel des transformées de Laplace. Représentation externe et stabilité. Représentation interne. Commandabilité et Observabilité. Commande par retour d'état.
Liens entre fonction de transfert et représentations détat dun système
Cas d'un système multivariable. ? Passage fonction de transfert ? modèle d'état. ?Forme canonique de commandabilité. ?Forme canonique d'observabilité.
Analyse et correction des Systèmes linéaires continus ou
3 Commandabilité et observabilité des syst`emes La robustesse du processus corrigé est alors faible et la synth`ese de la ... 9 Exercices divers.
TD - ENSTA-Bretagne 1ère année Automatique 2012-2013
3) Conclure sur le critère de commandabilité. Exercice .33. Preuve du critère d'observabilité. Soit le système linéaire à temps continu. ?x = Ax + Bu.
TD 2 dautomatique [ ] [ ]
2) Vérifier la commandabilité et l'observabilité du système. 3) Représenter ce système sous forme de schéma bloc. Exercice 3.
Exercices supplémentaires : Systèmes d’état : Commandabilité
ANALYSE ET SYNTHÈSE DES SYSTÈMES Prof R Sepulchre - Prof E Bullinger Exercices supplémentaires : Systèmes d’état : Commandabilité et Observabilité Année académique 2009-2010 1 Le satellite On considère les équations linéarisées d’un satellite au voisinage d’une orbite circulaire parcourue à vitesse ? constante :
Cours 9 Commandabilité observabilité représentations minimales
La commandabilité et l’observabilité sont deux concepts développés pour la représentation d’état des systèmes qui permettent de caractériser respectivement la possibilité que la commande exerce une influence sur un des états et la possibilité d’obtenir une certaine information d’un des états
Searches related to exercice corrigé commandabilité et observabilité PDF
commandabilité et l’observabilité des variables d’états du vecteur x Commandabilité : on a x1 non commandable et x2 commandable Observabilité : on a x1 et x2 observable Remarque : Cependant on ne peut rien conclure sur x1 et x2 4 Déterminer la sortie y(t) pour une entrée en échelon unitaire
Qu'est-ce que la commandabilité et l'observabilité?
La commandabilité et l'observabilité sont des propriétés structurelles du système qui n'apparaissent pas dans la représentation par fonction de transfert. . La condition nécessaire et suffisante de commandabilité ci-après est appelée le critère de Kalman pour la commandabilité.
Qu'est-ce que la commandabilité et l'observabilité ?
La commandabilité et l’observabilité sont deux concepts développés pour la représentation d’état des systèmes qui permettent de caractériser respectivement la possibilité que la commande exerce une influence sur un des états et la possibilité d’obtenir une certaine information d’un des états.
Comment définir la commandabilité et l'observabilité d'un système non linéaire?
La commandabilité et l'observabilité d'un système non linéaire se définissent de la manière habituelle, déjà explicitée ci-dessus. La commandabilité s'étudie, dans le cas de systèmes affines en la commande, c'est-à-dire régis par une équation d'état de la forme
Qu'est-ce que la commandabilité?
La commandabilité est une notion importante puisqu¶elle établit le fait que l¶on puisse commander le système afin de modifier son comportement (stabilisation d¶un système instable, modification des dynamiques propres). Cette notion joue donc un rôle très important dans la théorie de la synthèse de systèmes de commande dans l¶espace d¶état.
Analyse et correction des
Systèmes linéaires continus ou
échantillonnés à l"aide des
variables d"étatGonzalo Cabodevila
gonzalo.cabodevila@femto-st.fr2ème année
Semestre vert
Automatique avancée
filière EAOIÉcole Nationale Supérieure de
Mécanique et des Microtechniques
26, chemin de l'Épitaphe
25030 Besançon cedex - FRANCE
http://intranet-tice.ens2m.frTable des matieres
1 Exemple introductif : l rouge 7
1.1 Dierentes representations d'un systeme physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71.1.1 Equations dierentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71.1.2 Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81.1.3 Reponse impulsionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81.1.4 Representation d'etat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81.2 Proprietes de la representation d'etat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101.2.1 Non unicite de la representation d'etat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101.2.2 Matrice de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101.3 Inter^et de cette representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
