LES DÉTERMINANTS DE MATRICES
permutations) mais allons plutôt nous concentrer sur le calcul celui-ci. 3- Calcul du déterminant pour une matrice. Considérons la matrice de dimension 2 2
Déterminants
Le déterminant permet de savoir si une matrice est inversible ou pas et de façon plus générale
Module 2 : Déterminant dune matrice
Une matrice dont le déterminant est différent de zéro cette propriété pour obtenir des 0 dans une ligne ou une colonne et ainsi simplifier le calcul.
Chapitre 5 Déterminant
Le déterminant d'une matrice carrée est un scalaire dont la valeur fournit une et qui pour n = 2
Calculs de déterminants
Attention ! La règle de Sarrus ne s'applique qu'aux matrices 3×3. 3. Deuxième méthode. Se ramener à une matrice diagonale ou
1 Quest-ce que le déterminant dune matrice ?
Le déterminant 3 × 3 peut donc se ramener au calcul de plusieurs déterminants 2 × 2 combinés de façon adéquate. En fait il en est de même du déterminant 2
Chapitre 5 : Le déterminant dune matrice
Dans la méthode de pivot de Gauss pour calculer un déterminant on applique des opérations des lignes et/ou colonnes pour obtenir une matrices triangulaire.
PCP - DETERMINANTS (COURS-EXERCICES). YjY 1. Déterminant
12 févr. 2009 Le déterminant d'une matrice carrée à deux lignes et colonnes A = ( ... faut calculer 4 déterminants d'ordre 3 soit 12 déterminants d'ordre ...
Chapitre 6. Déterminant dune matrice carrée
Ca sert à calculer l'inverse de la matrice (si elle Formules qui simplifient le calcul des déterminants. • det(tA) = detA. Exemple. \.
Chapitre 7 D´eterminants
iii) Le déterminant de la matrice identité In vaut 1. verra plus loin comment on peut calculer effectivement les déterminants.
[PDF] LES DÉTERMINANTS DE MATRICES
1- Rappel - Définition et composantes d'une matrice 3- Calcul du déterminant pour une matrice
[PDF] Déterminants - Exo7 - Cours de mathématiques
1 Déterminant en dimension 2 et 3 1 1 Matrice 2 × 2 En dimension 2 le déterminant est très simple à calculer : det a b c d = ad ? bc
[PDF] Chapitre 6 Déterminant dune matrice carrée
Déterminant d'une matrice carrée §1 Cas d'une matrice 2 × 2 Définition det( Ca sert à calculer l'inverse de la matrice (si elle
[PDF] 1 Quest-ce que le déterminant dune matrice ?
Nous généralisons ici la notion de déterminant que vous connaissez déjà en dimension 2 et 3 La définition que nous présentons par récurrence n'est pas la
[PDF] Chapitre 5 : Le déterminant dune matrice
La valeur absolue du déterminant est le volume du parallélépip`ede engendré par les trois vecteurs colonnes de A Exemple : On calcule det 1 1 0 3 1
[PDF] Chapitre 5 Déterminant
Le déterminant d'une matrice carrée est un scalaire dont la valeur fournit une et qui pour n = 2 3 peuvent être vérifiées par un calcul direct
[PDF] L1 MASS : Alg`ebre Linéaire Cours 9 mars 2006 Déterminants
9 mar 2006 · Donc on va concentrer sur le calcul des déterminants et sur leurs propriétés Le déterminant d'une matrice 1 × 1 est son coefficient :
[PDF] Déterminants
12 sept 2016 · signature vous en savez assez pour calculer des déterminants ce qui après tout est Soit A = (aij)ij=1 n une matrice carrée
[PDF] Déterminant
1 1 Déterminant : définition propriétés méthodes de calcul On note Mn(K) l'ensemble des matrices n Le déterminant de la matrice identité In vaut 1
Rang et déterminant des matrices - LaBRI
4 sept 2019 · C(A) = Vect {a?1 a?p} le sev engendré par les colonnes de Calcul pratique du rang d'une matrice : pivot de Gauss
Quel est le meilleur méthode pour calculer le déterminant d'une matrice ?
