Série dWexercices n1 ! Logique ! Ensembles! Applications PDF

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(# Calculer "f $ g#et "g $ f# que remarque t$on ?. 2. Page 3. Corrigé des exercices de la série 1. Exercice 2:.

Université M"Hamed Bougara-Boumerdes

Faculté des Sciences

Département de MathématiquesSciences&Technologie

Année universitaire: 2020/2021

Matière:Mathématiques1

Série d"exercices n

1 - Logique - Ensembles- ApplicationsLOGIQUE et RAISONNEMENT

Exercice 1: SoientP;Q et Rtrois propositions. On noteVla proposition "toujours vraie" etFla proposition "toujours fausse". I)En utilisant la table de vérité, montrer que :

1)P^Q,P_Q; 2) (P)Q),Q)P

; 3)P_(Q^R),(P_Q)^(P_R)(en cours) II)Evaluer et simpli...er les propositions suivantes:

1)P_V; 2)P_F; 3)P_V

4)P)F; 5)P)V; 6)F)P

Exercice 2:

I)Compléter par les symboles logiques(8;9; <;; >;;);(ou,)les assertions suivantes pour qu"elles soient vraies:

1):::x2R; :::y2R;x:::y; 3)x2R; x2= 4x= 2

2):::x2R; :::y2R; (xy)2:::2xy; 4)x2R; x2= 4x= 2oux=2:

II)Répondre par vrai ou faux, puis donner la négation de chacune des propositions suivantes:

1)8x2R;8y2R;xy6= 0 ; 2)9x2R;8y2R;xy= 1

3)8x2R;9y2R;xy= 1 ; 4)8x2R;8y2R;x+y9

Exercice 3: Ecrire la contraposée de :

0< a < b)a < b et a Exercice 4:

I)En utilisant le raisonnement par l"absurde ou la contraposée, montrer pour tout entiernque: 1) pn

2+ 1n; 2)n2pair=)npair:(en cours) 3)sin21n"est pas divisible par8alorsnest pair.

II)Montrer par récurrence que8n2N;2nnENSEMBLES

Exercice 5: On considère un ensembleAetaun élément deA. Compléter, si possible, les expressions suivantes par

"2";"";" = ": aA;fagA;a:::fag;AP(A) ;aP(A) ;fagP(A): 1 Exercice 6:SoientAetBdeux ensembles dé...nis par:

A= ]0;6[et B=fx2N;x <3g

Déterminer les ensembles suivants:

B ; A\B ; A[B ; CBA; A\N; CARet }(B)

Exercice 7: Décrire les parties deRdé...nies par les propsitions suivantes :

1) (x >0et x <1)ou(x= 0) ; 2) (x0))(x2) ; 3) (x >3et x <5)et(x6= 4)APPLICATIONS

Exercice 8:

[I]Soitg:R!Rl"application dé...nie par :g(x) =x2:Déterminer les ensembles suivants: g([3;1]) ;g([2;1]) ;g([3;1][[2;1]) ;g([3;1]\[2;1]): [II]Soit l"applicationh:R!Rdé...nie par :h(x) =11 +x2:

1)Calculer

h(f1;2;3g); h([0;1]); h([1;0]); h1(f1g); h112

2)hest-elle injective?surjective?

3)Comment choisir les ensembles de départ et d"arrivée deh;pour qu"elle devienne bijective, déterminerh1:

Exercice 9: Soit l"application

f:R!R x7!2x1+x2

1)fest-elle injective? surjective? bijective?.

2)Déterminerf(R):

Exercice 10: Supplémentaire.

Soientfetgdeux applications dé...nies par:

f:N!N x7!f(x) =x+ 1etg:N!N x7!g(x) =0six= 0 x1six1

1)gest-elle injective surN:

2)Montrer quegest bijective surN:

3)Calculer(fg)et(gf), que remarque t-on ?.

