LES DÉTERMINANTS DE MATRICES
permutations) mais allons plutôt nous concentrer sur le calcul celui-ci. 3- Calcul du déterminant pour une matrice. Considérons la matrice de dimension 2 2
Déterminants
Le déterminant permet de savoir si une matrice est inversible ou pas et de façon plus générale
Module 2 : Déterminant dune matrice
Une matrice dont le déterminant est différent de zéro cette propriété pour obtenir des 0 dans une ligne ou une colonne et ainsi simplifier le calcul.
Chapitre 5 Déterminant
Le déterminant d'une matrice carrée est un scalaire dont la valeur fournit une et qui pour n = 2
Calculs de déterminants
Attention ! La règle de Sarrus ne s'applique qu'aux matrices 3×3. 3. Deuxième méthode. Se ramener à une matrice diagonale ou
1 Quest-ce que le déterminant dune matrice ?
Le déterminant 3 × 3 peut donc se ramener au calcul de plusieurs déterminants 2 × 2 combinés de façon adéquate. En fait il en est de même du déterminant 2
Chapitre 5 : Le déterminant dune matrice
Dans la méthode de pivot de Gauss pour calculer un déterminant on applique des opérations des lignes et/ou colonnes pour obtenir une matrices triangulaire.
PCP - DETERMINANTS (COURS-EXERCICES). YjY 1. Déterminant
12 févr. 2009 Le déterminant d'une matrice carrée à deux lignes et colonnes A = ( ... faut calculer 4 déterminants d'ordre 3 soit 12 déterminants d'ordre ...
Chapitre 6. Déterminant dune matrice carrée
Ca sert à calculer l'inverse de la matrice (si elle Formules qui simplifient le calcul des déterminants. • det(tA) = detA. Exemple. \.
Chapitre 7 D´eterminants
iii) Le déterminant de la matrice identité In vaut 1. verra plus loin comment on peut calculer effectivement les déterminants.
[PDF] LES DÉTERMINANTS DE MATRICES
1- Rappel - Définition et composantes d'une matrice 3- Calcul du déterminant pour une matrice
[PDF] Déterminants - Exo7 - Cours de mathématiques
1 Déterminant en dimension 2 et 3 1 1 Matrice 2 × 2 En dimension 2 le déterminant est très simple à calculer : det a b c d = ad ? bc
[PDF] Chapitre 6 Déterminant dune matrice carrée
Déterminant d'une matrice carrée §1 Cas d'une matrice 2 × 2 Définition det( Ca sert à calculer l'inverse de la matrice (si elle
[PDF] 1 Quest-ce que le déterminant dune matrice ?
Nous généralisons ici la notion de déterminant que vous connaissez déjà en dimension 2 et 3 La définition que nous présentons par récurrence n'est pas la
[PDF] Chapitre 5 : Le déterminant dune matrice
La valeur absolue du déterminant est le volume du parallélépip`ede engendré par les trois vecteurs colonnes de A Exemple : On calcule det 1 1 0 3 1
[PDF] Chapitre 5 Déterminant
Le déterminant d'une matrice carrée est un scalaire dont la valeur fournit une et qui pour n = 2 3 peuvent être vérifiées par un calcul direct
[PDF] L1 MASS : Alg`ebre Linéaire Cours 9 mars 2006 Déterminants
9 mar 2006 · Donc on va concentrer sur le calcul des déterminants et sur leurs propriétés Le déterminant d'une matrice 1 × 1 est son coefficient :
[PDF] Déterminants
12 sept 2016 · signature vous en savez assez pour calculer des déterminants ce qui après tout est Soit A = (aij)ij=1 n une matrice carrée
[PDF] Déterminant
1 1 Déterminant : définition propriétés méthodes de calcul On note Mn(K) l'ensemble des matrices n Le déterminant de la matrice identité In vaut 1
Rang et déterminant des matrices - LaBRI
4 sept 2019 · C(A) = Vect {a?1 a?p} le sev engendré par les colonnes de Calcul pratique du rang d'une matrice : pivot de Gauss
Quel est le meilleur méthode pour calculer le déterminant d'une matrice ?
Le déterminant se calcule en multipliant les deux termes de la diagonales : a x d, puis les deux autres : b x c. On soustrait alors, ce qui donne det(A) = a x d – b x c. Rien de bien compliqué, il faut juste connaître la formule Autre cas particulier très simple : les matrices diagonales et triangulaires.Quelle est la formule du déterminant d'une matrice ?
