Ch. 5 : Echantillonnage estimation
Calculer p(X = 24) en l'approximant par p(23.5 ? Y ? 24.5) o`u Y suit une loi normale de mêmes espérance et écart-type que X. 3. Page 4. 3 Estimation. On
Traitement statistique des processus alpha-stable
Définition 3 Un estimateur du paramètre inconnu ? est une statistique ?? dont Exercice 21 : Test de l'espérance d'une loi normale d'écart-type inconnu.
La loi normale
Lorsque l'on suppose qu'une variable X suit le mod`ele de la loi normale Exemples de lois normales avec moyennes différentes même écart-type :.
B2 - Intervalle de confiance dune moyenne avec écart-type inconnu
`A partir de ce résultat on construit un intervalle de confiance aléatoire au seuil ? comme précédemment : On détermine t? `a partir de la loi normale centrée
Comparaison des moyennes de deux populations normales décarts
P1 de moyenne m1 et d'écart-type 0'1 inconnus ; m2se fera donc aisément en utilisant la table de Ici loi normale pour la variable t --.
ESTIMATION DE PARAMÈTRES
Dans le cas d'un caractère quantitatif la moyenne m et l'écart-type ?pop d'une on considère que la variable aléatoire X suit une loi normale :.
Cours de Statistiques inférentielles
Son écart-type ?X est la racine positive de la variance. 1.2 Lois usuelles. 1.2.1 Loi normale ou loi de Gauss. Une variable aléatoire réelle X suit
Estimations et intervalles de confiance
valeur inconnue du paramètre. Dans la suite nous nous intéresserons donc à deux types d'estimations : – soit une estimation donnée par valeur scalaire issue
LOI NORMALE
- L'écart-type noté ?
CORRIGE DES EXERCICES : Estimation ponctuelle et estimation
X suit approximativement une loi normale temps ? inconnu est estimé par l'écart-type observé sans biais s*=23 mn. L'intervalle de confiance au niveau ...
[PDF] La loi normale
Pour chaque µ ? il existe une loi normale de moyenne µ et d'écart-type ? Exemples de lois normales avec moyennes différentes même écart-type :
[PDF] loi normale - Lycée Les Iscles
La variable aléatoire X suit une loi normale de moyenne m et d'écart type ? ( on note : X ? N(m;?) ) signifie que : L'ensemble des valeurs possibles de X
[PDF] LOI NORMALE - maths et tiques
Pour une loi normale centrée réduite l'espérance est égale à 0 et l'écart-type est égal à 1 III Probabilité sur une loi normale
[PDF] 7 Loi normale ou loi de Laplace-Gauss - EM consulte
22 jui 2010 · Une variable suivant la loi normale centrée réduite est notée Z Si X est de moyenne ? et d'écart type ? suit une loi normale centrée réduite
[PDF] Loi normale - Probabilité
suppose que la variable aléatoire X suit la loi normale d'espérance 15 et d'écart-type ? inconnu Une valeur approchée au millième de ? pour que la
[PDF] Statistiques
Son écart-type est ?X = ?Var(X) 1 2 1 Lois de v a finies déj`a connues Loi de Bernoulli de param`etre p notée b(
[PDF] Traitement statistique des processus alpha-stable
Exercice 6 : Intervalle de confiance de l'espérance m d'une loi normale d'écart-type inconnu Un fabricant de piles électriques affirme que la durée de vie
[PDF] Cours de Statistiques inférentielles
Son écart-type ?X est la racine positive de la variance 1 2 Lois usuelles 1 2 1 Loi normale ou loi de Gauss Une variable aléatoire réelle X suit une loi
[PDF] B2 - Intervalle de confiance dune moyenne avec écart-type inconnu
`A partir de ce résultat on construit un intervalle de confiance aléatoire au seuil ? comme précédemment : On détermine t? `a partir de la loi normale centrée
[PDF] Rappels sur les propriétés de la loi Normale - opsuniv-batna2dz
#Si la variance est inconnue un grand échantillon permet de déduire une valeur fiable pour la loi normale de même espérance et de même écart#type
Comment trouver l écart-type d'une loi normale ?
On commence par standardiser la loi normale. On rappelle que si ? ? ; ? ? , alors = ? est la variable normale centrée réduite ? ? 0 ; 1 ? ? . On a ? ( 6 3 ; 1 4 4 ) . On rappelle que l'écart-type est égal à la racine carrée positive de la variance, donc = ? 1 4 4 = 1 2 .Comment trouver MU et Sigma ?
