Ch. 5 : Echantillonnage estimation
Calculer p(X = 24) en l'approximant par p(23.5 ? Y ? 24.5) o`u Y suit une loi normale de mêmes espérance et écart-type que X. 3. Page 4. 3 Estimation. On
Traitement statistique des processus alpha-stable
Définition 3 Un estimateur du paramètre inconnu ? est une statistique ?? dont Exercice 21 : Test de l'espérance d'une loi normale d'écart-type inconnu.
La loi normale
Lorsque l'on suppose qu'une variable X suit le mod`ele de la loi normale Exemples de lois normales avec moyennes différentes même écart-type :.
B2 - Intervalle de confiance dune moyenne avec écart-type inconnu
`A partir de ce résultat on construit un intervalle de confiance aléatoire au seuil ? comme précédemment : On détermine t? `a partir de la loi normale centrée
Comparaison des moyennes de deux populations normales décarts
P1 de moyenne m1 et d'écart-type 0'1 inconnus ; m2se fera donc aisément en utilisant la table de Ici loi normale pour la variable t --.
ESTIMATION DE PARAMÈTRES
Dans le cas d'un caractère quantitatif la moyenne m et l'écart-type ?pop d'une on considère que la variable aléatoire X suit une loi normale :.
Cours de Statistiques inférentielles
Son écart-type ?X est la racine positive de la variance. 1.2 Lois usuelles. 1.2.1 Loi normale ou loi de Gauss. Une variable aléatoire réelle X suit
Estimations et intervalles de confiance
valeur inconnue du paramètre. Dans la suite nous nous intéresserons donc à deux types d'estimations : – soit une estimation donnée par valeur scalaire issue
LOI NORMALE
- L'écart-type noté ?
CORRIGE DES EXERCICES : Estimation ponctuelle et estimation
X suit approximativement une loi normale temps ? inconnu est estimé par l'écart-type observé sans biais s*=23 mn. L'intervalle de confiance au niveau ...
[PDF] La loi normale
Pour chaque µ ? il existe une loi normale de moyenne µ et d'écart-type ? Exemples de lois normales avec moyennes différentes même écart-type :
[PDF] loi normale - Lycée Les Iscles
La variable aléatoire X suit une loi normale de moyenne m et d'écart type ? ( on note : X ? N(m;?) ) signifie que : L'ensemble des valeurs possibles de X
[PDF] LOI NORMALE - maths et tiques
Pour une loi normale centrée réduite l'espérance est égale à 0 et l'écart-type est égal à 1 III Probabilité sur une loi normale
[PDF] 7 Loi normale ou loi de Laplace-Gauss - EM consulte
22 jui 2010 · Une variable suivant la loi normale centrée réduite est notée Z Si X est de moyenne ? et d'écart type ? suit une loi normale centrée réduite
[PDF] Loi normale - Probabilité
suppose que la variable aléatoire X suit la loi normale d'espérance 15 et d'écart-type ? inconnu Une valeur approchée au millième de ? pour que la
[PDF] Statistiques
Son écart-type est ?X = ?Var(X) 1 2 1 Lois de v a finies déj`a connues Loi de Bernoulli de param`etre p notée b(
[PDF] Traitement statistique des processus alpha-stable
Exercice 6 : Intervalle de confiance de l'espérance m d'une loi normale d'écart-type inconnu Un fabricant de piles électriques affirme que la durée de vie
[PDF] Cours de Statistiques inférentielles
Son écart-type ?X est la racine positive de la variance 1 2 Lois usuelles 1 2 1 Loi normale ou loi de Gauss Une variable aléatoire réelle X suit une loi
[PDF] B2 - Intervalle de confiance dune moyenne avec écart-type inconnu
`A partir de ce résultat on construit un intervalle de confiance aléatoire au seuil ? comme précédemment : On détermine t? `a partir de la loi normale centrée
[PDF] Rappels sur les propriétés de la loi Normale - opsuniv-batna2dz
#Si la variance est inconnue un grand échantillon permet de déduire une valeur fiable pour la loi normale de même espérance et de même écart#type
Comment trouver l écart-type d'une loi normale ?
On commence par standardiser la loi normale. On rappelle que si �� ? �� ? �� ; �� ? ? , alors �� = �� ? �� �� est la variable normale centrée réduite �� ? �� ? 0 ; 1 ? ? . On a �� ? �� ( 6 3 ; 1 4 4 ) . On rappelle que l'écart-type est égal à la racine carrée positive de la variance, donc �� = ? 1 4 4 = 1 2 .Comment trouver MU et Sigma ?
Espérance et écart-type
Si une v.a. suit une loi normale N ( ? ; ? 2 ) , alors l'espérance de vaut E ( X ) = ? et sa variance vaut ² V ( x ) = ? ² et son écart-type ² ? ( X ) = ? ² .Comment savoir si on peut utiliser la loi normale ?
