[PDF] MAT 1200: Introduction à lalgèbre linéaire

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MAT 1200:

Introduction à l"algèbre linéaire

Robert Guénette et Saïd EL MORCHID

Département de Mathématiques et de Statistique

Chapitre 5: Les Déterminants

Références

Déterminants d"ordre 1 et 2

Définitions

Exemples

Déterminants d"ordre n

Définition

Conséquences

Déterminant d"un produit et matrices inversibles

Déterminant de la matrice transposée

Les déterminants et les matrices inversibles

Sous-matricesAij- Mineur- Cofacteurs

Mineur

Cofacteur

Le déterminant d"une matricenn

Matrice des cofacteurs. Matrice adjointe

La règle de Cramer pour résoudre un système

Références:

Notes de cours chapitre 5 .

Livre: Chapitre 3 page 175

Déterminants d"ordre 1 et 2

Définitions

1.

Cas d"une matrice 11:

SoitA= (a11)une matrice de type 11, le déterminant deAest det(A) =ja11j=a11 2

Cas d"une matrice 22:

SoitA=a

11a12 a 21a22
. Le déterminant deAest le nombre réel det(A) =a 11a12 a 21a22
=a11a22a12a21Exemple

Calculer le déterminant de la matrice

A=1 5 2 4

Déterminants d"ordre n

Définition générale

On définit le déterminant par la formule

detA=a

11:::a1n.

........a n1:::ann= X oùPnest l"ensemble des permutations de l"ensemblef1;2;:::;nget sign() = (1)N()est la signature de. Le nombreN()est défini comme le

nombre d"inversions parmi l"ensemble de tous les couplesf(i;j)ji l"ensemble des couples (31)(32)(12))N() =2)sign() =1

Conséquences immédiates de la définition

Personne ne songerait à utiliser cette définition pour évaluer un déterminant d"ordre plus élevé car fait intervenir une somme dentermes ce qui est impraticable. Son intérêt est purement théorique et permet de dégager rapidement les propriétés du déterminant. I

Linéarité par rapport à une ligne

det 0 B

BBBBB@L

1 L i+Ti L n1 C

CCCCCA=det0

B

BBBBB@L

1 L i L n1 C

CCCCCA+det0

B

BBBBB@L

1 T i L n1 C

CCCCCA

I

Multiplication d"une ligne par un nombre réelc

det 0 B

BBBBB@L

1 c L i L n1 C

CCCCCA=cdet0

B

BBBBB@L

1 L i L n1 C

CCCCCA

Conséquences immédiates (suite)

I Si la matriceBest obtenue à partir de la matriceAen permutant 2 lignes, alors detB=detA. I

SiApossède une ligne nulle, alors detA=0.

I

SiAcontient deux lignes identiques, alors detA=0.

I SiAest une matrice triangulaire inférieure ou supérieure d"ordren, alors detA=a11a22a33:::ann=le produit de la diagonale I Si la matriceBest obtenue à partir de la matriceAen appliquant l"opération élémentairec Li+Lj!Lj, alors detB=detA.Exemple Evaluer le déterminant en appliquant des opérations élémentaires sur les lignes, i.e. par élimination de Gauss12 5 02 0 413 1 0 7

0 42 0

Déterminant d"un produit et matrices inversibles

Proposition:

SiEest une matrice élémentaire, on a que

detEA=detEdetAPar induction, on obtient le résultat suivant.

Corollaire:

det(E1E2:::EkA) =detE1detE2:::detEkdetAThéorème: Une matrice carréeBest inversible si et seulement si detB6=0.Théorème:

SoitAetBdeux matrices carrées. On a que

det(AB) =detAdetB

Déterminant de la matrice transposée

Théorème:

SoitAune matrice carrée. On a que

detAt=detAConséquence: opérations sur les colonnes

SoitAune matrice carrée.

a) Si une matrice Best obtenue en ajoutant à une colonne de la matriceA un multiple d"une autre de ses colonnes, alors detB=detA. b) Si Best la matrice obtenue en permutant deux colonnes deA, alors detB=detA. c) S iBest la matrice obtenue en multipliant une colonne deApark, alors detB=kdetA.Exemple: Calculer le déterminant de la matrice par des opérations élémentaires sur les colonnes. A=0 B

B@28 6 8

39 5 10

3 0 12

14 0 61

C CA

Les déterminants et les matrices inversibles

Théorème:

Une matrice carrée est inversible si et seulement si detA6=0.

SiAest une matrice carrée inversible, alors

detA1=1detA:Exemple: Est ce que la matrice suivante est inversible? Si oui, calculer detA1. A=0 B

B@31 25

0 536

6 77 4

58 0 91

C

CAThéorème:

Soient~u1;~u2;;~un,nvecteurs deRnetAla matrice dont les colonnes ou les lignes sont les vecteurs ~ui. Alors~u1;~u2;;~unsont indépendants si et seulement si le déterminant deAest non nul.

Sous-matricesAijet mineursMijMineur

SoitA= (aij)une matrice carrée de typenn. Alors la matriceAijde type (n1)(n1)désigne la sous-matrice formée des éléments deAqui restent après avoir supprimé laiemeligne et lajemecolonne. Le déterminant de la sous-matriceAijest appeléle mineurdeaijet est noté parMij.Exemple

Soit la matrice

A=0 B

B@12 5 0

2 0 41

3 1 0 7

0 42 01

C CA Trouver les sous-matricesA32,A43et calculerM32,M43.

Cofacteur

Définition

SoitA= (aij)une matrice carrée de typenn. On appellecofacteurde l"élémentaijle nombre C ij= (1)i+jMij= (1)i+jdetAij:Exemple

Soit la matrice

A=0 @12 5 2 0 4

3 1 01

A

Trouver les cofacteursC21,C22etC23.

Exemple:

Calculer le déterminant de la matrice

A=0 @1 5 0 2 41 02 01 A

Le déterminant d"une matricennDéfinition

Le déterminant d"une matriceA= (aij)de typennest detA=a11C11+a12C12++a1nC1n =a11detA11a12detA12+ +(1)1+na1ndetA1nquotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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