Ch. 5 : Echantillonnage estimation
Calculer p(X = 24) en l'approximant par p(23.5 ? Y ? 24.5) o`u Y suit une loi normale de mêmes espérance et écart-type que X. 3. Page 4. 3 Estimation. On
Traitement statistique des processus alpha-stable
Définition 3 Un estimateur du paramètre inconnu ? est une statistique ?? dont Exercice 21 : Test de l'espérance d'une loi normale d'écart-type inconnu.
La loi normale
Lorsque l'on suppose qu'une variable X suit le mod`ele de la loi normale Exemples de lois normales avec moyennes différentes même écart-type :.
B2 - Intervalle de confiance dune moyenne avec écart-type inconnu
`A partir de ce résultat on construit un intervalle de confiance aléatoire au seuil ? comme précédemment : On détermine t? `a partir de la loi normale centrée
Comparaison des moyennes de deux populations normales décarts
P1 de moyenne m1 et d'écart-type 0'1 inconnus ; m2se fera donc aisément en utilisant la table de Ici loi normale pour la variable t --.
ESTIMATION DE PARAMÈTRES
Dans le cas d'un caractère quantitatif la moyenne m et l'écart-type ?pop d'une on considère que la variable aléatoire X suit une loi normale :.
Cours de Statistiques inférentielles
Son écart-type ?X est la racine positive de la variance. 1.2 Lois usuelles. 1.2.1 Loi normale ou loi de Gauss. Une variable aléatoire réelle X suit
Estimations et intervalles de confiance
valeur inconnue du paramètre. Dans la suite nous nous intéresserons donc à deux types d'estimations : – soit une estimation donnée par valeur scalaire issue
LOI NORMALE
- L'écart-type noté ?
CORRIGE DES EXERCICES : Estimation ponctuelle et estimation
X suit approximativement une loi normale temps ? inconnu est estimé par l'écart-type observé sans biais s*=23 mn. L'intervalle de confiance au niveau ...
[PDF] La loi normale
Pour chaque µ ? il existe une loi normale de moyenne µ et d'écart-type ? Exemples de lois normales avec moyennes différentes même écart-type :
[PDF] loi normale - Lycée Les Iscles
La variable aléatoire X suit une loi normale de moyenne m et d'écart type ? ( on note : X ? N(m;?) ) signifie que : L'ensemble des valeurs possibles de X
[PDF] LOI NORMALE - maths et tiques
Pour une loi normale centrée réduite l'espérance est égale à 0 et l'écart-type est égal à 1 III Probabilité sur une loi normale
[PDF] 7 Loi normale ou loi de Laplace-Gauss - EM consulte
22 jui 2010 · Une variable suivant la loi normale centrée réduite est notée Z Si X est de moyenne ? et d'écart type ? suit une loi normale centrée réduite
[PDF] Loi normale - Probabilité
suppose que la variable aléatoire X suit la loi normale d'espérance 15 et d'écart-type ? inconnu Une valeur approchée au millième de ? pour que la
[PDF] Statistiques
Son écart-type est ?X = ?Var(X) 1 2 1 Lois de v a finies déj`a connues Loi de Bernoulli de param`etre p notée b(
[PDF] Traitement statistique des processus alpha-stable
Exercice 6 : Intervalle de confiance de l'espérance m d'une loi normale d'écart-type inconnu Un fabricant de piles électriques affirme que la durée de vie
[PDF] Cours de Statistiques inférentielles
Son écart-type ?X est la racine positive de la variance 1 2 Lois usuelles 1 2 1 Loi normale ou loi de Gauss Une variable aléatoire réelle X suit une loi
[PDF] B2 - Intervalle de confiance dune moyenne avec écart-type inconnu
`A partir de ce résultat on construit un intervalle de confiance aléatoire au seuil ? comme précédemment : On détermine t? `a partir de la loi normale centrée
[PDF] Rappels sur les propriétés de la loi Normale - opsuniv-batna2dz
#Si la variance est inconnue un grand échantillon permet de déduire une valeur fiable pour la loi normale de même espérance et de même écart#type
Comment trouver l écart-type d'une loi normale ?
On commence par standardiser la loi normale. On rappelle que si �� ? �� ? �� ; �� ? ? , alors �� = �� ? �� �� est la variable normale centrée réduite �� ? �� ? 0 ; 1 ? ? . On a �� ? �� ( 6 3 ; 1 4 4 ) . On rappelle que l'écart-type est égal à la racine carrée positive de la variance, donc �� = ? 1 4 4 = 1 2 .Comment trouver MU et Sigma ?