Le déterminant se calcule en multipliant les deux termes de la diagonales : a x d, puis les deux autres : b x c. On soustrait alors, ce qui donne det(A) = a x d – b x c. Rien de bien compliqué, il faut juste connaître la formule Autre cas particulier très simple : les matrices diagonales et triangulaires.Quelle est la formule du déterminant d'une matrice ?
Le déterminant d'une matrice est égal à celui de sa transposée : si M ? Mn(R), alors det(M) = det(tM).Comment calculer le déterminant d'une matrice d'ordre n ?
Si dans une matrice on ajoute à une ligne un multiple d'une autre ligne, le déterminant ne change pas. Si A est une matrice carrée d'ordre n, on a det(A)=det(At). Si A et B sont des matrices carrées d'ordre n, on a det(A?B)=det(A)?det(B).- Le calcul du déterminant d'une matrice carrée est un outil nécessaire, tant en alg?re linéaire pour vérifier une inversibilité ou calculer l'inverse d'une matrice, qu'en analyse vectorielle avec, par exemple, le calcul d'un jacobien.
![Chapitre 5 Déterminant Chapitre 5 Déterminant](https://pdfprof.com/Listes/17/23007-17Chap5.pdf.pdf.jpg)
Chapitre 5D´eterminant5.1 La fonction d´eterminantLe d´eterminant d"une matrice carr´ee est un scalaire dont la valeur fournit une indication sur
l"inversibilit´e de cette matrice. Pour pr´eciser la nature de cette indication, penchons nous d"abord sur les cas 2×2 et 3×3.5.1.1 Les matrices2×2et3×3
SoitA=?a b
c d? une matrice 2×2. Appliquons la m´ethode d"´elimination de Gauss `aA.Sia?= 0,
A R2←R2-c
aR1←-?a b 0d-c ab? On voit queAsera inversible si la seconde entr´ee de la diagonale de la forme ´echelon est non nulle, i.e. si det(A) =ad-bc?= 0.Sia= 0
AR2↔R1←-?c d
0b? Aest inversible sicetbsont non nuls c"est-`a-dire si bc=-(ab-bc) =-det(A)?= 0.La quantit´e det(A) est appel´ee le
d´eterminant de la matriceA, qui est inversible si et seulement si cette quantit´e est non nulle. Examinons maintenant la cas 3×3 A=(( a b c d e f g h i)) .(5.1) Limitons temporairement notre attention au casa?= 0. Une premi`ere ´etape de la m´ethode d"´elimination s"´ecrit 102CHAPITRE 5. DETERMINANT103
A R2←R2-d
aR1←-(( a b c 0e-d ab f-dac g h i))R3←R3-g
aR1←-(( a b c 0e-d ab f-dac 0h-g ab i-gac)) Puisquea?= 0, la matriceAne sera inversible que si le bloc 2×2 est lui mˆeme inversible ce qui, en vertu de ce qui pr´ec`ede, n"est possible que si (e-d ab)(i-gac)-(f-dac)(h-gab)?= 0. On peut multiplier les deux membres de l"in´egalit´e para2sans changer la condition qui s"´ecrit maintenant (ae-db)(ai-gc)-(af-dc)(ah-gb)?= 0.Si on regroupe convenablement les termes, le membre de gauche de l"in´egalit´e peut se r´ecrire
a[a(ei-fh)-b(id-fg) +c(dh-ge)].La quantit´e entre crochets est appel´ee
d´eterminantdeA. On a, de nouveau, queAestinversible, si et seulement si det(A)?= 0. En faisant l"´echange de ligne appropri´e, il ne serait
pas difficile de montrer que ce r´esultat reste valide mˆeme sia= 0. Nous avons maintenant une d´efinition constructive du d´eterminant pour les matrices de taille2 et 3.
A=?a b
c d? det(A) =ad-bc A=(( a b c d e f g h i)) det(A) =a(ei-fh)-b(di-fg) +c(dh-ge) det(A) =aei-afh-bfg-bid+cdh-cgeNous pouvons tirer quelques conclusions int´eressantes qui resteront vraies dans le cas g´en´eral
et qui, pourn= 2,3, peuvent ˆetre v´erifi´ees par un calcul direct.C1 det(A) =det(At).