Le déterminant d'une matrice est égal à celui de sa transposée : si M ? Mn(R), alors det(M) = det(tM).Comment calculer le déterminant d'une matrice d'ordre n ?
Si dans une matrice on ajoute à une ligne un multiple d'une autre ligne, le déterminant ne change pas. Si A est une matrice carrée d'ordre n, on a det(A)=det(At). Si A et B sont des matrices carrées d'ordre n, on a det(A?B)=det(A)?det(B).- Le calcul du déterminant d'une matrice carrée est un outil nécessaire, tant en alg?re linéaire pour vérifier une inversibilité ou calculer l'inverse d'une matrice, qu'en analyse vectorielle avec, par exemple, le calcul d'un jacobien.
Rang et d
´eterminant des matrices
Herv´e Hocquard
Universit
´e de Bordeaux, France
4 septembre 2019
Espace des lignes-Espace des colonnes
Introduction
SoitA=aij2Mn;p(K), avecK=RouC:On peut
d´ecomposerAen lignes :A=0
B @a 1... a n1 C A ou en colonnes :A=a1ap.On associe `aAdeux sev deKp:L(A) =Vectfa1;:::;angle sev engendr´e par les lignes deA.C(A) =Vecta1;:::;aple sev engendr´e par les colonnes de
A.Espace des lignes-Espace des colonnes
Introduction
SoitA=aij2Mn;p(K), avecK=RouC:On peut
d´ecomposerAen lignes :A=0
B @a 1... a n1 C A ou en colonnes :A=a1ap.On associe `aAdeux sev deKp:L(A) =Vectfa1;:::;angle sev engendr´e par les lignes deA.C(A) =Vecta1;:::;aple sev engendr´e par les colonnes de
A.Espace des lignes-Espace des colonnes
Introduction
SoitA=aij2Mn;p(K), avecK=RouC:On peut
d´ecomposerAen lignes :A=0
B @a 1... a n1 C A ou en colonnes :A=a1ap.On associe `aAdeux sev deKp:L(A) =Vectfa1;:::;angle sev engendr´e par les lignes deA.C(A) =Vecta1;:::;aple sev engendr´e par les colonnes de
A.Espace des lignes-Espace des colonnes
Th ´eor`emePour toute matrice A deMn;p(K);dimL(A) = dimC(A).D ´efinitionSoit A une matrice deMn;p(K). On appelle rang deAla dimension deC(A)(ou deL(A)). On a clairement : rangAmin(n;p)etrangA=rangtAEspace des lignes-Espace des colonnes
Th ´eor`emePour toute matrice A deMn;p(K);dimL(A) = dimC(A).D ´efinitionSoit A une matrice deMn;p(K). On appelle rang deAla dimension deC(A)(ou deL(A)). On a clairement : rangAmin(n;p)etrangA=rangtARang d"une matrice...pour faire simple
D ´efinitionSoitA2Mn;p(R)une matrice, on appelle rang de la matriceA, le rang dansRndu syst`eme constitu´e par sespvecteurs colonnes, notation :rg(A) =rg(c1(A);:::;cp(A)).RemarqueImA=Vectfc1(A);:::;cp(A)gTh
´eor`emeSoituune application lin´eaire deEdansF, soitBune base deE, soitB0une base deF, et soitA=matB;B0(u), alors
rg(u) =rg(A)Rang d"une matrice...pour faire simple
D ´efinitionSoitA2Mn;p(R)une matrice, on appelle rang de la matriceA, le rang dansRndu syst`eme constitu´e par sespvecteurs colonnes, notation :rg(A) =rg(c1(A);:::;cp(A)).RemarqueImA=Vectfc1(A);:::;cp(A)gTh
´eor`emeSoituune application lin´eaire deEdansF, soitBune base deE, soitB0une base deF, et soitA=matB;B0(u), alors
rg(u) =rg(A)Rang d"une matrice...pour faire simple
D ´efinitionSoitA2Mn;p(R)une matrice, on appelle rang de la matriceA, le rang dansRndu syst`eme constitu´e par sespvecteurs colonnes, notation :rg(A) =rg(c1(A);:::;cp(A)).RemarqueImA=Vectfc1(A);:::;cp(A)gTh
´eor`emeSoituune application lin´eaire deEdansF, soitBune base deE, soitB0une base deF, et soitA=matB;B0(u), alors
rg(u) =rg(A)Rang d"une matrice
Th ´eor`eme (Cons´equence)SoitEun espace vectoriel de dimensionn, soitS= (x1;:::;xp) une famille depvecteurs deEet soitBune base deE, alors le rang de la familleSest´egal au rang de la matrice de ce syst `eme dans la baseB.Th ´eor`eme : Invariance du rangSoitA2Mn;p(R),P2Mp(R)inversible et soitQ2Mn(R) inversible. Alors :1rg(AP) =rg(A)etrg(QA) =rg(A).2Deux matrices semblables ont le mˆeme rang.3rg(A) =rg(tA).