Espérance et écart-type
Si une v.a. suit une loi normale N ( ? ; ? 2 ) , alors l'espérance de vaut E ( X ) = ? et sa variance vaut ² V ( x ) = ? ² et son écart-type ² ? ( X ) = ? ² .Comment savoir si on peut utiliser la loi normale ?
Elle peut être utilisée dans un grand nombre de situations, c'est ce qui la rend si utile. Lorsqu'un phénomène est influencé par de nombreux facteurs dont aucun n'est prépondérant les résultats des mesures de ce phénomène obéissent à une loi normale.- Pour une loi normale centrée réduite, l'espérance est égale à 0 et l'écart-type est égal à 1.
REVUE DE STATISTIQUE APPLIQUÉEDARMOIS
Revue de statistique appliquée, tome 2, no3 (1954), p. 37-41 © Société française de statistique, 1954, tous droits réservés. L"accès aux archives de la revue " Revue de statistique appliquée » (http://www. sfds.asso.fr/publicat/rsa.htm) implique l"accord avec les conditions générales d"uti- lisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou im- pression systématique est constitutive d"une infraction pénale. Toute copie ou im-pression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.Article numérisé dans le cadre du programme
Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ 37COMPARAISON DES MOYENNES
DE DEUX POPULATIONS NORMALES
D'ÉCARTS-TYPES INCONNUS ET DIFFÉRENTS
TEST DE DARMOIS
1.BUT DU TEST.
Comparaison
de 2 populations normales P1 de moyenne m1 et d'écart-type 0'1 inconnus ; P2 de moyenne m2 et d'écart-type 0"2 inconnus.On désire tester
(suréchantillons)
l'hypothèse d'égalité des moyennes : (H) : m1 - m 2..Il. - PRINCIPE DU TEST.
Sous des réserves très larges - en ce qui concerne la distribution des populations - on sait que si : x est la moyenne d'un échantillon de n1 observations provenant d'une population Pl, Y est la moyenne d'un échantillon de n2 observations provenant d'une population P2' la variable aléatoire d -X 2013y
est normalement distribuée autour de m, - m2 avec une variance : Le test d'hypothèse m 1 m2se fera donc aisément en utilisant la table de Ici loi normale pour la variable t ad Si les variances cr, et 0: sont inconnues mais si leséchantillons sont
importants, il suffira de remplacer lui eto2 par leurs estimations faites à partir des échantillons. Si par contre - ce qui est fréquemment le cas - les échantillons sont peu importants, l'utili- sation de la loi normale n'est plus acceptable.Dans ce
cas, si l'on a des raisons valables d'admettre que les deux populations ont la même variance (y 2 : une estimation correcte de cette variance commune pourraêtre
faite à partir de l'ensemble des deuxéchantillons :
La variance
de la différence d sera alors estimée par : 38H*rxn* v
La variable aléatoire t
d est alors distribuée suivant la loi de Student-Fisher. SdL'étude du cas
général (variances inconnues et différentes) a donné lieu à de nombreux tra- vaux (Test de Behrens ; test deWelch).
Une solution
particulièrement simple a été étudiée par M. leProfesseur G. Darmois.
Le test est basé sur la construction de
régions de confiance pour le couple de paramètres (m,, m2).On considère 2 échantillons extraits
indépendamment chacun d'une des populations :Échantillon 1 extrait de
P, :Effectif :
n, observations : xi moyenne : 3Z20132013L ; variance :
s2013 n, n,Échuntillon extrait de P2 :
Effectif :
n observations : yi moyenne . n2 variance 2 n,°2 nz
1)Construction de domaines de confiance
pour (m,, mj : Les caractéristiques de Student : suivent les lois de Student avec respectivement : v, = n,-1 1 et v 2 --:: n2- 1 degrés de liberté.Dans le
plan (t" tz), la densité de probabilité est :Cette densité étant
indépendante des paramètres m,, mt'0'1 ,d~ et t1 et t 2 dépendant des par mètres m, et mz seulement, à tout domaine A (oc) du plan (t,, tt) de probabilité 1 et : -. correspond dans le plan paramètre (m,, m2) un domaine de confiance D (ex) de coefficient 1 2013a.Ce domaine aléatoire
puisque dépendant des valeurs observées de X, s, s2, a une probabilité1 -oc de contenir le
point paramètre M (m,, m2), m, et m2,étant les valeurs effectives des
moyennes de P, et P1 . 2)Choix du domaine l1
(a)La forme de à
(a) est arbitraire. Pour des raisons de simplicité et d'efficacité,M. Dar-
mois a été amené à considérer des domaines circulaires, centrés à l'origine. A (a) est le domaine intérieur au cercle t~ + t2R 2 ( (X ),
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