[PDF] Thème 5 AM: Taux daccroissement une intro à la notion de dérivée

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TAUX D'ACCROISSEMENT, UNE INTRO À LA NOTION DE DÉRIVÉE 1 3EC - JtJ 2020 Analyses Mathématiques Thème 5 AM: Taux d'accroissement, une intro à la notion de dérivée

Introduction:

On sait que pour esquisser une fonction du second degré dont on connaît l'expression analytique, il est utile de rechercher son maximum ou son minimum, déterminer ses intervalles de croissance ou de décroissance et tracer la parabole correspondante. Le fait que la parabole possède un axe de symétrie facilite beaucoup les choses. Mais comment s'y prendre pour des fonctions polynômes d'un degré supérieur à 2 ou pour des fonctions dont l'expression est plus élaborée ?

5.1 Accroissement et taux d'accroissement

Modèle 1:

À la suite d'une pollution de l'eau de distribution, de nombreux habitants d'une petite ville ont souffert de troubles digestifs. Des relevés quotidiens ont permis de modéliser l'évolution du nombre de malades par la fonction: où N(t) représente le nombre de personnes malades t jours après le début de l'observation. Par exemple le nombre de malade au début de l'observation s'obtient en calculant:

N(...) =

Pour calculer l'accroissement du nombre de personnes souffrantes et le taux moyen d'accroissement sur chaque période d'observation, complétons tableau suivant. Durée de l'observation Accroissement du nombre total de personnes malades

Taux moyen

d'accroissement jusqu'au 3 e jour N(3) - N(0) = 239 - 50 = +189

N(3)N(0)

3 =+189

3= +63

entre le 3 e et 6 e jour entre le 12 e et le 15 e jour entre le 18 e et le 21 e jour On constate que, pour une même durée d'observation, les taux moyens d'accroissement ne sont pas constants. a) Quelle différence y a-t-il entre accroissement du nombre de malades et taux moyen d'accroissement du nombre de malades ? ten jours

3691215182124N(t)

200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000

2200N(t)=24t

2 t 3 +50

2 THÈME 5 AM

Analyses Mathématiques 3EC

- JtJ 2020 b) Quel est l'accroissement du nombre de malades pendant les douze premiers jours de l'observation ? c) Calculer le taux moyen d'accroissement du nombre de malades sur les douze premiers jours. d) Calculer le taux moyen d'accroissement du nombre de malades entre le douzième et le vingt-et-unième jour de l'observation. e) Comment peut-on représenter ces taux moyens d'accrois- sement sur la représentation graphique de N (t) ? ten jours

3691215182124

N(t) 200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
2200
TAUX D'ACCROISSEMENT, UNE INTRO À LA NOTION DE DÉRIVÉE 3 3EC - JtJ 2020 Analyses Mathématiques

Exercice 5.1:

Un troupeau de deux cents cerfs est introduit sur une petite île. Tout d'abord, le troupeau grandit rapidement, mais par la suite les ressources en nourriture baissent et la population diminue. Supposons que le nombre N(t) de cerfs après t années est donné par la fonction :

N(t)=t

4 +98t
2 +200

On a représenté graphiquement la situation:

a) Calculer le taux moyen d'accroissement du nombre de cerfs sur les deux premières années. b) Calculer le taux moyen d'accroissement du nombre de cerfs sur les deux années suivantes. c) Représenter ces taux moyens sur le graphique précédent.

Comparer les deux valeurs obtenues.

d) À partir de quel moment, le taux moyen d'accroissement sera-t-il négatif ? e) Qu'en est-il du taux moyen d'accroissement aux environs de la 7

ème

année ?

Définition:

On appelle taux moyen d'accroissement (ou taux moyen de variation) l'évolution moyenne de la fonction f entre x = a et x = b (avec b > a). Il est donné par la formule: T a;b =f(b)f(a) ba t

12345678910

N(t) 500
1000
1500
2000
2500

4 THÈME 5 AM

Analyses Mathématiques 3EC

- JtJ 2020

Remarque:

• Le signe du taux moyen d'accroissement nous donne la croissance de la fonction entre a et b : - Si la fonction f est croissante, on a f(b)>f(a), ainsi f(b)f(a)>0. Le taux moyen T a;b sera alors positif comme rapport de deux valeurs positives. - Si la fonction f est décroissante, on a f(b)• D'autre part, la valeur absolue de T a;b nous indique "la vitesse" à laquelle la fonction f varie.

Modèle 2:

Calculer le taux moyen d'accroissement de la fonction f :xx 2 a) Entre x = 0 et x = 1: b) Entre x = 1 et x = 2: c) Entre x = 1 et x = 0: d) Entre x = 1 et x = 1:

Exercice 5.2:

Calculer le taux moyen d'accroissement de la fonction: f : x3x+1 a) entre x = 0 et x = 1 puis entre x = 1 et x = 2. b) entre x = 0 et x = 1'000 c) Que constatez-vous ? Ce résultat semble-t-il être généralisable ?

Exercice 5.3:

L'affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ?

le taux moyen d'accroissement d'une fonction affine (de la forme f (x) = mx + h) est égal la pente m.

