[PDF] Matrice inversible et déterminants

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Faculté des Sciences Économiques et Sociales - Université de Lille

Licence 3 SIAD

Algèbre linéaire

Matrice inversible et déterminants

M. Pelini, V. Ledda

2 février 2018

Table des matières1 Matrices carrées inversibles et endomorphismes bijectifs1 Matrices carrées inversibles et endomorphismes bijectifs2

1.1 Définitions et premières propriétés1.1 Définitions et premières propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

1.2 Caractérisation des matrices inversibles1.2 Caractérisation des matrices inversibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

2 Matrices semblables2 Matrices semblables3

2.1 Changement de bases2.1 Changement de bases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

2.2 Matrices semblables2.2 Matrices semblables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

3 Déterminants3 Déterminants5

3.1 Forme multilinéaire, forme alternée3.1 Forme multilinéaire, forme alternée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

3.2 Déterminant de n vecteurs deRn3.2 Déterminant de n vecteurs deRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

3.3 Déterminant d"une matrice3.3 Déterminant d"une matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

3.4 Calcul pratique du déterminant3.4 Calcul pratique du déterminant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

3.5 Petits exercices3.5 Petits exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

3.6 Déterminant d"un endomorphisme3.6 Déterminant d"un endomorphisme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

3.7 Condition nécéssaire et suffisante d"inversibilité3.7 Condition nécéssaire et suffisante d"inversibilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

3.8 Calcul pratique de l"inverse3.8 Calcul pratique de l"inverse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

Matrice inversible et déterminantsChapitre 51 Matrices carrées inversibles et endomorphismes bijectifs

E désigne un espace vectoriel surR, de dimensionn(n2N).

1.1 Définitions et premières propriétésDéfinition 1.SoitM2 Mn

-Mest inversible si il existeN2 Mntelle queMN = NM = In.

On no teGLn(R), (ou, plus simplement,GLn) l"ensemble des matrices inversibles.Proposition 1.La matriceN, quand elle existe, est alors unique.

On l"appelle matrice inverse deM, on la noteM1.Preuve.Supposons qu"il existe N et N0dansMntelles que MN = NM = Inet MN0= N0M = In.

On a, en particulier, MN = I

n.

Donc, en multipliant à gauche par N

0, N0MN = N0Insoit N = N0(car N0M = In).

cqfd

Remarque 1.Soit M2 Mn, on peut montrer que :

M est inversible()M est inversible à droite()M est inversible à gauche ()il existe N2 Mntelle que MN = In()il existe N02 Mntelle que N0M = In

On a alors N = N

0= M1.

Exemple 1.Soit A = 0 1

1 0! . On A

2= I2donc A est inversible et A1= A.Proposition 2.SoitM2 Mn,Bune base deEetu2 L(E)tel queMat(u;B) = M.

Mest inversible si et seulement siuest bijectif

On a alorsM1= Mat(u1;B).Preuve.uest bijectif si et seulement si il existev2 L(E) tel queuv=vu= IdE si et seulement si il existe N2 Mntel que MN = NM = In, où N = Mat(v;B) si et seulement si M est inversible De plus, on av=u1et N = M1donc M1= Mat(u1;B).cqfdProposition 3.SoientMetNdansGLn i)M1est inversible et(M1)1= M ii)MNest inversible et(MN)1= N1M1

iii)8p2N;Mpest inversible et(Mp)1= (M1)pPreuve.La démonstration de ces résultats n"est pas trés difficile (il suffit de l"écrire...).

Nous allons, par exemple démontrer ii).

M et N sont inversibles donc M

1et N1existent. On a alors :

MNN

1M1= MInM1= MM1= Indonc MN est inversible d"inverse N1M1.cqfd2 M. Pelini, V. Ledda

Matrice inversible et déterminantsChapitre 51.2 Caractérisation des matrices inversibles

Rappel :

Soitu2 L(E), les affirmations suivantes sont équivalentes : i)uest bijectif ii)uest injectif iii)uest surjectif iv) ker( u) =f0g v) rg( u) =n Ces équivalences sont transposables dans le cas des matricesProposition 4.SoitM2 Mn

M2GLn,ker(M) =f0g ,rg(M) =nExemple 2.

Soit A = 0

BBBBBBB@1 01

2 4 6 31 31
CCCCCCCA. On peut montrer que rg(A) = 3 et donc A est inversible.

Soit B =

0

BBBBBBB@0 11

3 0 1

1 2 01

CCCCCCCA. On peut montrer que ker(B) =f0get donc B est inversible.