Rang d"une matrice
Th ´eor`eme (Cons´equence)SoitEun espace vectoriel de dimensionn, soitS= (x1;:::;xp) une famille depvecteurs deEet soitBune base deE, alors le rang de la familleSest´egal au rang de la matrice de ce syst `eme dans la baseB.Th ´eor`eme : Invariance du rangSoitA2Mn;p(R),P2Mp(R)inversible et soitQ2Mn(R) inversible. Alors :1rg(AP) =rg(A)etrg(QA) =rg(A).2Deux matrices semblables ont le mˆeme rang.3rg(A) =rg(tA).
Op ´erations´el´ementaires sur les matricesD ´efinitionSoitA2Mn;p(R), on appelle op´erations´el´ementaires surAles op ´erations suivantes :1Permuter deux lignes deA(ou deux colonnes), notation : L i$Lj(resp.Ci$Cj).2Multiplier une ligne (ou une colonne) par un scalaire non nul, notation :Li aLi(resp.Ci aCi).3Ajouter `a une ligne (ou une colonne) un multiple d"une autre ligne (resp. une autre colonne), notation : L i Li+aLj, aveci6=j(resp.Ci Ci+aCj). Op ´erations´el´ementaires sur les matricesTh´eor`emeEffectuer une op
´eration´el´ementaire sur une matrice
A2Mn;p(R)revient`a multiplierA`a gauche par une matrice inversible pour les op´erations sur les lignes (`a droite pour une
op´eration sur les colonnes).
Op´erations´el´ementaires surA2Mn;p(R):K=R
Calcul pratique du rang d"une matrice
Remarque
Il est
`a peu pr`es´evident que les op´erations´el´ementaires ne modifient pas le rang d"une matrice. Pour calculer le rang d"une matrice, il suffit donc de l"´echelonner par rapport`a ses lignes
(resp.ses colonnes) et le rang est alors´egal au nombre de
lignes (resp. de colonnes) non nulles de la matrice´echelonn´ee.
C"est donc aussi le nombre de pivots non nuls d"une r´eduite de
Gauss-Jordan de la matrice.Th
´eor`eme : propri´et´es d"invarianceLes op ´erations´el´ementaires conservent le rang de la matrice.La suppression d"une colonne nulle ou d"une ligne nulle pr´eserve le rang.
Calcul pratique du rang d"une matrice
Remarque
Il est
`a peu pr`es´evident que les op´erations´el´ementaires ne modifient pas le rang d"une matrice. Pour calculer le rang d"une matrice, il suffit donc de l"´echelonner par rapport`a ses lignes
(resp.ses colonnes) et le rang est alors´egal au nombre de
lignes (resp. de colonnes) non nulles de la matrice´echelonn´ee.
C"est donc aussi le nombre de pivots non nuls d"une r´eduite de
Gauss-Jordan de la matrice.Th
´eor`eme : propri´et´es d"invarianceLes op ´erations´el´ementaires conservent le rang de la matrice.La suppression d"une colonne nulle ou d"une ligne nulle pr´eserve le rang.