Corrigé des exercices de la série 1

Exercice 2:

I)Compléter par les symboles logiques(8;9; <;; >;;);(ou,)pour que les assertions soient vraies:

1)8x2R;9y2R;xy; 3)8x2R; x2= 4(x= 2

2)9x2R;9y2R; (xy)22xy; 4)8x2R; x2= 4,x= 2oux=2:

II)Répondre par vrai ou faux, puis donner la négation de chacune des propositions suivantes:

1)8x2R;8y2R;xy6= 0;vrai puisquex6= 0ety6= 0:(xy= 0,x= 0ou y= 0)

2)9x2R;8y2R;xy= 1;faux car si un telxexiste poury= 0;xy= 06= 1:

on aurax:y= 0:y= 0 = 1qui est absurde.

4)8x2R;8y2R;x+y9faux, puisque9x2R;9y2R;x+y >9;

il su¢ t de prendre par exemplex= 7;y= 3

Négation1)8x2R;8y2R;xy6= 0,(9x2R;9y2R;xy= 0):

2)9x2R;8y2R;xy= 1,(8x2R;9y2R;xy6= 1):

3)8x2R;9y2R;xy= 1,(9x2R;8y2R;xy6= 1)

4)8x2R;8y2R;x+y9,(9x2R;9y2R;x+y >9);

Exerxcice 3:

Ecrire la contraposée de :

0< a < b)a < b et a Exercice 4::

I)En utilisant le raisonnement par l"absurde ou la contraposée, on montre que: 1) pn

2+ 1n;on.montre par l"absurde.

On suppose que :9n2N;pn

2+ 1< n;alorsn2+ 1< n2=)1<0; absurde

3)sin21n"est pas divisible par8alorsnest pair

Montrons que la contraposée : sinest impair alorsn21divisible par8est vraie n impair=) 9k2N;n= 2k+ 1;ce qui donnen21= 4k2+ 4k= 4k(k+ 1) k(k+ 1)est le produit de deux entiers consécutifs, donck(k+ 1) = 2m on obtient n21= 4(2m) = 8m;d"où on obtientn21est divisible par8

II)Montrer par récurrence que8n2N;2nn

on pose(Pn) :2nn on veri...e que(P1)estvraie (P1) : 21= 21:(vraie) Supposons(Pn) : (2nn)vraiepour un certainnet on demontre que(Pn+1) : 2n+1n+ 1est vraie Soitn2N;2n+1= 2n:21n:2n:(1 + 1) =n+non a :nnetn >1;doncn+nn+ 1:

Exercice 5:

a2A;fag A;a2 fag;A2P(A) ;aP(A)pas possible;fag 2P(A):

Exercice 6:

A= ]0;6[et B=fx2N;x <3g

Les ensembles sont :

B=f0;1;2g; A\B=f1;2g; A[B= [0;6[CBAn"existe pas puisqueB*A A\N=f1;2;3;4;5g; CAR= ]1;0][[6;+1[; }(B) =f;;B;f0g;f1g;f2g;f0;1g;f1;2g;f0;2gg

Exercice 7:

Les parties deRdé...nies par les propsitions suivantes :

1)f(x >0et x <1)ou(x= 0)g= ]0;1[[ f0g= [0;1[ ; 2)f(x0))(x2)g= ]1;0[[[2;+1[

3)f(x >3et x <5)et(x6= 4)g= ]3;4[[]4;5[

Exercice 8:

[I]Soitg:R!Rl"application dé...nie par :g(x) =x2: 4

On a :

:g([3;1]) = [1;9] ;g([2;1]) = [0;4]: g([3;1][[2;1]) =g([3;1])[g([2;1]) = [1;9][[0;4] = [0;9] =g([3;1]) g([3;1]\[2;1]) =g[2;1] = [1;4] [II]Soit l"applicationh:R!Rdé...nie par :h(x) =11 +x2:

1)Les ensembles.sont

1)h(f1;2;3g) =fh(1);h(2);h(3)g=12

;15 ;110

2)h([0;1]) =12

0< x <1,1<1 +x2<2,12

<11 +x2<1

3)h([1;0]) =12

1< x <0,0<(x)<1,1<1 + (x)2<2,1<1 +x2<2

12 <11 +x2<1 et h(x) =1,11 +x2=1;absurde puisque11 +x2>0

5)h112

=f1;1g;on ah112 =x;h(x) =12 ; on a h(x) =12 ,11 +x2=12 ,1 +x2= 2 ,x2= 1

2)hest-elle injective?surjective?