Elle peut être utilisée dans un grand nombre de situations, c'est ce qui la rend si utile. Lorsqu'un phénomène est influencé par de nombreux facteurs dont aucun n'est prépondérant les résultats des mesures de ce phénomène obéissent à une loi normale.- Pour une loi normale centrée réduite, l'espérance est égale à 0 et l'écart-type est égal à 1.
![[PDF] La loi normale](https://pdfprof.com/Listes/17/23167-17chapitre-loinormale.pdf.pdf.jpg "[PDF] La loi normale")
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Chapitre 3
La loi normale
Universite de Paris Ouest2012{2013
Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Sommaire
1Le mo deled ela lo in ormale
Un exemple
Proprietes de la loi normale
2C alculsp ratiques
Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Un exemple pour commencer : Test de memoire
Etude de lacapacite de memoired'adultes atteints d'une maladie neurologique. Chaque individu lit 30 mots et doit ensuite en reciter le plus possible. IPopulationP=fpatients atteints de la maladieg
IVariablequantitativeX= "nombre de mots retenus"
I2 parametres;.Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
La courbe "en cloche"
En sciences humaines on observe souvent des distributions I plut^otsymetriquesautour de I avec une forme declochePourpouvoir faire des calculs, on va parfois supposer queXsuit une distribution "modele", appeleeLoi normale.Chapitre 32012{2013Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
La courbe "en cloche"
En sciences humaines on observe souvent des distributions I plut^otsymetriquesautour de I avec une forme declochePourpouvoir faire des calculs, on va parfois supposer queXsuit une distribution "modele", appeleeLoi normale.Chapitre 32012{2013Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Premieres proprietes de la loi normale
SiXsuit cette distribution "modele", on lui associe une courbe : I courbesymetriquepar rapport a I forme declocheI l'aire grisee represente la proportion cumuleeChapitre 32012{2013Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Premieres proprietes de la loi normale
I courbesymetriquepar rapport a I forme declocheI l'aire grisee represente la proportion cumuleeChapitre 32012{2013Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Parametres de la loi normale
Pour chaque;, il existe uneloi normale de moyenneet d'ecart-type.On la noteN(;).Cas particulier
= 0 et= 1 : loi normale centree/reduite.Lorsque l'on suppose qu'une variableXsuit le modele de la loi normale
N(;), on ecrit
X N(;):Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Parametres de la loi normale
Pour chaque;, il existe uneloi normale de moyenneet d'ecart-type.On la noteN(;).Cas particulier
= 0 et= 1 : loi normale centree/reduite.Lorsque l'on suppose qu'une variableXsuit le modele de la loi normale
N(;), on ecrit
X N(;):Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Parametres de la loi normale
Exemples de lois normales avecmoyennes dierentes, m^eme ecart-type :3-1N(3,1)N(-1,1)Exemples de lois normales avec m^eme moyenne,ecart-types dierents:3N(3,1)N(3,2)Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Parametres de la loi normale
Exemples de lois normales avecmoyennes dierentes, m^eme ecart-type :3-1N(3,1)N(-1,1)Exemples de lois normales avec m^eme moyenne,ecart-types dierents:3N(3,1)N(3,2)Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Pour les plus matheux : l'equation de la courbe
Pour la tracer a la calculatrice/ordinateur,
y=1 p2exp (x)222Cette formule n'est pas utile pour ce cours!
Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Exemple : QI
Etude sur leQIde 515 enfants du m^eme ^age,= 100;1,= 5;7.En rose, courbe de la loi normaleN(= 100;1;= 5;7).Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Exemple : QI
Etude sur leQIde 515 enfants du m^eme ^age,= 100;1,= 5;7.En rose, courbe de la loi normaleN(= 100;1;= 5;7).Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Loi normaleN(;) : a retenir
I distribution "modele"pour desvariables quantitatives continues I moyenne, ecart-type I allure de la courbe : I aires = proportions cumuleesChapitre 32012{2013Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Sommaire
1Le mo deled ela lo in ormale
2C alculsp ratiques
Loi normale centree/reduite
Loi normale quelconque
Quantiles
Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Loi normale centree/reduiteN(0;1)Exemple
On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportiond'individus est-ce queX1;56?On chercheP(X1;56) (rappel : on ecrit aussiF(1;56)).0airegris ee=F(1,56)1,56Chapitre 32012{2013
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Loi normale centree/reduiteN(0;1)Exemple
On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportiond'individus est-ce queX1;56?On chercheP(X1;56) (rappel : on ecrit aussiF(1;56)).0airegris ee=F(1,56)1,56Chapitre 32012{2013
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Loi normale centree/reduiteN(0;1)Exemple