Espérance et écart-type
Si une v.a. suit une loi normale N ( ? ; ? 2 ) , alors l'espérance de vaut E ( X ) = ? et sa variance vaut ² V ( x ) = ? ² et son écart-type ² ? ( X ) = ? ² .Comment savoir si on peut utiliser la loi normale ?
Elle peut être utilisée dans un grand nombre de situations, c'est ce qui la rend si utile. Lorsqu'un phénomène est influencé par de nombreux facteurs dont aucun n'est prépondérant les résultats des mesures de ce phénomène obéissent à une loi normale.- Pour une loi normale centrée réduite, l'espérance est égale à 0 et l'écart-type est égal à 1.
![[PDF] B2 - Intervalle de confiance dune moyenne avec écart-type inconnu [PDF] B2 - Intervalle de confiance dune moyenne avec écart-type inconnu](https://pdfprof.com/Listes/17/23167-17StatS3-2012.pdf.pdf.jpg)
Gaussienne
Dans le cas pr´ec´edent, on a construit l'IdC `a partir de la var X n´m n . Mais, maintenant´etantinconnu, il convient de le remplacer par son estimateur sans biais qui sera la racine carr´ee de la variance
d'´echantillon : S 2n"n i"1pXi´ X nq2 n´1:C'est-`a-dire :
S n"g ffe n i"1pXi´ X nq2 n´1:On consid`ere alors la varZn"
X n´m S n{? n . La varXsuivant une loiGpm;q,Znsuit une loi de Student1 `an´1 degr´es de libert´es (ddl en abr´eg´e).Rappelons la densit´e de cette loi :@tPR,
fZnptq "1
nΓpn`1
2 qΓpn
2 q1 1`t2 n n1 2 `8 0 xm´1e´xdx.L'expression, assez r´ebarbative, de la densit´e de cette loi ne doit pas vous inqui´eter car elle figure dans
tous les logiciels qui permettent d'effectuer des calculs statistiques (sur les tableurs notamment).Donnons un exemple d'utilisation de cette loi pour d´eterminer un intervalle de confiance. Supposons
queX"Gpm;qet qu'un ´echantillon (iid) de cette loi donne : D´eterminer un intervalle de confiance pourm, au seuil 0.99.On commence par d´eterminer, grˆace `a un logiciel adapt´e (tableur par exemple) fournissant les valeurs
inverses de la loi de Student `a 20´1"19 ddl, la valeurt0:99telle : X20´m
S 20{? 20 Puis, on d´etermine l'intervalle de confiance al´eatoire demau seuil 0.99 : P mP r X20´t0:99
20 S20; X20`t0:99
20S20sȷ
"0:99:1. Student est le pseudonyme d'un statisticien anglais, de son vrai nom William GOSSET (1876-1937).
1 Enfin, `a partir de l'´echantillon, on calcule l'´ecart-type d'´echantillons20etx20, pour trouver une r´ealisation
de cet intervalle al´etoire qui sera l'intervalle de confiance particulier demau seuil 0.99, associ´e `a
l'´echantillon de taille 20 donn´e par l'´enonc´e.On trouver5:08;5:39s.
B3 - Intervalle de confiance d'une moyenne pour une population quelconque avec ´ecart-type connuLa diff´erence essentielle avec les deux cas pr´ec´edents est que la construction de l'intervalle va s'appuyer
sur uneloi limiteet non plus sur une loi exacte. Pour que l'intervalle de confiance soit assez pr´ecis, il
faudra donc que la taille de l'´echantillon soit !grande". En pratique,ně50 garantit une bonne pr´ecision.SiXsuit une loi (quelconque) d'esp´erance math´ematiquem, alors le th´eor`eme central-limite affirme
que : Z n" X n´m n converge en loi versGp0;1q;lorsquentend vers` 8: Rappelons que la convergence en loi deZnvers la loi normale centr´ee r´eduite signifie que : 2ż x ´8 e´t2 2 dt:A partir de ce r´esultat on construit un intervalle de confiance al´eatoire au seuilcomme pr´ec´edemment :
On d´eterminet`a partir de la loi normale centr´ee r´eduite et l'intervalle est de la forme :
r X n´t n X n`t n s:Pourngrand, la probabilit´e quemappartienne `a cet intervalle (al´eatoire) est approximativement ´egale
`a.`A partir d'un ´echantillon de taillen, on d´etermine un intervalle de confiance particulier en calculant
x n `a partir de l'´echantillon, l'idC estr x n´t n x n`t n s.B4 - Intervalle de confiance d'une moyenne pour une population quelconque avec ´ecart-type inconnu
SiXest une var de moyennemet d'´ecart-type, alors une g´en´eralisation du th´eor`eme central-
limite, justifie que la varZn" X n´m S n{? n , tend encore en loi versGp0;1q(avec les notations introduitespr´ec´edemment).`A partir de ce r´esultat, la construction de l'intervalle de confiance al´eatoire au seuildemse construit
exactement comme dans le cas B3. Pour un ´echantillon de taillendonn´e, on obtient un IdC particulier
en rempla¸cant X npar x netSnpar l'´ecart-type d'´echantillonsn.Un cas particulier important
Il s'agit du cas o`u la var parente est un var de Bernouilli. C'est ce qui se produit lorsqu'on s'int´eresse
`a la pr´esence (ou l'absence) d'un caract`ere dans une population. Par exemple, avant une ´election, on
observe sur la population d'un certain ensemble g´eographique, le caract`ere !ˆetre favorable au candidat UntelUne var de Bernouilli,X, est caract´eris´ee par un param`etre, not´e icipP r0;1setEpXq "p,VpXq "
pp1´pq. Comme vous le comprenez, le but du travail statistique est l'estimation dep(estimation pontuelle
2ramen´e au cas B4 : var non n´ecesairement gaussienne, mais - grˆace au th´eor`eme central-limite, loi de la
moyenne de l'´echantillon suivant une loi limite gaussienne. De plus, nim"EpXq "p, ni"pp1´pq ne sont connus.Examinons un exemple.