2 Matrices semblables

E désigne un espace vectoriel surRde dimensionnavecnentier naturel non nul.

2.1 Changement de basesDéfinition 2.SoientB= (e1;:::;en)une base deEetB0= (f1;:::;fn)une famille denvecteurs deE.

On appelle matrice de passage deBàB0, on notePBB0la matrice suivante : P

BB0= MatB(B0)

(Lajèmecolonne de cette matrice représente donc les coordonnées du vecteurfjdans la baseB)Proposition 5.PBB0est inversible si et seulement siB0est une base deE.Preuve.rg(PBB0) = rg(B0).

Pest inversible si et seulement sirg(PBB0) =nsi et seulement sirg(B0) =nsi et seulement siB0est une base

de E.cqfd

Remarque 2.On a en fait PBB0= Mat(IdE;B0;B)

Exemple 3.On noteB= (e1;e2;e3) une base deR3etB0= (f1;f2;f3) la famille définie par : f

1=e1; f2=e1+e2etf3=e1+e2+e3

On a alors P = P

BB0=0

BBBBBBB@1 1 1

0 1 1

0 0 11

CCCCCCCA3 M. Pelini, V. Ledda

Matrice inversible et déterminantsChapitre 5Exemple 4.La matricePci-dessus est inversible(en effet det(P) = 1)doncB0= (f1;f2;f3)est une base deE

et on peut démontrer que P 1=0

BBBBBBB@11 0

0 11

0 0 11

CCCCCCCA.

Exprimons d"autre part la matrice de passage deB0àB:8>>><>>>:f 1=e1 f

2=e1+e2

f

3=e1+e2+e3,8

>>><>>>:e 1=f1 e

2=f2f1

e

3=f3f2

Donc P

B0B=0

BBBBBBB@11 0

0 11

0 0 11

CCCCCCCA.

On constate que P

1= (PBB0)1= PB0BProposition 6.SoientBetB0deux bases deE, alorsPest inversible et(PBB0)1= PB0B.Preuve.Soit Q = PB0B, on a alàrs PQ = Mat(IdE;B0;B)Mat(IdE;B;B0) = Mat(IdEIdE;B;B) = In.

On en déduit donc que Q = P

1, soit (PBB0)1= PB0B.cqfdThéorème 1.SoientBetB0deux bases deE,P = PBB0etxun vecteur deE.

On noteXetX0les coordonnées dexrespectivement dans les basesBetB0.

On a alorsX = PX0.O

Preuve.

En effetP=Mat(IdE;B0;B)donc en faisant le produitPX0, on obtient les coordonnées dexdans la baseBd"où X = PX0.cqfd

Exemple 5.Reprenons l"exemple précédent :

Soitxle vecteur de coordonnées X0=0

BBBBBBB@1

2 11

CCCCCCCAdans la baseB0.

On obtient ses coordonnées X dans la baseBen faisant le produit PX0.

Donc X =0

BBBBBBB@1 1 1

0 1 1

0 0 11

CCCCCCCA0

BBBBBBB@1

2 11

CCCCCCCA=0

BBBBBBB@4

3 11

CCCCCCCA.

Soityle vecteur de coordonnées Y =0

BBBBBBB@0

1 11

CCCCCCCAdans la baseB.

On obtient ses coordonnées Y

0dans la baseB0en faisant le produit P1Y.

Donc Y

0=0

BBBBBBB@11 0

0 11

0 0 11

CCCCCCCA0

BBBBBBB@0

1 11

CCCCCCCA=0

BBBBBBB@1

2 11 CCCCCCCA.Théorème 2.SoientBetB0deux bases deE,P = PBB0etu2 L(E).

On noteA = Mat(u;B)etA0= Mat(u;B0).

On a alorsA0= P1AP.O

Preuve.Soitxun vecteur de E ety=u(x).

Si X et X

0représentent les coordonnées dexrespectivement dans les basesBetB0,4 M. Pelini, V. Ledda

Matrice inversible et déterminantsChapitre 5si Y et Y

0représentent les coordonnées deyrespectivement dans les basesBetB0,

on a alors Y = AX et Y

0= A0X0,

d"autre part on sait que Y = PY

0et X = PX0,X0= P1X

donc AX = PA

0X0,AX = PA0P1X.

Cette égalité matricielle étant vraie8X2Rn, on en déduit que A = PA0P1,A0= P1APcqfd

2.2 Matrices semblablesDéfinition 3.SoientAetBdansMn.

On dit queAetBsont semblables si9P2GLntelle queB= P1APProposition 7.Deux matrices sont semblables si et seulement sielles représentent le même endomorphisme

dans des bases différentes.Preuve.C"est une application directe du théorème ci-dessus.cqfdProposition 8.SoientAetBdansMnsemblables etP2GLntelle queB= P1AP.

