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Chapitre 5

ETUDE MATHEMATIQUE DES

PROBLEMES ELLIPTIQUES

Exercice 5.2.1A l'aide de l'approche variationnelle demontrer l'existence et l'unicite de la solution de u+u=fdans u= 0sur@ (5.1) ou est un ouvert quelconque de l'espaceRN, etf2L2( ). Montrer en particulier que l'ajout d'un terme d'ordre zero au Laplacien permet de ne pas avoir besoin de l'hypothese que est borne.

Correction.

1erEtape. Recherche de la formulation variationnelle.On multiplie l'equation veriee parupar une fonction testvnulle sur@

. Par integration par partie, on obtient que Z ru rv+uvdx=Z fv dx: An que cette expression ait un sens, il sut de choisiruetvdansH10( ). Le probleme variationnel associe a l'equation (5.1) consiste donc a determineru2 H 10( ) tel que a(u;v) =L(v) pour toutv2H10( ou a(u;v) =Z ru rv+uvdx et

L(v) =Z

fv dx: 2eme

Etape. Resolution du probleme variationnel.La continuite dea(;) etL(:) est evidente de m^eme que la coercivite de la forme

bilineairea(;). En eet, a(u;u) =kuk2

H1(R2):

57

58CHAPITRE 5. PROBLEMES ELLIPTIQUES

Les hypotheses du Theoreme de Lax-Milgram sont reunies. Il existe donc une so- lution unique au probleme variationnel. On verie enn en eectuant les m^eme integrations par partie que lors de la premiere etape queruest un element de H(div) (voir cours,4.4.2) et queu+u=fen tant qu'elements deL2( ) et donc presque partout dans . Enn, commeu2H10( ), et que est un ouvert regulier, la trace deuest bien denie etu= 0 presque partout sur@

Exercice 5.2.2Soit

un ouvert borne deRN. A l'aide de l'approche variationnelle demontrer l'existence et l'unicite de la solution du probleme suivant de convection- diusion

V ruu=fdans

u= 0sur@ (5.2) ouf2L2( )etVest une fonction reguliere a valeurs vectorielles telle quedivV= 0 dans

Correction.

1erEtape. Recherche de la formulation variationnelle.On multiplie l'equation veriee parupar une fonction testvnulle sur@

. Par integration par partie, on obtient la formulation variationnelle suivante :

Trouveru2H10(

) tel que a(u;v) =L(v) pour toutv2H10( ou a(u;v) =Z ru rv+ (V ru)vdx et

L(v) =Z

fv dx: 2eme

Etape. Resolution du probleme variationnel.An d'appliquer le Theoreme de Lax-Milgram, la seule hypothese non triviale

a verier est la coercivite de la forme bilineairea(;). a(u;u) =Z ru rv+ (V ru)udx

La diveregnce deVetant nulle, on a

Z (V ru)udx=Z div(uV)udiv(V)juj2dx Z div(uV)udx

Par integration par partie et commeu= 0, il vient

Z (V ru)udx=Z (V ru)udx: 59

Ainsi,

Z (V ru)udx= 0 et a(u;u) =kruk2 L2( La coercivite dea(;) se deduit alors de l'inegalite de Poincare.

3emeEtape.Equivalence avec l'equation.Z

ru rv dx=Z fv(V ru)vdx:

Ainsi, en majorant le membre de droite,

Z ru rv dx(kfkL2( )+kVkL1( )kukH1( ))kvkL2( etruest un element deH(div). On en deduit donc par integration par partie que u+V ru=fen tant qu'elements deL2(

Enn, commeu2H10(

), on au= 0 sur@ Exercice 5.2.3On reprend les notations et hypotheses de l'Exercice5.2.2. Montrer que toutv2H10( )verieZ vV rv dx= 0: Montrer que la solution de la formulation variationnelle du probleme de convection dif- fusion ne minimise pas dansH10( )l'energie

J(v) =12

Z jrvj2+vV rvdxZ fv dx: Correction.On a d'ores et deja prouve dans l'exercice precedent que Z vV rv dx= 0 pour toutv2H10( ). Ainsi,

J(v) = 1=2Z

jrvj2+v(V rv)dxZ fv dx = 1=2Z jrvj2dxZ fv dx:

Or le minimiseurusurH10(

) deJest solution du probleme aux limites u=fdans u= 0 sur@

60CHAPITRE 5. PROBLEMES ELLIPTIQUES

et n'a donc aucune raison (sauf cas exceptionnel) d'^etre solution du probleme aux limites

V ruu=fdans

u= 0 sur@ Exercice 5.2.4On considere a nouveau le probleme aux limites u=fdans u= 0sur@ (5.3) ou est un ouvert borne de l'espaceRN, etfest un second membre qui appartient a l'espaceL2( ). On suppose que l'ouvert est symetrique par rapport a l'hyperplan x N= 0de m^eme que la donneef(i.e.f(x0;xN) =f(x0;xN)). Montrer que la solution de (5.3) a la m^eme symetrie. Montrer que (5.3) est equivalent a un probleme aux limites pose sur \ fxN>0gavec une condition aux limites de Neumann sur \ fxN= 0g. Correction.Deux approches sont possibles. On peut raisonner soit directement sur l'equation aux derivees partielles (5.3) soit sur la formulation variationnelle associee. Un raisonnement direct sur l'EDP (5.3) peut se justier rigoureusement, la solution etant reguliere. On obtient sans mal queuest symetrique et que la restriction de usur +est solution de la m^eme equation supplementee de conditions aux limites de Neumann homogenes sur +. On propose ici d'adopter plut^ot l'approche basee sur la formulation variationnelle. Soitsla symetrie deRNpar rapport au planxN= 0. On noteSl'application deL2( ) a valeurs dansL2( ) qui a toute fonctionv2L2( ) associe la fonction

S(v) =vs:L'applicationSest une isometrie deL2(

). De plus, la restriction deS a l'espaceH1( ) est egalement une isometrie. En eet, pour toute fonction regulierequotesdbs_dbs2.pdfusesText_3

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