On suppose que sur un ´echantillon de taille 100, le nombre de personnes favorables `a Untel est ´egal `a
62 (et le nombre de personnes non favorables alors ´egal `a 100-62=38).
Estimation ponctuelle dep: on estime par l'estimateur habituel sans biais (et convergent) d'une moyenne X100. D'o`u l'estimation ponctuelle62
100"0:62. Estimation par IdC dep: la valeur den´etant suffisament grande, on s'appuie sur la loi limite de X n´p S n{? n qui est la loiGp0;1q. D'o`u, pour un seuil, comme on l'a d´ej`a vu l'IdC al´eatoire r X
100´t
10 S100; X100´t
10S100s:
et l'IdC particulier associ´e `a l'´echantillon observ´e : r x100´t
10 s100; x100´t
10 s100s:Dans ce cas particulier, les expressions de
x net desns'obtiennent en codant les valeurs des var deBernouilli par 1 (succ`es=
!ˆetre favorable `a Untel") et 0 (´echec =!ne pas ˆetre favorable `a untel"). Ainsi, x nest la fr´equence observ´ee des succ`es, cad ici, x100"0:62. Le calcul desndonne :s2n"ř
n i"1pxi´ x nq2 n´1, o`uxivaut 1 un nombre de fois ´egal `an x net 0 un nombre de fois ´egal `an´n x n"np1´ x nq. On obtient : s2n"p1´
x nq2n x n` p0´ x nq2np1´ x nq n´1"p1´ x nq2n x n` p0´ x nq2np1´ x nq n ˆn n´1 " p1´ x nq x nˆn n´1:D'o`u,sn"a
p1´ x nq x nc n n´1. L'expression de l'IdC particulier au seuilest alors x n´t n´1a p1´ x nq x n; x n`t n´1a p1´ x nq x nȷDans le cas particulier de l'exemple, si"0:95 :
0:62´1:96
990:2356;0:62`1:96
990:2356ȷ
" r0:573;0:667s: Les chances de Untel d'ˆetre ´elu sont donc s´erieuses.La situation se complique si la fr´equence observ´ee des opinions favorables est voisine de 0.5.
Imaginons que
x n"0:51. L'amplitude de l'IdC associ´e `a un ´echantillon (toujours au seuil 0.95) est alors´egale `a 2ˆ1:96ˆ?
0:51ˆ0:49
n´1, soit encore1:96 n´1. 3 Si l'on veut que cette amplitude reste inf´erieure `a 0.01 - ce qui fournira un IdC particulier !`a droite"de38417 personnes - ce qui est un ´enorme ´echantillon! Avec les r´eserves d'usage : c'est seulement pour 95%
des ´echantillons, en moyenne, que l'IdC contiendra la vraie valeur dep.Pour terminer ce paragraphe, il est int´eressant d'examiner l'introduction `a l'estimation d'une moyenne
qui est propos´ee dans les programmes de Seconde.Le d´etail des PO est le suivant.
CONTENUS
CAPACIT
´ES ATTENDUES
COMMENTAIRES
Echantillonage
Concevoir, mettre en oeuvre et
exploiter des simulationsde si- tuations concr`etes `a l'aide d'un tableur ou d'ue calculatrice.Un ´echantillon de taillenest constitu´e
denr´ep´etitions ind´ependantes de la mˆeme exp´erience.Notion d'´echantillon.
