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Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 1 1

Daniel ALIBERT

Ensembles, applications. Relations d"équivalence. Lois de composition (groupes). Logique élémentaire.

Objectifs :

Démontrer que deux ensembles sont égaux, maîtriser les opérations élémentaires ensemblistes (union, intersection, complémentaire), utiliser les applications (définition, image d"une partie, image réciproque), caractériser et utiliser l"injectivité, la surjectivité, la bijectivité. Utiliser les relations d"équivalence, classes d"équivalence, compatibilité de structures avec une relation, passage au quotient. Utiliser la structure de groupe. Dans un énoncé mathématique, identifier les connecteurs "ou" et "et", les quantificateurs, savoir écrire une réciproque, la négation d"une proposition, une contraposée, savoir ce qu"est un contre-exemple, quel est son rôle. Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 1 2 Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 1 3

Organisation, mode d"emploi

Cet ouvrage, comme tous ceux de la série, a été conçu, dans son format comme dans son contenu, en vue d"un usage pratique simple. Il s"agit d"un livre d"exercices corrigés, avec rappels de cours. Il ne se substitue en aucune façon à un cours de mathématiques complet, il doit au contraire l"accompagner en fournissant des exemples illustratifs, et des exercices pour aider à l"assimilation du cours. Ce livre a été écrit pour des étudiants de première et seconde années des Licences de sciences, dans les parcours où les mathématiques tiennent une place importante. Il est le fruit de nombreuses années d"enseignement auprès de ces étudiants, et de l"observation des difficultés qu"ils rencontrent dans l"abord des mathématiques au niveau du premier cycle des universités : - difficulté à valoriser les nombreuses connaissances mathématiques dont ils disposent lorsqu"ils quittent le lycée, - difficulté pour comprendre un énoncé, une définition, dès lors qu"ils mettent en jeu des objets abstraits, alors que c"est la nature même des mathématiques de le faire, - difficulté de conception et de rédaction de raisonnements même simples, - manque de méthodes de base de résolution des problèmes. Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 1 4 L"ambition de cet ouvrage est de contribuer à la résolution de ces difficultés aux côtés des enseignants.

Ce livre comporte quatre parties.

La première, intitulée "A Savoir", rassemble les définitions et résultats qui sont utilisés dans les exercices qui suivent. Elle ne contient ni démonstration, ni exemple. La seconde est intitulée "Pour Voir" : son rôle est de présenter des exemples de toutes les définitions, et de tous les résultats de la partie précédente, en ne faisant référence qu"aux connaissances qu"un étudiant abordant le chapitre considéré a nécessairement déjà rencontré (souvent des objets et résultats abordés avant le baccalauréat). La moitié environ de ces exemples sont développés complètement, pour éclairer la définition ou l"énoncé correspondant. L"autre moitié est formé d"énoncés intitulés "exemple à traiter" : il s"agit de questions permettant au lecteur de réfléchir de manière active à d"autres exemples très proches des précédents. Ils sont suivis immédiatement d"explications détaillées. La troisième partie est intitulée "Pour Comprendre et Utiliser" : des énoncés d"exercices y sont rassemblés, en référence à des objectifs. Ces énoncés comportent des renvois de trois sortes : ☺) pour obtenir des indications pour résoudre la question, ) lorsqu"une méthode plus générale est décrite, ) renvoie à une entrée du lexique. Tous les exercices sont corrigés de manière très détaillée dans la partie

3 - 2. Au cours de la rédaction, on a souvent proposé au lecteur qui

Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 1 5 souhaiterait approfondir, ou élargir, sa réflexion, des questions complémentaires (QC), également corrigées de façon détaillée. La quatrième partie, "Pour Chercher", rassemble les indications, les méthodes, et le lexique. Certains livres d"exercices comportent un grand nombre d"exercices assez voisins, privilégiant un aspect "entraînement" dans le travail de l"étudiant en mathématiques. Ce n"est pas le choix qui a été fait ici : les exemples à traiter, les exercices et les questions complémentaires proposés abordent des aspects variés d"une question du niveau du L1 L2 de sciences pour l"éclairer de diverses manières et ainsi aider à sa compréhension. Le lecteur est invité, à propos de chacun d"entre eux, à s"interroger sur ce qu"il a de général (on l"y aide par quelques commentaires). Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 1 6

