Matrice inversible et déterminants
2 févr. 2018 Matrice inversible et déterminants ... 1 Matrices carrées inversibles et endomorphismes bijectifs ... 3.3 Déterminant d'une matrice .
MAT 1200: Introduction à lalgèbre linéaire
Les déterminants et les matrices inversibles. Sous-matrices Aij - Mineur- Cofacteurs. Mineur. Cofacteur. Le déterminant d'une matrice n × n.
Chapitre 7 D´eterminants
Un des usages des déterminants est de caractériser les matrices inversibles. Proposition 51 Si A est une matrice triangulaire supérieure ou inférieure alors on
Déterminants
Le déterminant permet de savoir si une matrice est inversible ou pas et de façon plus générale
Déterminants
On en déduit que le déterminant d'une matrice 3 × 3 est donné par la r`egle de Sarrus : Soit P une matrice inversible : alors ?(P) = 0.
Matrices et déterminants 1 Matrices
Si A est inversible alors son rang coïncide avec sa taille. 5 Déterminants. On parle de déterminant pour une matrice carrée (n
Exercices Corrigés Matrices Exercice 1 – Considérons les matrices
qui détermine si une matrice est inversible et donne dans ce cas son inverse : 1) Calculer le déterminant de M sa comatrice et l'inverse de M.
X 2016-MP
Soit M ? Mn(R) une matrice inversible et `a coefficients entiers. a) Montrer que M est (a1...
Rang et déterminant des matrices
4 sept. 2019 A ? Mnp(R) revient `a multiplier A `a gauche par une matrice inversible pour les opérations sur les lignes (`a droite pour une.
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Le déterminant d'une matrice n × n. Propriétés des déterminants. Les déterminants et les matrices inversibles. Matrice des cofacteurs. Matrice adjointe.
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3- Calcul du déterminant pour une matrice Considérons la matrice de dimension 2 2 : Le déterminant de la matrice est définie par la relation
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Matrice inversible et déterminants M Pelini V Ledda 2 février 2018 Table des matières 1 Matrices carrées inversibles et endomorphismes bijectifs
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Le déterminant permet de savoir si une matrice est inversible ou pas et de façon plus générale joue un rôle important dans le calcul matriciel et la
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S'il existe une matrice carrée B de taille n × n telle que AB = I et BA = I on dit que A est inversible On appelle B l'inverse de A et on la note A?1
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Inverse d'une matrice Critère d'inversibilité : le déterminant 2 Pivot de Gauss sur les matrices But de l'algorithme Présentation de la méthode
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Théorème 2 2 Une matrice A est inversible si et seulement si son déter- minant est non nul 3 Matrices équivalentes et matrices semblables
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det(A) = ad ? bc On a déj`a vu dans le chapitre précédent que la matrice A est inversible si et seulement si le déterminant est non nul
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Déterminants
pède engendré par cesnvecteurs. On peut aussi définir le déterminant d"une matriceA. Le déterminant permet de
savoir si une matrice est inversible ou pas, et de façon plus générale, joue un rôle important dans le calcul matriciel et
la résolution de systèmes linéaires.Dans tout ce qui suit, nous considérons des matrices à coefficients dans un corps commutatifK, les principaux
exemples étantK=RouK=C. Nous commençons par donner l"expression du déterminant d"une matrice en petites
dimensions.1. Déterminant en dimension2et3
1.1. Matrice22
En dimension 2, le déterminant est très simple à calculer : deta b c d =adbc.C"est donc le produit des éléments sur la diagonale principale (en bleu) moins le produit des éléments sur l"autre
diagonale (en orange).ab cd0 @1 A+1.2. Matrice33
SoitA2M3(K)une matrice 33 :
A=0 @a11a12a13
a21a22a23
a31a32a331
AVoici la formule pour le déterminant :
DÉTERMINANTS1. DÉTERMINANT EN DIMENSION2ET32Il existe un moyen facile de retenir cette formule, c"est larègle de Sarrus: on recopie les deux premières colonnes à
droite de la matrice (colonnes grisées), puis on additionne les produits de trois termes en les regroupant selon la
direction de la diagonale descendante (à gauche), et on soustrait ensuite les produits de trois termes regroupés selon
la direction de la diagonale montante (à droite).a 11a 12a 13a 11a 12a 21a22a
23a
21a
22a
31a
32a
33a
31a
320
B
BBBBB@1
CCCCCCAa
11a 12a 13a 11a 12a 21a22a
23a
21a
22a
31a
32a
33a
31a
320
B
BBBBB@1
CCCCCCAExemple 1.