Alors8k2N,AketBksont semblables et on aBk= P1AkPPreuve.Démontrons ce résultat par récurrence surk.

Pourk= 0, on a B0= Inet P1A0P = P1InP = In. Donc B0= P1A0P.

Soitk2N, on suppose que Bk= P1AkP, on a alors

B k+1= BBk= (P1AkP)(P1AP) = P1(AkA)P = P1Ak+1P Conclusion :8k2N, Aket Bksont semblables et on a Bk= P1AkP.cqfd

3 Déterminants

E désigne un espace vectoriel surRetnun entier naturel non nul.

3.1 Forme multilinéaire, forme alternéeDéfinition 4.SoitL: En7!R.

On dit que Lest multi-linéaire surEsiLest linéaire par rapport à chaque vecteur, c"est à dire :

L

(v1+0v01;v2;:::;vn) =L(v1;v2;:::;vn)+0L(v01;v2;:::;vn), pour la linéarité par rapport au premier

vecteur, par exemple.

On dit queLest alternée siLest changée en son opposé quand on permute 2 vecteurs, c"est à dire :

L(v1;v2;:::;vn) =L(v2;v1;:::;vn), par exemple.Proposition 9.SoitLune forme alternée.

Si dans le n-uplet(v1;:::;vn)deux vecteurs sont égaux alorsL(v1;:::;vn) = 0.Preuve.Soient (v1;:::;vn)nvecteurs de E.

On suppose que deux des vecteurs sont égaux, par exemplev1=v2(pour simplifier les notations). On a alors : L(v2;v1;:::;vn) = L(v1;v2;:::;vn) carv1=v2. Mais aussi : L(v2;v1;:::;vn) =L(v1;v2;:::;vn) car L est alternée. Donc L(v1;v2;:::;vn) =L(v1;v2;:::;vn))L(v1;v2;:::;vn) = 0.cqfd5 M. Pelini, V. Ledda

Matrice inversible et déterminantsChapitre 5Proposition 10.SoitLune forme multilinéaire alternée.

Si les vecteursv1;:::;vnforment une famille liée alorsL(v1;:::;vn) = 0.Preuve.Soient (v1;:::;vn)nvecteurs de E formant une famille liée.

Alors l"un des vecteurs (par exemplev1) peut s"écrire comme combinaison linéaire des autres.

9(2;:::;n)2Rn1tel quev1=2v2+:::+nvn, donc par multi-linéarité, on obtient :

L(v1;v2;:::;vn) =L(2v2+:::+nvn;v2;:::;vn) =2L(v2;v2;:::;vn)+:::+nL(vn;v2;:::;vn) = 0d"aprés la pro-

position précédente.cqfd

3.2 Déterminant de n vecteurs deRn

Théorème et définition 1.SoitBune base deRn. Il existe une unique forme multi-linéaire alternée surRntelle queL(B) = 1. Cette forme est appelée déterminant dans la baseB. Preuve.Nous allons faire la démonstration dans le cas particuliern= 2.

NotonsB= (e1;e2) une base deR2etv1= x1

y 1! B ,v2= x2 y 2! B des vecteurs deR2.

Unicité deL :

Soit L multi-linéaire alternée telle que L(e1;e2) = 1. On a alors :

L(v1;v2) = L(x1e1+y1e2;x2e1+y2e2)

=x1L(e1;x2e1+y2e2)+y1L(e2;x2e1+y2e2) car L linéaire/1ervecteur =x1x2L(e1;e1)+x1y2L(e1;e2)+y1x2L(e2;e1)+y1y2L(e2;e2) car L linéaire/2èmevecteur =x1y2L(e1;e2)+y1x2L(e2;e1) car L(e1;e1) = L(e2;e2) = 0 =x1y2y1x2car L(e2;e1) =L(e1;e2) =1 Donc on obtient que L est unique et définie par L(v1;v2) =x1y2y1x2.

Existence deL :

Il suffit de concidérerLdéfinie ci-dessus. On vérifie aisément que c"est bien une forme multilinéaire alternée

surR2et que L(e1;e2) = 1.cqfd Remarque 3.SiBest la base canonique deRn, on parlera du déterminant, sans préciser la base.