3)choisir les ensembles de départ et d"arrivée deh;pour qu"elle soit bijective, déterminerh1:

cherchonsIetJpour queh:I!Jsoit bijective. ()hinjectiveIsur si

8x1;x22I;h(x1) =h(x2) =)x1=x2

c"est à dire h(x1) =h(x2) =)11 +x21=11 +x22=)x21=x22)8 :x 1=x2 ou x 1=x2 Iest de sorte que à ne pas contenir x et -x, ainsi on a deux possibilités pourI;

I=R+ou I=R:

5 ()hest surjective siJest tel que:8y2J;9x2R;y=h(x) y=h(x),y=11 +x2=)1 +x2y= 1 et=)x2=1yy ;possiblesi y6= 0;et1yy 0 1yy

0si y2]0;1]

Ainsihssurjective si :J= ]0;1]:

Ce qui entraîne que les restrictions dehsuivantes sont bijectives. h +:R+!]0;1]et h:R!]0;1] Les restrictions de h sont bijectives et donc admettent des applications réciproques on a:

8y2J;9x2I;y=h(x)

pour0< y1;x2=1yy =)x=r1yy

D"où:8y2J;9x2I;y=h(x)

1+: ]0;1]!R+et h1: ]0;1]!R

x7!h1(x) =r1xx x7!h1(x) =r1xx

Exercice 9: Soit l"application

f:R!R x7!2x1+x2 ()f:R!Rinjective si8x1;x22R;f(x1) =f(x2) =)x1=x2 c"est à dire f(x1) =f(x2) =)2x11 +x21=2x21 +x22=)2x11 +x22= 2x21 +x21=)x1+x1x22=x2+x2x21)8 :x 1=x2 ou x

1x2= 1

f:R!Rn"est pas injective puisque f(x) =f(1x )pour x6= 0;avec x6=1x pour x6= 1;x6=1 ()f:!Rest surjective si8y2R;9x2R;y=f(x) y=f(x),y=2x1 +x2,y1 +x2= 2x ,yx22xy+y= 0 On résoud l"équation en x :yx22x+y= 0;admet des solutions si0: 6

On a : = 44y20 =)1y20 =)y21 =) jyj 1 =) 1y1:

On conclut que l"équationy=f(x)n"a pas de solution poury2]1;1[[]1;+1[;c"est à diref:R!Rn"est pas

surjective.

Ce qui entraine quef:R!R;n0est pas bijective.

2)Déterminerf(R)

On a f(R) =fy=f(x);x2Rg= [1;1]

Exercice 10:

1)gn"est pas injective surN; puisque g(0) =g(1) = 0:Donc9x6=y;g(x) =g(y)

2) ()gest injective surN: soientx;y2N;g(x) =g(y)donc x1 =y1 =)x=y:

D"où8x;y2N;g(x) =g(y) =)x=y

()g est surjective

Soity2N;on cherchex2Ntel quey=g(x):

On a :y=x1 =)x=y+ 1:D"ou8y2N;9x2N;y=g(x):

g est injective et surjective donc bijective surN: fg(x) =1si x= 0 x si x1 gf(x) =0si x= 0 x si x1 On remarque quefg(x) =gf(x) =x;8x2N;commegest bijective surNalorsg1existe etgg1(x) =g1g(x) =x;8x2N, par unicité de la fonction réciproque, on conclut que g

1(x) =f(x);8x2N

Doncg1=fsurN:

7quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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Université M"Hamed Bougara-Boumerdes

Faculté des Sciences

Année universitaire: 2020/2021

Matière:Mathématiques1

Série d"exercices n

1 - Logique - Ensembles- ApplicationsLOGIQUE et RAISONNEMENT

1)P^Q,P_Q; 2) (P)Q),Q)P

1)P_V; 2)P_F; 3)P_V

4)P)F; 5)P)V; 6)F)P

Exercice 2:

1):::x2R; :::y2R;x:::y; 3)x2R; x2= 4x= 2

2):::x2R; :::y2R; (xy)2:::2xy; 4)x2R; x2= 4x= 2oux=2:

1)8x2R;8y2R;xy6= 0 ; 2)9x2R;8y2R;xy= 1

3)8x2R;9y2R;xy= 1 ; 4)8x2R;8y2R;x+y9

Exercice 3: Ecrire la contraposée de :

0< a < b)a < b et a Exercice 4:

2+ 1n; 2)n2pair=)npair:(en cours) 3)sin21n"est pas divisible par8alorsnest pair.