Calcul pratique du rang d"une matrice : pivot de GaussCalcul pratique du rang d"une matrice : exercice
Exercice
D´eterminer le rang de la matriceAci-dessous :
A=0 BBBB@0 0 1 3
1 01 2
0 0 1 2
2 44 1
1 0 3 01
C CCCACalcul pratique du rang d"une matrice : exercice
rg(A) =4Calcul pratique du rang d"une matrice : exercice
rg(A) =4Calcul pratique du rang d"une matrice : exercice
rg(A) =4Rang et inversibilit
´eProposition
SoitA2Mn;p(K). A est inversible`a gauche (resp.`a droite) ssi rangA=p(resp.rangA=n).CorollaireToute matrice inversible est carr
´ee, et pour une matrice carr´ee
AdeMn(K), on a :
Ainversible()rangA=n
On dit aussi r
´eguli`ere pour inversible.Corollaire
Le rang d"une matriceA2Mn;p(K)est´egal`a l"ordre de la plus grande sous matrice carr´ee r´eguli`ere que l"on peut extraire de
A:Rang et inversibilit
´eProposition
SoitA2Mn;p(K). A est inversible`a gauche (resp.`a droite) ssi rangA=p(resp.rangA=n).CorollaireToute matrice inversible est carr
´ee, et pour une matrice carr´ee
AdeMn(K), on a :
Ainversible()rangA=n
On dit aussi r
´eguli`ere pour inversible.Corollaire
Le rang d"une matriceA2Mn;p(K)est´egal`a l"ordre de la plus grande sous matrice carr´ee r´eguli`ere que l"on peut extraire de
A:Rang et inversibilit
´eProposition
SoitA2Mn;p(K). A est inversible`a gauche (resp.`a droite) ssi rangA=p(resp.rangA=n).CorollaireToute matrice inversible est carr
´ee, et pour une matrice carr´ee
AdeMn(K), on a :
Ainversible()rangA=n
On dit aussi r
´eguli`ere pour inversible.Corollaire
Le rang d"une matriceA2Mn;p(K)est´egal`a l"ordre de la plus grande sous matrice carr´ee r´eguli`ere que l"on peut extraire de
A:Propri
´et´es du rang d"une matricePropri
´et´esSoitfune application lin´eaire deEdansF, soitBune base de Eavecdim(E) =p, soitB0une base deFavecdim(F) =n, et soitA=matB;B0(f)2Mn;p(R), on a :1rg(A)min(n;p).2rg(A) =n()fest surjective.3rg(A) =p()fest injective.Propri
´et´es du rang d"une matricePropri
´et´esSoitfune application lin´eaire deEdansF, soitBune base de Eavecdim(E) =p, soitB0une base deFavecdim(F) =n, et soitA=matB;B0(f)2Mn;p(R), on a :1rg(A)min(n;p).2rg(A) =n()fest surjective.3rg(A) =p()fest injective.Propri
´et´es du rang d"une matricePropri
´et´es1SiA2Mn;p(R),B2Mp;q(R)alors
rg(AB) =rg(B).3SiA2Mn;p(R),B2Mp(R)etBinversible alors rg(AB) =rg(A).Rang et syst
`emes lin´eairesIntroduction Soit (S) :8 :a11x1+:::a1nxn=b1...
a m1x1+:::amnxn=bmOn l"´ecritAX=BavecA=aij2Mmn(K)
X=0 B @x 1... x n1 CA2Mn1(K)etB=0
B @b 1... b m1 CA2Mm1(K). On note
aussiA0la matrice compl`ete du syst`eme.Rang et syst
`emes lin´eairesIntroduction Soit (S) :8 :a11x1+:::a1nxn=b1...
a m1x1+:::amnxn=bmOn l"´ecritAX=BavecA=aij2Mmn(K)
X=0 B @x 1... x n1 CA2Mn1(K)etB=0
B @b 1... b m1 CA2Mm1(K). On note
aussiA0la matrice compl`ete du syst`eme.Rang et syst
`emes lin´eairesPropositionLes conditions suivantes sont
´equivalentes :
(i) (S)admet au moins une solution. (ii)rangA0=rangA. (iii)B2C(A). D´efinition et propri´et´esNotations
SoitAune matrice carr´eeaijdeMn(K) (n1). On´ecrit: A=0 B @a 1... a n1 CAo`uaiest la iemeligne de la matrice.
D´efinition et propri´et´esTh
´eor`emeIl existe une unique application deMn(K)dansK;appel´ee d ´eterminant et not´eedet;poss´edant les trois propri´et´es suivantes :(1)8i=1;:::;n8a1;:::;ai1;ai+1;:::an8aetbdeKet8x etydeKn det 0 BBBBBBBBBB@a
1... a i1 ax+by a i+1... a n1 CCCCCCCCCCA=adet0
BBBBBBBBBB@a
1... a i1 x a i+1... a n1quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18[PDF] forme canonique de commandabilité
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