NOTATION :

Soientv1;:::;vnn vecteurs deRn, on noteradetB(v1;:::;vn)(ou plus simplementdet(v1;:::;vn)) le détermi-

nant des vecteursv1;:::;vndans la baseB. Une autre notation, souvent utilisée (surtout lors des calculs) est la suivante det

B(v1;:::;vn) =

x

11x12 x1n

x

21x22 x2n:::::::::

x n1xn2 xnn où les colonnes représentent les coordonnées des vecteursv1;:::;vndans la baseB.

En particulier det

B(v1;v2) =x

1x2 y 1y2 =x1y2y1x2(Régle du gamma). Remarque 4.D"aprés la définition, detB(B) = 1.

Exemple 6.6 M. Pelini, V. Ledda

Matrice inversible et déterminantsChapitre 5Soitv1,v2etv3les vecteurs deR3dont les coordonnées dans la base canonique sont :0BBBBBBB@1

2 31

CCCCCCCA,0

BBBBBBB@6

8 41

CCCCCCCAet0

BBBBBBB@3

3 61

CCCCCCCA.On a alorsdet(v1;v2;v3) =

1 6 3 2 8 3 3 4 6 = 2 1 3 3 2 4 3 3 2 6 = 23 1 3 1 2 4 1 3 2 2 , (car le déterminant est une application multilinéaire).

3.3 Déterminant d"une matriceDéfinition 5.SoitA2 Mn,A =aij.

On appelle déterminant de la matriceA, on notedet(A)le déterminant de ces vecteurs colonnes, c"est à dire le déterminant des vecteursv1;:::;vntels quevja pour coordonnées

0BBBBBBBBBBBBB@a

1j a 2j::: a nj1

CCCCCCCCCCCCCA

dans la base canonique deRn. det(A) = det(v1;:::;vn) = a

11a12 a1n

a

21a22 a2n:::::::::

a n1an2 ann Remarque 5.D"aprés la définition, det(In) = 1.Proposition 11.SiA2 M2,A = a b c d! alorsdet(A) =adbc.Preuve.

Ce résultat découle de la démonstration faite précédemment pour l"existence du déterminant

quandn= 2.cqfdProposition 12.SoitA2 Mn Si les colonnes deAsont linéairement dépendantes, alorsdet(A) = 0.Proposition 13.(admise) SoientAetBdansMnalorsdet(AB) = det(A)det(B).ATTENTION : Si A2 Mnet2Ralors det(A) =ndet(A). (Car det est une application multilinéaire)

3.4 Calcul pratique du déterminant7 M. Pelini, V. Ledda

Matrice inversible et déterminantsChapitre 5Proposition 14.Développement par rapport à une colonne

SoitA2 Mnetj2 f1;:::;ng.

On peut développer le déterminant deAselon lajèmecolonne avec la formule suivante det(A) = a

11a12 a1n

a

21a22 a2n:::::::::

a n1an2 ann | {z } déterminant d"ordre n= n X i=1(1)i+jaijdet(Aij) | {z } dét. d"ordre n-1

oùAijest la matrice carrée d"ordren1obtenue en barrant laièmeligne et lajèmecolonne deA.On notera l"alternance des signes devant chaque coefficient :

0BBBBBBBBBBBBBBBBBBBB@+++

+++1

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCA

Exemple 7.

1 6 3 2 8 3 3 4 6 = 18 3 4 6 +(2)6 3 4 6 +36 3
8 3 = 1(4812)+(2)(3612)+3(1824) = 364818 =30 (en développant par rapport à la première colonne)

Remarque 6.

Cette proposition permet de passer d"un déterminant de taillenàndéterminants de taillen1.Cette proposition est particulièrement intéressante quand l"une des colonnes contient plusieurs0. Nous

allons d"ailleurs voir, par la suite, comme faire apparaitre ces précieux zéros.

Exemple 8.

1 2 0 31 0
2 4 1 = 11 2 31
=16 =7, en développant par rapport à la troisième colonne.

Corollaire 1.Le déterminant d"une matrice triangulaire est égal au produit des termes diagonaux.

a

11a12 a1n

0a22 a2n

0 0a33a3n:::::::::

0 00ann

=a11a22ann

En effet, il suffit de développper une première fois par rapport à la première colonne puis de recommencer

avec le déterminant obtenu ...et ainsi de suite.8 M. Pelini, V. Ledda Matrice inversible et déterminantsChapitre 5det(M) = a

11a12a13

a

21a22a23

a

31a32a33

11a 12a 13a 21a
22a
23a
31a
32a
33a
11a 12a 13a 21a
22a
23+
Figure1 - Calcul pratique du déterminant avec la règle de Sarrus

Corollaire 2(Régle de Sarrus)..En développant le déterminant d"une matrice deM3et en regroupant les termes précédés d"un signe "+" et ceux

précédés d"un signe "-", on obtient :

