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Sorbonne Université Année 2019-2020

Master MPE mention Mathématiques et Applications Méthodes pour les EDP, P. Frey Corrigé de l"examen du 8 janvier 2020Exercice 1.Soit un ouvert borné connexe régulier de classeC1deRd. On considère le problème de

Neumann :

8< :u=f ;dans @u@n =g ;sur@ (1) oùf2L2( )etg2L2(@ )sont deux fonctions données.

1. Montrer que ce problème n"admet une solution que si les donnéesfetgsatisfont une condition de

compatibilité, que vous expliciterez.

2. En supposant que les donnéesfetgvérifient la condition de compatibilité, montrer qu"il existe une

solution faibleu2H1( )de (1) à une constante additive près.

Correction 1.La difficulté de ce problème par rapport au problème de Dirichlet est qu"il n"existe une

solution que si les donnéesfetgvérifient une condition de compatibilité. En effet, il est facile de voir

que s"il existe une solutionu2H2( ), alors en intégrant l"équation sur (ou en utilisant une formule de

Green), on a nécessairementZ

f(x)dx+Z g(s)ds= 0:(2)

Remarquons aussi que siuest solution alorsu+C, avecC2R, est aussi solution. En fait, (2) est une con-

dition nécessaire et suffisante d"existence d"une solution dansH1( ), unique à l"addition d"une constante près. Remarquons que, si l"ouvert n"est pas connexe, alors il faut écrire (2) ppour chaque composante connexe de

et l"unicité de la solution vaudra à l"addition près d"une constante par composante connexe.

Physiquement, la condition de comptabilité (2) s"interprète comme une condition d"équilibre :fcorre-

spond à une source volumique, etgà un flux entrant au bord. Pour qu"il existe un état stationnaire ou

d"équilibre (c"est-à-dire une solution du problème de Neumann), il faut que les deux termes se balancent

parfaitement. De même l"unicité "à une constante additive près" correspond à l"absence d"origine de

référence sur l"échelle qui mesure les valeurs deu. 1

Exercice 2.Soit

un ouvert borné deRd. A l"aide de l"approche variationnelle vue en cours, démontrer l"existence et l"unicité de la solution du problème de convection-diffusion : (V ruu=f ;dans u= 0;sur@ (3) oùf2L2( )etVest une fonction régulière à valeurs vectorielles telle que div(V) = 0dans

Correction 2.On procède en trois étapes :

1.recherche de la formulation variationnelle.

On multiplie l"équation vérifiée parupar une fonction testvnulle sur@ . Par intégration par partie, on obtient la formulation variationnelle suivante :

Trouveru2H10(

)telle que a(u;v) =l(v)pour toutv2H10( où a(u;v) =Z (ru rv+ (V ru)v)dx et l(v) =Z fv dx:

2.résolution du problème variationnel.

Afin d"appliquer le théorème de Lax-Milgram, la seule hypothèse non triviale à vérifier est la coer-

civité de la forme linéairea(;). a(u;u) =Z (ru ru+ (V ru)u)dx:

La divergence deVétant nulle, on a

Z (V ru)udx=Z (div(uV)udiv(V)juj2)dx Z div(uV)udx

Par intégration par parties, et commeu= 0sur@

, il vient Z (V ru)udx=Z (V ru)udx:

Ainsi,

Z (V ru)udx= 0 et a(u;u) =kruk2L2( La coercivité dea(;)se déduit alors de l"inégalité de Poincaré.

3.équivalence avec l"équation.

Z ru rv dx=Z (fv(V ru)v)dx: 2

Ainsi, en majorant le membre de droite,

Z ru rv dx(kfkL2( )+kVkL1( )kukH1( )kvkH1( etruest une élément deH(div). On en déduit donc par intégration par parties que u+v ru=fen tant qu"éléments deL2( Exercice 3.Démontrer que l"unique solutionu2H1( )de la formulation variationnelle, pour tout v2H1( ):Z (ru rv+uv)dx=Z gv ds+Z fv dx(4) vérifie l"estimation d"énergie suivante : kukH1( )CkfkL2( )+kgkL2(@ )(5) oùC >0est une constante qui ne dépend pas deu,fetg. Correction 3.Il suffit d"appliquer la formulation variationnelle (5) à la fonction testu=v. On en déduit que : kuk2H1( )=Z (jruj2+juj2)dx=Z guds+Z fudx: En appliquant l"inégalité de Cauchy-Schwarz au deuxième membre, kuk2H1( ) kgkL2(@ )kukL2(@ )+kfkL2( )kukL2( Par le théorème de trace, il existe donc une constante positiveCtelle que : kuk2H1( )CkgkL2(@ )+kfkL2( )kukH1( et kukH1( )CkgkL2(@ )+kfkL2( Exercice 4.Appliquer la méthode des éléments finisP1au problème de Dirichlet : (u00=fdans]0;1[ u(0) =; u(1) = :(6)

Vérifier que les conditions aux limites de Dirichlet non homogènes apparaissent dans le second membre

du système linéaire qui en résulte.

Correction 4.La formulation variationnelle, issue de l"utilisation des éléments finisP1, consiste à déter-

miner : u h2Vh:=vh2C0([0;1];R);vhj[xi;xi+1]2P1pour touti2 f0;;ng; oùxi=i=(n+ 1)tel que Z 1 0 u0hv0hdx=Z 1 0 fv hdxpour toute fonctionvh2V0h=Vh\H10(0;1); 3 et u h(0) =; uh(1) = : On note(phii)i=0;;n+1la base deVhdéfinie pari(xj) =i;j. En utilisantjcomme fonction test, on obtient à l"aide de la formulation variationnelle que pour tout0< j < n+ 1, n+1X i=0(uh)iZ 1 0

0i0jdx=Z

1 0 f jdx; où(uh)isont les coordonnées deuhdans la base(phii). Les conditions aux limites impliquent que (uh)0=et(uh)n+1=, ainsi n X i=1(uh)iZ 1 0

0i0jdx=Z

1 0 f jdxZ 1 0 (00+0n+1)0jdx: DéterminerUh= ((uu)i)1inconsiste donc à résoudre le système linéaire A hUh=bh; où la matricequotesdbs_dbs2.pdfusesText_3

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