121.4 Resolution des equations d'etat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
121.4.1 Cas simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
121.4.2 Cas general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
141.4.3 Generalisation aux systemes variants dans le temps . . . . . . . . . . . . . . . .
141.4.4 Simulation sur calculateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
152 Obtention des equations d'etat 17
2.1 Methode directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
172.2 A partir de la fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
172.2.1 Forme 1 : forme canonique de commandabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . .
172.2.2 Forme 2 : forme canonique d'observabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
182.2.3 Representation modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
192.2.4 Forme canonique de Jordan (forme diagonale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
193 Commandabilite et observabilite des systemes 25
3.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
253.2 Que faire si un systeme n'est pas observable et/ou commandable . . . . . . . . . . . .
273.2.1 Retour sur conception . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
273.2.2 Reduction de modeles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
274 Transformation en l'une des formes canoniques 29
4.1 Diagonalisation de la matriceA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29
4.2 Consequences pour la commandabilite et l'observabilite . . . . . . . . . . . . . . . . .
304.3 Cas des valeurs propres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
314.3.1 Diagonalisation classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
314.3.2 Transformation modiee :Tm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31
4.4 Transformation en la forme canonique d'asservissement . . . . . . . . . . . . . . . . .
324.5 Transformation en la forme canonique d'observabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
323
4TABLE DES MATIERES
5 Stabilite des systemes dynamiques lineaires 35
5.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
355.2 Etude de la stabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
355.3 Stabilite au sens de Lyapounov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
375.3.1 Theoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
375.3.2 Interpretation physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
375.3.3 Applications aux systemes lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
385.3.4 Fil rouge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
386 Commande des systemes 39
6.1 Placement de p^oles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
396.1.1 Calcul du regulateurL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39
6.1.2 Calcul de la matrice de preltreS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40
6.2 Cas d'une representation quelconque du systeme a asservir . . . . . . . . . . . . . . . .
416.2.1 Transformation en la forme canonique de commandabilite . . . . . . . . . . . .
416.2.2 Theoreme de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
416.3 Commande Modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
426.3.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
426.3.2 Methode de synthese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
426.4 Choix des p^oles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
446.4.1 P^oles complexes conjugues dominants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
456.4.2 Maximalement plat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
466.4.3 P^oles a partie reelle identique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
466.4.4 Polyn^omes de Naslin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
466.5 Commande optimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
486.5.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
486.5.2 Stabilite de la commande optimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
486.5.3 Choix des matriceRetQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48
6.5.4 Exemple : l rouge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
497 Synthese d'observateurs d'etat 51
7.1 Introduction au probleme de la reconstruction d'etat . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
517.1.1 Par calcul direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
517.1.2 Par simulation du processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
517.1.3 Par simulation du processus et asservissement sur les parties connues du vecteur
d'etat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527.2 Observateurs de Luenberger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
527.3 Observateurs d'ordre reduit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
547.3.1 Hypotheses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
547.4 Observateur generalise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
557.5 Equation d'etat d'un systeme asservi avec observateur . . . . . . . . . . . . . . . . . .
577.5.1 Theoreme de separation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
577.6 Filtrage de Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
588 Representation d'etat des systemes lineaires echantillonnes 59
8.1 Systeme discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
598.2 Resolution des equations dans le domaine du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
608.3 Application de la transformee enz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60
8.4 Matrice de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
618.5 Obtention d'un modele d'etat a partir de la fonction de transfert enz. . . . . . . . .61
8.6 Resolution de l'equation d'etat dans le domaine dez. . . . . . . . . . . . . . . . . . .61
8.7 Commandabilite et observabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61TABLE DES MATI
ERES58.7.1 Commandabilite d'un systeme echantillonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
618.7.2 Observabilite d'un systeme echantillonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
628.8 Stabilite des systemes echantillonnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
638.9 Commandes des systemes echantillonnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
638.9.1 Calcul de la matrice de preltre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
648.9.2 Commande optimale dans le cas discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
649 Annales d'examens 65
Devoir personnel Juin 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66Examen nal Juin 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Examen nal Juin 2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
10 Travaux diriges75
I Annexes89
A Quelques publications originales 91
6TABLE DES MATIERES
Chapitre 1
Exemple introductif : l rouge
1.1 Dierentes representations d'un systeme physique
Soit un moteur a courant continu commande par l'inducteur.I= cteJ;fi u Figure1.1 { Moteur a courant continu commande par l'inducteur commande : u sortie : ! Le systeme est monovariable, lineaire invariant dans le temps, il peut donc ^etre represente par une equation dierentielle a coecients constants.1.1.1 Equations dierentielles
Le systeme represente en gure 1.1 est decrit par les equations suivantes : u=Ri+Ldidt (1.1) J d!dt +f!= (1.2) =ki(1.3) J d2!dt2+fd!dt
=kdidt =kL (uRi) =kL uRk d!dt +f! (1.4) J d2!dt 2+ f+RJL d!dt +RfL !=kL u(1.5) d 2!dt 2+fJ +RL d!dt +RfLJ !=kLJ u(1.6) d 2!dt2+a1d!dt
+a0!=b0u(1.7) Des lors!(t) est connu si u(t) et les deux conditions initiales (!(0) etd!(0)dt ) sont connues. 78CHAPITRE 1. EXEMPLE INTRODUCTIF : FIL ROUGE
1.1.2 Fonction de transfert
En utilisant la transformation de Laplace :
L[e(t)] =Z
1 0 epte(t)dt;(1.8) L de(t)dt =pE(p)e(0);(1.9) nous obtenons la transformee de (1.7) : p 2 (p)p (0)_ (0) +a1(p (p) (0) +a0 (p) =b0U(p) (1.10) d'ou : (p) =b0p2+a1p+a0U(p) +
(0)(a1+p) +_ (0)p2+a1p+a0(1.11)
Si les conditions initiales sont nulles :
(p) =b0p2+a1p+a0U(p) (1.12)
(p)U(p)=b0p2+a1p+a0=H(p) (1.13)
H(p) est la fonction de transfert du systeme.