On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportion d'individus est-ce queX1;56?On chercheP(X1;56) (rappel : on ecrit aussiF(1;56)).On cherche
1,5 6 d ansla table::::0;06:::. ..1;5:::0:9406::: ...DoncP(X1;56) = 0;9406. Pour 94;06 % des individus, la variableXest inferieure a 1;56.Chapitre 32012{2013Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Loi normale centree/reduiteN(0;1)Exemple
On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportion d'individus est-ce queX1;56?On chercheP(X1;56) (rappel : on ecrit aussiF(1;56)).On cherche
1,5 6 d ansla table::::0;06:::. ..1;5:::0:9406::: ...DoncP(X1;56) = 0;9406. Pour 94;06 % des individus, la variableXest inferieure a 1;56.Chapitre 32012{2013Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Loi normale centree/reduiteN(0;1)Exemple
On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportion d'individus est-ce queX1;49?On chercheP(X1;49).On ecrit d'abord P(X1;49) = 1P(X1;49) = 1F(1;49)On cherche1,4 9d ansla table.::: :::0;09. ..1;4::: :::0:9319 ...DoncP(X1;49) = 0;9319. SoitP(X1;49) = 10:9319 = 0:0681.Chapitre 32012{2013Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Loi normale centree/reduiteN(0;1)Exemple
On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportion d'individus est-ce queX1;49?On chercheP(X1;49).On ecrit d'abord P(X1;49) = 1P(X1;49) = 1F(1;49)On cherche1,4 9d ansla table.::: :::0;09. ..1;4::: :::0:9319 ...DoncP(X1;49) = 0;9319. SoitP(X1;49) = 10:9319 = 0:0681.Chapitre 32012{2013Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Loi normale centree/reduiteN(0;1)Exemple
On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportion d'individus est-ce queX1;49?On chercheP(X1;49).On ecrit d'abord P(X1;49) = 1P(X1;49) = 1F(1;49)On cherche1,4 9d ansla table.::: :::0;09. ..1;4::: :::0:9319 ...DoncP(X1;49) = 0;9319. SoitP(X1;49) = 10:9319 = 0:0681.Chapitre 32012{2013Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Loi normale centree/reduiteN(0;1) : valeurs negativesExemple On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportionP(X1;1) = 1P(X1;1) = 10;8643:
Finalement,P(X 1;1) = 0;1357:Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Loi normale centree/reduiteN(0;1) : valeurs negativesExemple On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportionP(X1;1) = 1P(X1;1) = 10;8643:
Finalement,P(X 1;1) = 0;1357:Chapitre 32012{2013
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Loi normale centree/reduiteN(0;1) : valeurs negativesExemple On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportionP(X1;1) = 1P(X1;1) = 10;8643:
Finalement,P(X 1;1) = 0;1357:Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Loi normale centree/reduiteN(0;1) : valeurs negativesExemple On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportionP(X1;1) = 1P(X1;1) = 10;8643:
Finalement,P(X 1;1) = 0;1357:Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Loi normale centree/reduiteN(0;1) : valeurs negativesA retenir :
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Calculs avec laN(0;1), tous les cas
Pour n'importe quela>0,
IP(Xa)0a
)tableIIP(Xa)0a = 10a )cas IIIIP(X a)0-a=0a )cas IIIVP(X a)0-a=0a )cas IChapitre 32012{2013Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Loi normale quelconqueN(;)
I Pour faire des calculs avec uneN(;), on se ramene a la loiN(0;1).Theoreme
SiX N(;) alorsX
N(0;1)=Z:On dit que l'oncentre et reduitX.On utilise la lettreZpour designer une loi normale centree/reduite.Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Loi normale quelconqueN(;)
I Pour faire des calculs avec uneN(;), on se ramene a la loiN(0;1).Theoreme
SiX N(;) alorsX
N(0;1)=Z:On dit que l'oncentre et reduitX.On utilise la lettreZpour designer une loi normale centree/reduite.Chapitre 32012{2013
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Loi normale quelconqueN(;)
I Pour faire des calculs avec uneN(;), on se ramene a la loiN(0;1).Theoreme
SiX N(;) alorsX
N(0;1)=Z:On dit que l'oncentre et reduitX.On utilise la lettreZpour designer une loi normale centree/reduite.Chapitre 32012{2013
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Un exemple avec uneN(11;2)Exemple
On suppose qu'une certaine variableX N(11;2). Pour quelle proportion d'individus est-ce queX14?On chercheP(X14).IOncentre et on reduitX:X112
N(0;1).IP(X14) =PX112
14112=P(Z1;5)I On cherche 1;5 dans la table.On trouve nalementP(X14) = 0;9332.Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Un exemple avec uneN(11;2)Exemple
On suppose qu'une certaine variableX N(11;2). Pour quelle proportion d'individus est-ce queX14?On chercheP(X14).IOncentre et on reduitX:X112
N(0;1).IP(X14) =PX112
14112=P(Z1;5)I On cherche 1;5 dans la table.On trouve nalementP(X14) = 0;9332.Chapitre 32012{2013
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Un exemple avec uneN(11;2)Exemple
On suppose qu'une certaine variableX N(11;2). Pour quelle proportion d'individus est-ce queX14?On chercheP(X14).IOncentre et on reduitX:X112
N(0;1).IP(X14) =PX112
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