Intervalle de fluctuation
d'une fr´equence au seuil 0,95.A l'occasion de la mise en place d'une
simulation on peut :R´ealisation d'une simula-
tion.Exploiter et faire une ana-
lyse critique d'un r´esultat d'´echantillonage. utiliser les fonctions logiques d'un ta- bleur ou d'une calculatrice mettre en place des instructions conditionnelles dans un algorithme.L'objectif est d'amener les ´el`eves `a
un questionnement lors des activit´es suivantes. L'estimation d'une propor- tion inconnue `a partir d'un ´echantillon, la prise de d´ecision `a patir d'un´echantillon.
Le commentaire suivant est ajout´e.
L'intervalle de fluctuation au seuil 0,95, relatif aux ´echantillons de taillen, est l'intervallecentr´e autour dep, o`u se situe - avec une probabilit´e ´egale `a 0,95%, la fr´equence observ´ee dans
l'´echantillon de taillen. Cet intervalle peut ˆetre obtenu de fa¸con approch´ee par simulation.
Le professeur peut indiquer aux ´el`eves le r´esultat suivant, utilisable dans la pratique pour des
´echantillons de tailleně25 et des proportionspcomprises entre 0,2 et 0,8 : sifd´esigne la fr´equence du caract`ere dans l'´echantillon,fappartient `a l'intervalle" p´1 n ;p`1 navec une probabilit´e d'au moins 0,95. Le professeur peut faire percevoir exp´erimentalement la
validit´e de cette propri´et´e, maiselle n'est pas exigible.".Vous remarquerez que c'est l'expression
!intervalle de fluctuation"qui est retenue. Elle correspond aucas o`upest connue et o`u on cherche `a confirmer (ou `a infirmer) la valeur deppar celle d'une fr´equence
observ´ee et d'un intervalle construit autour de cette fr´equence.Un intervalle de confiance est un intervalle qui a une probabilit´e donn´ee de contenir la valeur exacte de
pqui n'est pas supposee connue.La nuance entre les deux notions est faite dans certains manuels, mais elle n'est pas mentionn´ee dans le
4 PO.Interrogez-vous sur la l´egitimit´e de l'approximation (de l'intervalle) qui est propos´ee par le PO dans
l'encadr´e ci-dessus. 5Exercices d'entrainement
Ce sont des exercices types des classes de STS - section TPIL (TechniquesPhysiques pour l'Industrie et leLaboratoire) du groupement A (`a l'exception du premier exercice). Exercice 1 : On consid`ere un stock tr`es important de boulons. On noteYla var qui, `a chaque boulon tir´e au hasard dans le stock, associe le diam`etre, en mm, de son pied. La varYsuit la loi normale de moyenne inconnuemet d'´ecart-type"0;1. On d´esigneYla va qui, `a
chaque ´echantillon al´eatoire de 100 boulons pr´elev´e dans le stock, associe la moyenne des diam`etres des
pieds de ces 100 boulons (le stock est assez important pour qu'on puisse assimiler ces pr´el`evements `a des
tirages sans remise). 1)Justifier que
Ysuit une loiGpm;0;01q.
2) 3) 4)Exercice 2 : On se propose d'´etudier, dans une population de grand effectif, la taille d'adolescents de
13 `a 14 ans. On suppose que la vaXdonnant la taille d'un adolescent est une va gaussienne de moyenne
met d'´ecart type.Un´echantillon de 36 adolescents, choisis au hasard dans la population ´etudi´ee, donne les r´esultats suivants.
Taille
[130;135[ [135;140[ [140 :145[ [145;150[ [150;155[ [155;160[ [160;165[Effectif
1 4 7 10 8 4 2 1) a)Calculer la moyenne, not´ee
xet l'´ecart-typeede cet ´echantillon. b) En d´eduire une estimation ponctuelle demet de. c) Donner un intervalle de confiance demau seuil de 95%. 2)Afin d'am´eliorer la connaisssance dem, on d´ecide d'augmenter la taille de l'´echantillon.`A partir
de quel entiern0obtiendra-t-on un intervalle de confiance d'amplitude inf´erieure `a 1 cm avec un seuil de 98%? 6Solutions :
Exercice 1 :
1)Y´etant une moyenne d'un ´echantillon de var ind´ependantes d'une loi normale, suit aussi une loi
(exacte) normale, de mˆeme moyenne que la loi parente et d'´ecart-type ´egal `a{? nsiest l'´ecart- type de la loi parente etnla taille de l'´echantillon.quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34[PDF] formule de calcul excel pourcentage d'évolution
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