[PDF] DM n°1 - Suites géométriques

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Nom :

Classe : 1

ère

Spé Maths G1

Devoir maison n°1

Suites géométriques

à préparer pour le : 03 / 10 / 19

Exercice 1 : n° 27 p 32

Exercice 2 : n° 37 p 32

Exercice 3 : n°56 p 35

Exercice 4 : n° 60 p 35

Nom :

Classe : 1

ère

Spé Maths G1

Le : 03 / 10 / 19

Test du DM n°1

Suites géométriques

Note :

... / 10

Evaluation des capacités

Je sais : Non Oui Ecrire un algorithme (en langage naturel) et résoudre un problème concret. Modéliser puis résoudre un problème à l'aide d'une suite.

Justifier un taux d'évolution.

Définir une suite par une relation de récurrence / par une formule explicite.

Calculer le terme d'une suite.

Justifier / Démontrer la relation de récurrence qui définit une suite.

Démontrer qu'une suite est géométrique.

Exercice 1 : n° 27 p 32 ... / 2,5 Une solution contient cinq bactéries à l'instant = . Après l'ajout d'un élément nutritif, le nombre de bactéries augmente de % chaque seconde.

1.Ecrire un algorithme qui donne le nombre de

bactéries présentes dans la solution au bout de secondes.

2.Au bout de combien de secondes le nombre de

bactéries dépassera-t-il ? (Aucune justification n'est attendue, vous pourrez utiliser le tableur de la calculatrice pour identifier la réponse) Exercice 2 : n° 37 p 32 ... / 2,5

Une maison est louée depuis exactement ans.

La

ère

année, le loyer mensuel s'élevait à €. Puis, chaque année suivante, ce montant a augmenté de %. Calculer la somme totale (au centime d'euro près) représentant l'ensemble des loyers au cours de ces ans. Exercice 3 : n°56 p 35 ... / 2,5

En informatique, on appelle pourcentage de

compression, le pourcentage de réduction de la taille en Ko (kilo octets) d'un fichier après compression.

1.Un fichier a une taille initiale de Ko.

Après compression, il mesure Ko. Montrer

que le pourcentage de compression est de %.

2.On note la taille en Ko de ce fichier après

compressions successives au pourcentage de compression de %. On a = . a) Exprimer en fonction de . b) Exprimer en fonction de .

3.On admet, en utilisant la calculatrice, qu'il faut

au minimum compressions successives pour que ce fichier ait une taille finale inférieure à

50 Ko.

t0 25
n 20000
10 900
1 1 10 800
664
17 t n n 17t 0 800
t n+1 t n t n n 15

Exercice 4 : n° 60 p 35

Le taux d'accroissement naturel (augmentation ou

diminution annuelle de la population en pourcentage) de la population française est de % par an depuis selon l'INSEE. On estime également que chaque année, le solde migratoire (différence entre le nombre de personnes qui sont entrées sur le territoire et le nombre de personnes qui en sont sorties au cours de l'année) est d'environ .

En , le nombre d'habitants en France était de

millions. On fait l'hypothèse que l'évolution observée perdure et on note le nombre d'habitants estimé (en millier) en France, l'année , avec un entier naturel. Ainsi = .

1.Calculer

2.Montrer que, pour tout entier naturel , on a :

3.On admet, en utilisant un tableur, que selon ce

modèle il y aura environ milliers d'habitants en France en . ... / 2,5

4.On pose =

a) Démontrer que = .

Quelle est alors la nature de la suite () ?

b) Exprimer en fonction de puis en déduire en fonction de . c) =

Ainsi, le calcul de à partir de la formule

explicite obtenue à la question précédente permet de vérifier l'estimation faite à la question 3. 0,55 1999
75000
2018
67,2
p n

2018+n

n p 1

67200p

0 n

1,0055p

n +75
p n+1

88123,5

2060
u n p n +13636,36364
u n+1

1,0055u

n u n u n n p n n p 42

2018+422060

Correction du Test du DM n°1

Exercice 1 : n° 27 p 32

Une solution contient cinq bactéries à l'instant = . Après l'ajout d'un élément nutritif, le nombre de bactéries augmente de % chaque seconde.

1.Ecrire un algorithme qui donne le nombre de

bactéries présentes dans la solution au bout de secondes.

Pour allant de à faire :

Fin Pour

Afficher

(*) ou ← ou ←

2.Au bout de combien de secondes le nombre de

bactéries dépassera-t-il ? (Aucune justification n'est attendue, vous pourrez utiliser le tableur de la calculatrice pour identifier la réponse) Le nombre de bactéries dépassera au bout de s.