Justifier votre raisonnement.

x -2-112 y 1 2 3 4f TAUX D'ACCROISSEMENT, UNE INTRO À LA NOTION DE DÉRIVÉE 5 3EC - JtJ 2020 Analyses Mathématiques

Exercice 5.4:

On considère la fonction f représentée sur le graphe suivant: a) Déterminer le taux moyen d'accroissement de la fonction f entre x = -4 et x = -1 b) Même question entre x = -2 et x = 0 c) Représenter ces 2 taux sur le graphe ci-dessus

Exercice 5.5:

On considère la fonction f définie par f(x)=3xx 2

Compléter le tableau suivant pour a = 4:

Point A(a ; f (a))

Valeur

de h

B(a + h ; f (a + h))

Taux d'accroissement

moyen

A(4 ; -4) 1

A(4 ; -4) 0,1

A(4 ; -4) 0,01

A(4 ; -4) 0,001

En déduire un taux d'accroissement instantané en x = 4.

Exercice 5.6:

Soit f la fonction définie par f(x)=x

2 x. a) Calculer le taux moyen d'accroissement de f entre x = 2 et x = 2,1 puis entre x = 2 et x = 2,01 b) Soit h un nombre réel non nul. Montrer que le taux moyen d'accroissement de f entre x = 2 et x = 2 + h est donné par: T 2;2+h =h+3 c) En déduire le taux moyen d'accroissement de f entre x = 2 et x = 2,001. d) En déduire le taux d'accroissement instantané de f en x = 2. x -5-4-3-2-112 y -6 -4 -2 2 4 6

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En résumé :

Soit f une fonction et a et b deux valeurs de x. Si l'on trace la courbe de f dans un repère, le taux moyen d'accroissement T a;b est donné par la pente de la droite reliant (a ; f (a)) et (b ; f (b)). Si h désigne un réel non nul et si on pose b = a + h, le taux moyen d'accroissement de f entre x = a et x = a + h s'exprime alors par: T a;a+h =f(b)f(a) ba=f(a+h)f(a) (a+h)a=f(a+h)f(a) h C'est sous cette forme que nous allons maintenant concentrer la suite de nos calculs.

Modèle 3 :

Soit la fonction f définie par f (x) = x

2 a) Déterminer le taux moyen d'accroissement entre x = 3 et x = 3 + h en considérant avec h = 0,01. b) En déduire une approximation du taux d'accroissement instantané en x = 3. c) Déterminer le taux d'accroissement entre x = 3 et x = 3 + h (h un réel non nul). d) En déduire le taux d'accroissement instantané. TAUX D'ACCROISSEMENT, UNE INTRO À LA NOTION DE DÉRIVÉE 7 3EC - JtJ 2020 Analyses Mathématiques

Exercice 5.7:

Soit la fonction f définie par f (x) = x

2 + x.

Déterminer le taux moyen d'accroissement entre

x = 2 et x = 2 + h (où h un réel non nul)

En déduire le taux instantané en x = 2.

Exercice 5.8:

Soit la fonction f définie par f (x) = -x

2 + 4.

Déterminer le taux moyen d'accroissement entre

x = 1 et x = 1 + h (où h un réel non nul)

En déduire le taux instantané en x = 1.

Exercice 5.9:

Soit la fonction f définie par f (x) = x

2 + 3x + 2.

Déterminer le taux moyn d'accroissement entre

x = -3 et x = -3 + h (où h un réel non nul)

En déduire le taux instantané en x = -3.

Exercice 5.10:

Soit la fonction f définie par f (x) = 1/x.

Déterminer le taux moyen d'accroissement entre

x = 1 et x = 1 + h (où h un réel non nul)

En déduire le taux instantané en x = 1.

Exercice 5.11:

Soit la fonction f définie par f(x)=1

3x.

Déterminer le taux moyen d'accroissement entre

x = 2 et x = 2 + h (où h un réel non nul)

En déduire le taux instantané en x = 2.

Exercice 5.12:

On vide un spa contenant 2'250 litres d'eau. La quantité d'eau qui reste dans le spa est représentée par la fonction:

V(t) = 0,1(150 - t)

2 où V est le volume d'eau, en litres, qui reste dans le spa en fonction du temps t, en minutes, et où 0 t 150. a) Détermine le taux moyen de variation du volume d'eau durant les 60 premières minutes, puis durant les 30 dernières minutes. b) À quoi correspond concrètement cette valeur numérique ? c) Déterminer le taux de variation instantané après 75 minutes. d) À quoi correspond concrètement cette valeur numérique ? e) Tracer un graphique de la fonction et représenter le taux instantané pour t = 75 min.

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Définition:

Nous avons appelé taux d'accroissement instantané en a, le nombre réel vers lequel le taux moyen d'accroissement tend lorsque h s'approche de zéro. À partir de maintenant, nous appellerons cette valeur nombre dérivé de f en a et on va le noter f(a).

Soit la fonction f définie par f (x) =2

x. a) Calculer f'(2). b) Lequel de ces 2 graphiques correspond au calcul précédent ?

Modèle 3 :

x -4-3-2-11234 y -4 -3 -2 -1 1 2quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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