Exemple 9.Calculer

1 3 4 2 3 2 11 5 à l"aide de la règle de Sarrus.Proposition 15. Le déterminant d"une famille de vecteurs ne change pas si on ajoute à l"un des vecteurs une combinaison linéaire des autres.Preuve.Soientv1;v2;:::;vnn vecteurs deRn. Posonsv01=v1+2v2+:::+nvnvérifions que det(v01;v2;:::;vn) = det(v1;v2;:::;vn). det(v01;v2;:::;vn) = det(v1+2v2+:::+nvn;v2;:::;vn) = det(v1;v2;:::;vn)+2det(v2;v2;:::;vn)+:::+ndet(vn;v2;:::;vn) = det(v1;v2;:::;vn) (car les autres termes sont nuls)cqfd

Remarque 7.C"est cette propriété que nous allons utiliser pour "faire apparaitre des zéros".Proposition 16.(admise)

SoitA2 Mnalorsdet(A) = det(tA).Remarque 8.Cela signifie que l"on peut travailler sur les lignes de A aussi bien que sur ses colonnes.

Exemple 10.

1. 13 2 1 73 2 41 = 0 car L

2= L3L1.

2. 13 2 0 0 2 2 41 = (2)13 2 4 = (2)10 =20, en développant par rapport à la deuxième ligne.9 M. Pelini, V. Ledda Matrice inversible et déterminantsChapitre 5Exemple 11.

Calculer

1 1 1 2 4 8 3 6 9 Il faut donc être prudent : toutes les opérations ne sont pas autorisées. Par exemple 2 1 0 11 3 3 2 1 2 0 0 13 3 3 1 1 C

2 2C2C1

Pourquoi?Attention

3.5 Petits exercices

Calculer, le plus simplement possible, les déterminants des matrices suivantes : A =0

BBBBBBB@1 3 4

2 2 0 51 41

CCCCCCCAréponse : det(A) = 0

B= 0

BBBBBBB@1 0 3

4 2 1

1 0 11

CCCCCCCAréponse : det(B) = 8

C = 0

BBBBBBBBBBB@1 21 3

2 3 1 2

1 3 42

3 1 231

CCCCCCCCCCCAréponse : det(C) = 52

3.6 Déterminant d"un endomorphismeProposition 17.SiAetBsont deux matrices semblables alorsdet(A) = det(B).Preuve.En effet comme A et B sont semblabes9P2GLntelle que B= P1AP,

d"où det(B) = det(P

1)det(A)det(P). Or det(P1) =1det(P)

donc det(A) = det(B).cqfdDéfinition 6.Soitu2 L(E).On appelle déterminant deu, on notedet(u)le déterminant deAoùAest la matrice deudans une base

quelconque deE.Remarque 9. Il est important de remarquer quedet(u)ne dépend pas de la base dans laquelle on choisit d"exprimeru.

En effet, siAetBsont deux matrices représentantudans des bases différents alors elles sont semblables et

donc det(A) = det(B).10 M. Pelini, V. Ledda

Matrice inversible et déterminantsChapitre 53.7 Condition nécéssaire et suffisante d"inversibilitéPour savoir si une matrice est (ou non) inversible, nous avons vu qu"il est possible de calculer son rang ou de

déterminer son noyau.

Cependant, il existe une autre caractérisation :Proposition 18.SoitM2 Mn,Mest inversible si et seulement sidet(M),0.Preuve.)

SiM2GLnalorsilexisteN2GLntellequeMN=In.Enparticulierdet(MN) =det(M)det(N) =

1 et donc det(M),0.

(Si MOn a det(A) = 32(,0) et det(B) =5(,0) donc A et B sont inversibles.Proposition 19.SiM2GLnalorsdet(M),0etdet(M1) =1det(M)

.Preuve.Si M2GLnalors det(M),0 (voir ci-dessus) et on a det(MM

1) = det(In) donc det(M)det(M1) = 1 et det(M1) =1det(M)

cqfd

Exemple 13.Soit A(m) =0

BBBBBBB@2m3m+1 3m1

m+1 2(m+1)m+1

2m3m+1 2m1

CCCCCCCA,m2R.

Cherchons les valeurs dempour lesquelles A(m) est inversible. Pour cela, calculons det(A(m)). det(A(m)) =

2m3m+1 3m1

m+1 2(m+1)m+1

2m3m+1 2m

2mm+1m1

m+1 0 0

2mm+1 0

en faisant C

2 C22C1et C3 C3C1

= (m1)m+1 0 2mm+1quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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