Table des matières

1 A Savoir ........................................................................ 9

1-1 Ensembles ..................................................... 9

1-2 Applications ................................................ 11

1-3 Relations d"équivalence ............................... 12

1-4 Lois de composition - structures ................. 14

1-5 Logique élémentaire .................................... 17

2 Pour Voir .................................................................... 25

2-1 Ensembles ................................................... 25

2-2 Applications ................................................ 31

2-3 Relations d"équivalence ............................... 41

2-4 Lois de composition - structures ................. 48

2-5 Logique élémentaire .................................... 58

3 Pour Comprendre et Utiliser ...................................... 61

3-1 Énoncés des exercices ................................. 61

3-2 Corrigés des exercices ................................. 81

3-3 Corrigés des questions complémentaires .. 127

4 Pour Chercher ........................................................... 141

4-1 Indications pour les exercices ................... 141

4-2 Méthodes ................................................... 147

4-3 Lexique ...................................................... 153

Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 1 7 Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 1 8

1 A Savoir

Dans cette partie, on rappelle rapidement les principales définitions et les principaux énoncés utilisés. Vous devrez vous référer à votre cours pour les démonstrations. Seule la partie 1-5 (logique élémentaire), qui n"est pas toujours exposée dans les cours, a été un peu développée, avec un objectif utilitaire cependant. Vous trouverez des exemples dans la partie 2 * Pour Voir.

1-1 Ensembles

Définition

Un ensemble est défini en extension quand on donne la liste des

éléments :

H = {1, 2, p, -12}.

Définitions

Un ensemble est défini en compréhension quand on donne une propriété caractérisant les éléments : par exemple A = {x Î Q | il existe un réel a tel que a2 = x} A partir de deux ensembles, E et F, on peut définir un autre ensemble : Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 1 9 Le produit cartésien de E et F, noté E ´ F est l"ensemble des couples (x,y) formés d"un élément x de E et d"un élément y de F. Attention, un couple est ordonné : le couple (x, y) n"est pas le couple (y, x) (sauf si x = y). On définit plus généralement le produit cartésien d"une famille d"ensembles : E ´ F ´ G ´ H, par exemple, est le produit des 4 ensembles

E, F, G, H.

Égalité de deux ensembles : soient A et B des ensembles. Ils sont égaux s"ils ont les mêmes éléments. Inclusion d"un ensemble dans un autre : A Ì B si tout élément de A est

élément de B.

Si A Ì B et B Ì A, alors A = B.

Les opérations les plus courantes entre deux ensembles sont :

L"intersection :

A Ç B a pour éléments les éléments qui appartiennent à A et à B

La réunion :

A È B a pour éléments les éléments qui appartiennent à A ou à B

Le passage au complémentaire :

si E est un ensemble et si A Ì E, les éléments de CE(A) sont les éléments de E qui ne sont pas éléments de A Les sous-ensembles d"un ensemble E sont les éléments d"un nouvel ensemble, noté P(E), qui est l"ensemble des "parties de E". Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 1 10

Définition

Une relation d"un ensemble E dans un ensemble F est une propriété des

éléments de E ´ F.

Si la propriété est vraie pour le couple (x, y), on dit que "x est en relation avec y", et l"on écrit souvent "x R y". Dans le cas contraire, on dit que "x n"est pas en relation avec y". La lettre R désigne alors la relation et symbolise la phrase "est en relation avec" (une autre lettre que R peut évidemment être utilisée). Le sous-ensemble de E ´ F formé des couples (x, y) vérifiant x R y est le graphe de la relation R.

1-2 Applications

Les applications sont des relations particulières, celles qui vérifient : "pour tout x de E il existe un unique y de F tel que x est en relation avec y" Cet élément y de F est appelé l"image de x par l"application. Si f désigne cette application, on écrit : y = f(x).