II)Montrer par récurrence que8n2N;2nnENSEMBLES

A= ]0;6[et B=fx2N;x <3g

Déterminer les ensembles suivants:

B ; A\B ; A[B ; CBA; A\N; CARet }(B)

1) (x >0et x <1)ou(x= 0) ; 2) (x0))(x2) ; 3) (x >3et x <5)et(x6= 4)APPLICATIONS

Exercice 8:

1)Calculer

2)hest-elle injective?surjective?

3)Comment choisir les ensembles de départ et d"arrivée deh;pour qu"elle devienne bijective, déterminerh1:

Exercice 9: Soit l"application

1)fest-elle injective? surjective? bijective?.

2)Déterminerf(R):

Exercice 10: Supplémentaire.

Soientfetgdeux applications dé...nies par:

1)gest-elle injective surN:

2)Montrer quegest bijective surN:

3)Calculer(fg)et(gf), que remarque t-on ?.

Corrigé des exercices de la série 1

Exercice 2:

1)8x2R;9y2R;xy; 3)8x2R; x2= 4(x= 2

2)9x2R;9y2R; (xy)22xy; 4)8x2R; x2= 4,x= 2oux=2:

1)8x2R;8y2R;xy6= 0;vrai puisquex6= 0ety6= 0:(xy= 0,x= 0ou y= 0)

2)9x2R;8y2R;xy= 1;faux car si un telxexiste poury= 0;xy= 06= 1:

4)8x2R;8y2R;x+y9faux, puisque9x2R;9y2R;x+y >9;

Négation1)8x2R;8y2R;xy6= 0,(9x2R;9y2R;xy= 0):

2)9x2R;8y2R;xy= 1,(8x2R;9y2R;xy6= 1):

3)8x2R;9y2R;xy= 1,(9x2R;8y2R;xy6= 1)

4)8x2R;8y2R;x+y9,(9x2R;9y2R;x+y >9);

Exerxcice 3:

Ecrire la contraposée de :

0< a < b)a < b et a Exercice 4::

2+ 1n;on.montre par l"absurde.

On suppose que :9n2N;pn

2+ 1< n;alorsn2+ 1< n2=)1<0; absurde

3)sin21n"est pas divisible par8alorsnest pair

II)Montrer par récurrence que8n2N;2nn

Exercice 5:

Exercice 6:

A= ]0;6[et B=fx2N;x <3g

Les ensembles sont :

Exercice 7:

1)f(x >0et x <1)ou(x= 0)g= ]0;1[[ f0g= [0;1[ ; 2)f(x0))(x2)g= ]1;0[[[2;+1[

3)f(x >3et x <5)et(x6= 4)g= ]3;4[[]4;5[

Exercice 8:

On a :

1)Les ensembles.sont

1)h(f1;2;3g) =fh(1);h(2);h(3)g=12

2)h([0;1]) =12

0< x <1,1<1 +x2<2,12

3)h([1;0]) =12

1< x <0,0<(x)<1,1<1 + (x)2<2,1<1 +x2<2

5)h112

2)hest-elle injective?surjective?

3)choisir les ensembles de départ et d"arrivée deh;pour qu"elle soit bijective, déterminerh1:

8x1;x22I;h(x1) =h(x2) =)x1=x2

I=R+ou I=R:

0si y2]0;1]

Ainsihssurjective si :J= ]0;1]:

8y2J;9x2I;y=h(x)

D"où:8y2J;9x2I;y=h(x)

1+: ]0;1]!R+et h1: ]0;1]!R

Exercice 9: Soit l"application