Calculons le déterminant de la matriceA=0
@2 1 0 11 33 2 11
APar la règle de Sarrus :
detA=2(1)1+133+0123(1)0232111=6.21021
11311321320
BBBBBB@1
CCCCCCA
Attention : cette méthode ne s"applique pas pour les matrices de taille supérieure à3. Nous verrons d"autres méthodes
qui s"appliquent aux matrices carrées de toute taille et donc aussi aux matrices 33.1.3. Interprétation géométrique du déterminant
On va voir qu"en dimension 2, les déterminants correspondent à des aires et en dimension 3 à des volumes.
Donnons nous deux vecteursv1=(ac)etv2=bddu planR2. Ces deux vecteursv1,v2déterminentun parallélogramme.v
1v 2xy O~ i~ jProposition 1. L"aire du parallélogramme est donnée par la valeur absolue du déterminant :A=det(v1,v2)=deta b
c d .De manière similaire, trois vecteurs de l"espaceR3: v 1=0 @a 11 a 21a 311
A v2=0 @a 12 a 22
a 321
A v3=0 @a 13 a 23
a 331
A définissent un parallélépipède. DÉTERMINANTS1. DÉTERMINANT EN DIMENSION2ET33v 1v 2v
3À partir de ces trois vecteurs on définit, en juxtaposant les colonnes, une matrice et un déterminant :
det(v1,v2,v3) =det0 @a11a12a13
a21a22a23
a31a32a331
A .Proposition 2. Le volume du parallélépipède est donné par la valeur absolue du déterminant :V=det(v1,v2,v3).On prendra comme unité d"aire dansR2l"aire du carré unité dont les côtés sont les vecteurs de la base canonique10,01, et comme unité de volume dansR3, le volume du cube unité.
Démonstration.
Traitons le cas de la dimension2. Le résultat est vrai siv1=(a0)etv2=0d. En effet, dans ce cas ona affaire à un rectangle de côtésjajetjdj, donc d"airejadj, alors que le déterminant de la matricea0
0d vautad.v 1v 2ad O~ i~ jSi les vecteursv1etv2sont colinéaires alors le parallélogramme est aplati, donc d"aire nulle; on calcule facilement
que lorsque deux vecteurs sont colinéaires, leur déterminant est nul.Dans la suite on suppose que les vecteurs ne sont pas colinéaires. Notonsv1=(ac)etv2=bd. Sia6=0, alors
v02=v2ba
v1est un vecteur vertical :v02=0
dba cL"opération de remplacerv2parv0
2ne change pas l"aire du parallélogramme (c"est comme si on avait coupé le triangle
vert et on l"avait collé à la place le triangle bleu).v 1v 2v 0 2O~ i~ jCette opération ne change pas non plus le déterminant car on a toujours : det(v1,v02) =deta0
b dba c =adbc=det(v1,v2).On pose alorsv0
1=(a0): c"est un vecteur horizontal. Encore une fois l"opération de remplacerv1parv0
1ne change ni
l"aire des parallélogrammes ni le déterminant car det(v0 1,v02) =deta0
0dba c =adbc=det(v1,v2). DÉTERMINANTS2. DÉFINITION DU DÉTERMINANT4v 1v 0 2v 0 1O~ i~jOn s"est donc ramené au premier cas d"un rectangle aux côtés parallèles aux axes, pour lequel le résultat est déjà
acquis. Le cas tridimensionnel se traite de façon analogue.Mini-exercices. 1.P ourA=1 2
5 3 etB=7 8 9 5 calculer les déterminants deA,B,AB,A+B,A1,A,AT. 2.Mêmes questions pour A=a b
c d etB=a00 c 0d0 3.Mêmes questions pour A=0
@2 0 1 21 23 1 01
A etB=0 @1 2 3 0 2 20 0 31
A 4. Calculer l"aire du parallélogramme défini par les vecteurs73et14.
5. Calculer le volume du parallélépipède défini par les vecteurs 211 ,114 ,131 .2. Définition du déterminantCette partie est consacrée à la définition du déterminant. La définition du déterminant est assez abstraite et il faudra
attendre encore un peu pour pouvoir vraiment calculer des déterminants.2.1. Définition et premières propriétés
Nous allons caractériser le déterminant comme une application, qui à une matrice carrée associe un scalaire :
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