L"application identique de E, notée Id

E, est l"application de E dans E qui

associe à tout x de E l"élément x lui-même. Si y = f(x), l"élément x est appelé un antécédent de y. Si f est une application de E dans F, et g une application de F dans G, on définit une application composée de f et g, notée g of, par : g of (x) = g(f(x)). Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 1 11

Définition

Soit f une application de E dans F, et A une partie de E, A" une partie de F. On appelle image directe de A par f et l"on note f*(A) (ou f(A)) le sous-ensemble de F défini par : f* (A) = {y Î F | il existe x Î A tel que f(x) = y}. On appelle image réciproque de A" par f, et l"on note f*(A") (ou f -1(A")) le sous-ensemble de E défini par : f*(A") = {x Î E | f(x) Î A"}.

Définition

Soit f : E --. F une application. On dit que f est injective si pour tout x et tout y de E on a l"implication : f(x) = f(y) ⇒ x = y. On dit que f est surjective si pour tout x" de F, il existe au moins un x de

E tel que :

f(x) = x". On dit qu"une application f est bijective si elle est à la fois injective et surjective. Si f est bijective, il existe une application réciproque de f, c"est-à-dire une application : g : F --. E telle que g of = IdE , et fog = IdF. L"application réciproque de f est généralement notée f -1. Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 1 12

1-3 Relations d"équivalence

Définition

Soit R une relation de E dans lui-même.

1- R est réflexive si pour tout x de E, x R x est vrai.

2- R est symétrique si pour tout x et tout y de E on a l"implication

x R y ⇒ y R x.

3- R est antisymétrique si pour tout x et tout y de E on a l"implication

(x R y et y R x) ⇒ x = y.

4- R est transitive si pour tout x, tout y, tout z de E on a l"implication

(x R y et y R z) ⇒ x R z. Une relation réflexive, symétrique et transitive est appelée une relation d"équivalence.

Définition

Soit E un ensemble, muni d"une relation d"équivalence R. Pour tout élément x de E, on appelle classe d"équivalence de x et l"on note C(x) le sous-ensemble de E formé des éléments y tels que x R y soit vrai. Ces éléments y sont dits équivalents à x.

Propriété

Si x et y sont équivalents, alors C(x) = C(y), et la réciproque est vraie. Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 1 13

Propriété

Les sous-ensembles C(x) forment une partition de E, ce qui signifie que : a. C(x) Ç C(y) est soit vide soit égal à C(x) et à C(y). b. La réunion des sous-ensembles C(x) est E. c. Aucune des parties C(x) n"est vide. Réciproquement, la donnée d"une partition de E définit une relation d"équivalence sur E.

Définition

L"ensemble des classes d"équivalence, sous-ensemble de l"ensemble P(E) des parties de E, est appelé l"ensemble quotient de E par la relation R.

Il est souvent noté E/R.

L"application de E dans E/R, qui à un élément x associe sa classe d"équivalence, est l"application canonique de passage au quotient.

Cette application est surjective.

Si b est une classe d"équivalence, tout élément de E dont la classe est b est appelé un représentant de b.

1-4 Lois de composition - structures

Parmi les applications, on distingue les lois de composition, ou opérations.

Définition

Soient E et F des ensembles, une loi de composition est une application :

F ´ E ®. E.

Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 1 14 Si E ≠ F, on dit que c"est une loi externe, ou encore que F opère sur E.

Sinon on parle de loi interne.

Pour des raisons de commodité dans les calculs, on note ce type d"application de la manière suivante : (x, y) ®. x T y, ou x

´ y ...

par analogie avec x + y par exemple.

Définitions

Soit E un ensemble et T une loi de composition interne dans E. On dit que T est associative si pour tout x, tout y, tout z de E on a l"égalité : (x T y) T z = x T (y T z). On dit que T est commutative si pour tout x et tout y de E on a l"égalité : x T y = y T x. Un élément neutre pour T est un élément, soit e, tel que pour tout x de E on a l"égalité : e T x = x T e = x.