C2 Sin= 3
det(A) =adet??e f h i?? -bdet??d fg i?? +cdet??d e g h?? =adet??e f h i?? -ddet??b c h i?? +gdet??b c e f?? =-ddet??b c h i?? +edet??a c g i?? -fdet??a bg h??CHAPITRE 5. DETERMINANT104
C3 SiBest obtenu deApar ´echange de ligne det(B) =-det(A).C4 SiAcontient une rang´ee de 0, det(A) = 0.
C5 SiAa deux rang´ees ´egales, det(A) = 0.
C6 SiBest obtenue deApar une op´eration ´el´ementaire du typeRi←Ri+αRj, alors det(B) = det(A).Seul le dernier ´enonc´e exige vraiment des commentaires. Nous v´erifions sa validit´e dans le
cas 3×3. Supposons queAsoit de la forme (5.1) et queBsoit obtenue deApar l"op´eration R2←R2+αR1, on aura
B=(( a b c d+αa e+αb f+αc g h i)) Donc det(B) =-(d+αa)det??b c h i?? +(e+αb)det??a c g i?? -(f+αc)det??a b g h?? En s´eparant les termes contenantαdes autres, on obtient alors det(B) = det((((a b cd e f g h i)) +αdet((((a b ca b cg h i)) Le second d´eterminant est nul en vertu de la propri´et´e C5 ce qui d´emontre C6.Exemple5.1.1
A=(( 1 2 3 2 3 54 4 6))
a) det(A) = 1(18-20)-2(12-20) + 3(8-12) = 2 b) det(At) = 1(18-20)-2(12-12) + 4(10-9) = 2 c) Si on faitR3←R3+ 2R2, on obtient B=(( 1 2 3 2 3 58 10 16))
?det(B) = 1(48-50)-2(32-40) + 3(20-24) = 2.CHAPITRE 5. DETERMINANT105
5.1.2 D´efinition g´en´erale
SoitAune matricen×n. On noteraA(i;j) la matrice (n-1)×(n-1) obtenue deAen´eliminant la rang´eeiet la colonnej.
Exemple5.1.2
A=((((1 2 3 62 3 5-1
4 4 6 0
-1 2 0 5)))) AlorsA(2;3) =((
1 2 6 4 4 0 -1 2 5)) , A(3;4) =(( 1 2 3 2 3 5 -1 2 0)) Nous pouvons maintenant donner la d´efinition g´en´erale. D´efinition5.1.1SoitAune matricen×n. Led´eterminantdeA, not´e det(A) , est d´efini de fa¸con r´ecursive : (1) Sin= 1, i.e. siA= (a11), alors det(A) =a11. (2) Soitn >1; alors det(A) =a1,1(-1)1+1det(A(1;1))+a1,2(-1)1+2det(A(1;2))+...+a1,n(-1)1+ndet(A(1;n)).Cette d´efinition est bien une g´en´eralisation de la d´efinition donn´ee pourn= 2,3. Cependant,
nous avions observ´e que, pourn= 3, on pouvait, dans la d´efinition, remplacer la rang´ee 1 par
une autre rang´ee. On peut aussi la remplacer par n"importe quelle colonne. La d´emonstrationde cette affirmation dans le cas g´en´eral est assez technique. Nous prendrons donc ce fait pour
acquis. Ainsi, pouri,jquelconques entre 1 etn, det(A) =ai,1(-1)i+1det(A(i;1)) +ai,2(-1)i+2det(A(i;2)) +...+ai,n(-1)i+ndet(A(i;n)) det(A) =a1,j(-1)j+1det(A(1;j)) +a2,j(-1)j+2det(A(2,j)) +...+an,j(-1)j+ndet(A(n;j)) (5.2) D´efinition5.1.2SoitA= (ai,j) une matricen×n, on appelle a) mineur deai,j, le d´eterminant de la sous-matriceA(i;j); b) cofacteur deai,j, not´eCi,j, le nombre (-1)i+jdet(A(i;j)).CHAPITRE 5. DETERMINANT106
Remarque 5.1.1L"expressionaj,1Cj,1+aj,2Cj,2+...+aj,nCj,nest appel´ee d´eveloppement de Laplace du d´eterminant deApar rapport `a laj-i`eme ligne alors que l"expressiona1,iC1,i+ a2,iC2,i+...+an,iCn,iest appel´ee d´eveloppement de Laplace du d´eterminant deApar rapport
`a lai-i`eme colonne. Quels que soientietj, ces expressions ont la mˆeme valeur.Exemple5.1.3Si
A=((((1-1-2 3
0 2-4 6
-1 3 0 52-2 2-2))))
det(A) =-2det(A(4;1))-2det(A(4;2))-2det(4;3)-2det(4;4) =-2(40)-2(-20)-2(4)-2(4) =-56 det(A) =-2det(A(1;3)) + 4det(A(2;3))-2det(A(4;3)) =-2(-8) + 4(-16)-2(4) =-565.2 Propri´et´es du d´eterminant.