1.1.3 Reponse impulsionnelle
Si les conditions initiales sont nulles :
(p) =H(p)U(p) (1.14) En repassant en temporel, la multiplication est transformee en une convolution !(t) =h(t)? u(t) =Z 1 0 h()u(t)d(1.15) donc h(t) =kRJLf efJ teRL t (1.16)1.1.4 Representation d'etat
Si l'on desire realiser une simulation analogique du systeme a partir d'integrateurs, l'equation (1.7)
peut se mettre sous la forme : d 2!dt2=b0ua1d!dt
a0!(1.17) d'ou le schema suivant, Les variables d'etat sont les sorties des integrateurs. x1=!; x2=d!dt
= _!(1.18) Le systeme peut ^etre represente par les deux equations suivantes,1.1. DIFF
ERENTES REPRESENTATIONS D'UN SYSTEME PHYSIQUE9b
0RR a 1a 0u d2!dt d!dt _!(0)!(0)Figure1.2 { Schema d'un simulateur analogique
_x1=x2(1.19) _x2=b0ua0x1a1x2(1.20)La representation utilisee classiquement est la representation matricielle, on denit alors un vecteur
d'etat, x=x1 x 2 (1.21)Equation d'etat :
_x1 _x2 =0 1 a0a1 x1 x 2 +0 b 0 u(1.22)Equation de sortie :
!=1 0x1 x 2 (1.23)equation d'etat + equation de sortie = representation d'etatDans le cas general, l'ecriture de la representation d'etat est la suivante,
_x=Ax+Bu(1.24) y=Cx+Du(1.25) Dans les cas qui nous interessent c'est-a-dire les systemes a une seule entree et une seule sortie, l'ecriture generale de la representation d'etat est la suivante, _x=Ax+Bu(1.26) y=Cx+Du(1.27) Dimensions : si le vecteur d'etat est de dimensionn, alors |Aest de dimensionnlignesncolonnes, |Best de dimensionnlignes1 colonne, |Cest de dimension 1 lignencolonnes, |Dest une constante (tres souvent nulle).10CHAPITRE 1. EXEMPLE INTRODUCTIF : FIL ROUGE
1.2 Proprietes de la representation d'etat
1.2.1 Non unicite de la representation d'etat
La representation d'etat n'est pas unique, dans l'exemple traite jusqu'a present nous avons choisi le
vecteur d'etat suivant x=! _! (1.28) nous aurions pu choisir un autre vecteur d'etat, par exemple x=i (1.29) En eet, en reprenant les equations fondamentales du systeme u=Ri+Ldidt (1.30) J d!dt +f!=ki(1.31) avec ce nouveau vecteur d'etat elle peuvent ^etre ecrites sous la formeU=Rx1+L_x1(1.32)
J_x2+fx2=kx1(1.33)
d'ou la representation d'etatEquation d'etat :_x1
_x2 =RL 0 kJ fJ x1 x 2 1L 0 u(1.34)Equation de sortie :
!=0 1x1 x 2 (1.35)Notez que nous n'aurions pas pu prendreietdidt
comme vecteur d'etat cardidt n'est pas une sortie d'integrateur. En fait, on peut prendre comme vecteur d'etat n'importe quelle combinaison lineaire d'un vecteur d'etat valable.Soitx0=Mx
_ x0=M1AMx0+M1Bu(1.36) y=CMx0+Du(1.37)1.2.2 Matrice de transfert
En prenant la transformee de Laplace de la representation d'etat, on obtient, pX(p)x(0) =AX(p) +BU(p)(1.38)Y(p) =CX(p) +DU(p)(1.39)
1.2. PROPRI
ETES DE LA REPRESENTATION D'ETAT11B1
pCAU(p)Y(p)+
+D x(0) Figure1.3 { Schema general apres transformation de Laplace les equations (1.38) et (1.39) se reecrivent sous la forme [pIA]X(p) =x(0) +BU(p)(1.40)Y(p) =CX(p) +DU(p)(1.41)
X(p) = = [pIA]1x(0) + [pIA]1BU(p)(1.42)
Y(p) =C[pIA]1x(0)
|{z} C I+hC[pIA]1B+Di
|{z} matrice de transfertU(p)(1.43) en posant T=hC[pIA]1B+Di
quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14[PDF] observabilité définition
[PDF] matrice de trace nulle probleme
[PDF] querelle des anciens et des modernes jean de la fontaine
[PDF] anecdote sur anne frank
[PDF] exercice montrer que deux matrices sont semblables
[PDF] fontenelle
[PDF] vidéo anne frank
[PDF] matrice semblable exemple
[PDF] querelle des anciens et des modernes la fontaine
[PDF] anne frank reportage
[PDF] autoportrait anne frank
[PDF] pere d anne frank
[PDF] matrice de transition graphe probabiliste
[PDF] origine de la querelle des anciens et des modernes