Propriété

Il ne peut y avoir qu"un élément neutre au plus pour une opération donnée. On l"appelle encore élément unité, ou zéro, selon la loi T.

Définition

Si T admet un élément neutre e, on dit qu"un élément x de E admet x" pour symétrique pour T si l"égalité suivante est vraie : x T x" = x" T x = e. Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 1 15 Cet élément est alors unique, on le note souvent sym(x).

Définition

Si E admet une autre loi de composition interne, soit Ä, on dit que la loi Ä est distributive sur la loi T (ou par rapport à la loi T) si pour tout x, tout y E on a les égalités : x Ä(y T z) = (x Ä y) T (x Ä z), et (y T z) Ä x = (y Ä x) T (z Ä x).

Définition

Soit (E, T) un ensemble muni d"une loi de composition interne. On dit que (E, T) est un groupe si :

1- T est associative,

2- T admet un élément neutre,

3- tout élément de E a un symétrique pour T.

Si de plus T est commutative, on dit que (E, T) est un groupe commutatif, ou abélien. Soit (G, T) un groupe et H une partie de G. On dit que H est stable par T si pour tout couple (x, y) d"éléments de H, x

T y est un élément de H.

Si H est stable par T, on dit que H est un sous-groupe de (G, T) si (H, T) est lui-même un groupe.

Propriété

Soit (G, T) un groupe, et H une partie de G. Pour que H soit un sous- groupe de (G, T), il faut et il suffit que les propriétés suivantes soient vérifiées :

1) H est non vide.

2) Pour tout x et tout y de H l"élément x T sym(y) appartient à H.

Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 1 16

Définition

Soient (G, T), et (H, ^) des ensembles, munis de lois internes. On appelle homomorphisme de G vers H une application : f : G ®. H telle que pour tout x et tout y de G on ait : f(x T y) = f(x) ^ f(y). On parlera en particulier d"homomorphisme de groupes.

Définition

Soit E un ensemble sur lequel sont définies à la foi une loi interne Ä et une relation d"équivalence R.

On dit que R et

Ä sont compatibles si pour tous les couples (x, y), (z, t) de

E, la propriété suivante est vraie :

si x R y, et z R t, alors x Ä z R y Ä t.

Propriété

Dans la situation précédente, on peut définir une loi interne sur l"ensemble quotient E/R en posant pour des classes C(x), C(z) :

C(x) T C(z) = C(x

Ä z).

Si ´ est associative (resp. commutative) on vérifie facilement que T l"est

également. Si (E,

´ ) est un groupe, (E/R, T) l"est également.

1-5 Logique élémentaire

La connaissance de quelques règles de base de logique aide à éviter les erreurs de raisonnement les plus grossières. Elle permet également Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 1 17 souvent de commencer la recherche d"une solution en étant capable d"attaquer un problème sous différents angles. Le premier point consiste à savoir lire avec précision un énoncé mathématique pour bien comprendre comment s"articulent les différentes hypothèses, conditions etc.

1-5-1 Énoncé universel, énoncé existentiel

Un modèle fréquent d"énoncé est le suivant : si "A", alors "B" schématisé par une implication : A ⇒ B. Dans ce modèle, A représente une ou plusieurs conditions, ou hypothèses, éventuellement reliées par des connecteurs logiques (et, ou), B représente une ou plusieurs conclusions également reliées par des connecteurs. Par ailleurs, ces conditions portent sur des objets mathématiques (nombres, fonctions...) et décrivent des propriétés que ces objets peuvent satisfaire (ou non).

L"énoncé :

si "A", alors "B" est alors vrai si pour tout objet x vérifiant l"hypothèse A, la conclusion B est également vérifiée : autrement dit, si on passe en revue les différents cas possibles (A(x) vrai ou faux, B(x) vrai ou faux) l"énoncé est vrai si et seulement si il n"y a pas de cas x où A(x) est vrai et B(x) faux. Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 1 18

Définition

S"il existe un cas x où A(x) est vrai et B(x) faux, on dit que x est un contre-exemple à l"énoncé : si "A", alors "B". On appellera exemple de cet énoncé un cas x où A(x) est vrai et B(x) vrai, et non-exemple un cas où A(x) est faux, quelle que soit la valeur de B(x). Un énoncé vrai peut avoir des exemples ou des non-exemples mais pas de contre-exemple.