Les propri´et´es suivantes d´ecoulent plus ou moins directement de (5.2). (D1) det(A) = det(At). (D2) SiAcontient une ligne ou une colonne de 0, det(A) = 0. (D3) SiAest triangulaire sup´erieure ou inf´erieure, det(A) =n? i=1a i,i. (D4) SiBest obtenue deApar ´echange de deux rang´ees, det(B) =-det(A). (D5) SiBest obtenue deApar une op´eration du typeRi←aRi, det(B) =adet(A). (D6) SiBest obtenue deApar une op´eration du typeRi←Ri+aRjaveci?=j, det(B) = det(A).(D7) Dans les propri´et´es (D4), (D5) et (D6), on peut ´echanger les mots lignes et colonnes.
Remarque 5.2.1La d´emonstration de (D4) peut se faire par induction en utilisant und´eveloppement de Laplace qui n"implique pas les rang´ees ´echang´ees. La d´emonstration de
(D6) est en tout point identique `a celle donn´ee pourn= 3 sauf pour le nombre de termes. (D7) d´ecoule ´evidemment de (D1).Illustrons ces propri´et´es sur un exemple.
CHAPITRE 5. DETERMINANT107
Exemple5.2.1
>A :=matrix([[1,-2,0,3],[0,2,4,5],[ 1,3,-1,7],[1,-1,0,1]]) ;det(A);A:=????1-2 0 3
0 2 4 5
1 3-1 7
1-1 0 1????
65B :=swaprow(A,2,4) ;det(B);
B:=????1-2 0 3
1-1 0 1
1 3-1 7
0 2 4 5????
-65C :=mulcol(A,3,-4) ;det(C);
C:=????1-2 0 3
0 2-16 5
1 3 4 7
1-1 0 1????
-260DD :=addrow(A,2,4,2) ;det(DD);
DD:=????1-2 0 3
0 2 4 5
1 3-1 7
1 3 8 11????
65Nous sommes maintenant en mesure de montrer que le d´eterminant est bien un outil appro- pri´e pour ´etudier l"invertibilit´e des matrices. Th´eor`eme5.2.1Une matriceA?Mn,n, est inversible si et seulement sidet(A)?= 0. D emonstration:Rappelons d"abord que nous avons montr´e qu"une matriceApeutquotesdbs_dbs28.pdfusesText_34
[PDF] forme canonique de commandabilité
[PDF] représentation d'état exercices corrigés pdf
[PDF] passage fonction de transfert représentation d'état
[PDF] forme modale automatique
[PDF] forme compagne de commande
[PDF] matrice de transfert automatique
[PDF] diagonale d'un carré propriété
[PDF] prix ecran projecta
[PDF] format 10x15 correspondance
[PDF] meilleur ecran videoprojecteur
[PDF] comparatif ecran de projection
[PDF] ecran projection
[PDF] fabriquer son ecran de projection
[PDF] dimensionnement arbre torsion