Exercice 2 : n° 37 p 32

Une maison est louée depuis exactement ans.

La

ère

année, le loyer mensuel s'élevait à €. Puis, chaque année suivante, ce montant a augmenté de %. Calculer la somme totale (au centime d'euro près) représentant l'ensemble des loyers au cours de ces ans.

On pose = = le loyer annuel payé

la 1

ère

année et celui payé la -ième année.

Chaque année, les loyers augmentent de %.

Donc : ∀ ∈ N*,

On reconnaît la relation de récurrence associée à la suite géométrique de raison et de er terme = . En notant S la somme des loyers versés sur les ans, on en déduit :

S = =

S = ≈ €

Exercice 3 : n°56 p 35

En informatique, on appelle pourcentage de

compression, le pourcentage de réduction de la taille en Ko (kilo octets) d'un fichier après compression.

1.Un fichier a une taille initiale de Ko.

Après compression, il mesure Ko. Montrer

que le pourcentage de compression est de %. On calcule le taux d'évolution de la valeur initiale = Ko à la valeur = Ko.

Le taux de compression est donc bien de %.

2.On note la taille en Ko de ce fichier après

compressions successives au pourcentage de compression de %. On a = . a) Exprimer en fonction de . ∀ ∈ N, = b) Exprimer en fonction de . On reconnaît la relation de récurrence associée à la suite géométrique de raison = et de er terme =

Donc : ∀ ∈ N, = =

3.On admet, en utilisant la calculatrice, qu'il faut

au minimum compressions successives pour que ce fichier ait une taille finale inférieure à

50 Ko.

t0 25
n 20000
10 1900
1 10 800
664
17 t n n 17 t 0 800
t n+1 t n t n n 15 b+0,25b 1,25b b t1n b+ 25
100
b

2000038

10800900£12

u 1 u n n 1 u n+1 =u n 1 100
u n u n+1 =u n +0,01u n u 1

108001,011

n u 1

1¡q

10

1¡q

10 1,01u n

10800£

1¡1,01

10

1¡1,01

112991,90

V 1 ¡V 0 V 0

664¡800

800
-0,17 V 0 800V
1 664
t t 17 nt n+1 t n 17 100
t n t n+1 t n

¡0,17t

n 0,83t n n 800
t 0 q0,831 t n t 0 £q n

800£0,83

n u 1 +u 2 ++u 10 b5 b b b

Exercice 4 : n° 60 p 35

Le taux d'accroissement naturel (augmentation ou

diminution annuelle de la population en pourcentage) de la population française est de % par an depuis selon l'INSEE. On estime également que chaque année, le solde migratoire (différence entre le nombre de personnes qui sont entrées sur le territoire et le nombre de personnes qui en sont sorties au cours de l'année) est d'environ .

En , le nombre d'habitants en France était de

millions. On fait l'hypothèse que l'évolution observée perdure et on note le nombre d'habitants estimé (en millier) en France, l'année , avec un entier naturel. Ainsi = .

1.Calculer

En , la population française était égale à : = (en milliers d'habitants.) De à , le taux d'accroissement naturel était de % et le solde migratoire de milliers d'habitants.

Ainsi : =

2.Montrer que, pour tout entier naturel , on a :

Chaque année, le taux d'accroissement naturel est de % et le solde migratoire est de milliers d'habitants. Ainsi : ∀ ∈ N, =

3.On admet, en utilisant un tableur, que selon ce

modèle il y aura environ milliers d'habitants en France en .

4.On pose =

a) Démontrer que = .

Quelle est alors la nature de la suite () ?

∀ ∈ N, =

On en déduit : =

Or : =

Donc : =

Or : = ⇔ =

Donc :

On reconnaît la relation de récurrence associée à une suite géométrique. b) Exprimer en fonction de puis en déduire en fonction de . () est géométrique de raison = et de er terme : =

Ainsi :

∀ ∈ N, =

On en déduit :

c) =

Ainsi, le calcul de à partir de la formule

explicite obtenue à la question précédente permet de vérifier l'estimation faite à la question 3. 0,55 1999
75000
2018
67,2
p n

2018+n

np 0 67200
p 1 n p n+1

1,0055p

n +75

88123,5

2060
u n p n +13636,36364
u n+1

1,0055u

n u n u n n p n n

20602018+42

p 42
p 1 2019
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