L"énoncé :

si "A", alors "B" contient donc (souvent de manière implicite) une condition sur les cas possibles : dans tous les cas où A(x) est vrai, alors B(x) doit être vrai

également.

On dit que cet énoncé contient un quantificateur universel (tous les cas). On note ce quantificateur " ("pour tout", ou "quel que soit").

On écrira par exemple :

"x, A(x) ⇒ B(x). On lira "pour tout x, si A(x) est vrai alors B(x) est vrai" ou "quel que soit x, A(x) implique B(x)". Étant donnée une propriété P, on peut également vouloir exprimer qu"il y a au moins un cas où cette propriété est vraie (par exemple une équation a une solution au moins, une fonction est dérivable en un point au moins). Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 1 19 Cette affirmation utilise un quantificateur existentiel, noté $, "il existe" : $ x, P(x). On lira "il existe au moins un x tel que P(x) est vrai". Il est indispensable, à la lecture d"un énoncé, d"identifier clairement s"il s"agit d"un énoncé universel, ou d"un énoncé existentiel. Les techniques à utiliser pour démontrer cet énoncé seront différentes.

1-5-2 Connecteurs. Négation. Tables de vérité

Les conditions composées de plusieurs affirmations doivent être analysées pour savoir, en fonction de la vérité ou de la fausseté des différentes affirmations, dans quel cas elles sont vraies ou fausses. Un moyen simple est d"utiliser les tables de vérité : ◗ Pour "A ou B" :

A ou B A = V A = F

B = V V V

B = F V F

qui se lit : si A est vrai et B vrai, "A ou B" est vrai, si A est vrai et B est faux, "A ou B" est vrai etc. Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 1 20 ◗ Pour "A et B" :

A et B A = V A = F

B = V V F

B = F F F

Il est fréquent d"avoir à utiliser la négation d"un énoncé P : ◗ "P est faux", souvent écrit "non(P)" : P = V P = F non(P) F V Si la condition P est composée, il faut savoir écrire non(A et B), et non(A ou B). ◗ "non(A ou B)" : non(A ou B) A = V A = F

B = V F V

B = F V V

On voit que cette table correspond à non(A) et non(B). Les conditions non(A ou B) et "non(A) et non(B)" sont donc vraies, ou fausses, dans les mêmes cas. On dit qu"elles sont équivalentes. De la même façon, on vérifie que "non(A et B)" et "non(A) ou non(B)" sont équivalentes. Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 1 21
◗ La négation d"un énoncé universel : pour tout x, P(x) , ou encore " x, P(x) est un énoncé existentiel : il existe x tel que non(P(x)), ou encore $ x, non(P(x)). ◗ Inversement, si l"énoncé est existentiel : il existe x tel que P(x) ou encore $ x, P(x) on écrira sa négation : pour tout x, non(P(x)), ou encore " x, non(P(x)). ◗ Un cas rencontré fréquemment est celui de "pour tout x, A(x) implique

B(x)".

On écrira que cet énoncé est faux en écrivant qu"il admet un contre- exemple : il existe un x tel que A(x) et non(B(x)). ◗ Enfin pour un énoncé où plusieurs propositions sont "enchâssées" les unes dans les autres, on procédera par paliers :

Par exemple :

pour tout x, il existe y tel que P(x,y). On note Q(x) la propriété pour x : "il existe y tel que P(x, y)", et on écrit dans un premier temps la négation de "pour tout x, Q(x)", soit "il existe x tel que non(Q(x))". La négation de Q(x) est "pour tout y, non(P(x,y))". On obtient alors : Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 1 22

Il existe x tel que pour tout y, non(P(x, y)).

On verra des applications dans le volume consacré aux limites par exemple, ou sur les fonctions continues...

1-5-3 transformation de propositions

A partir d"un énoncé "si A alors B", on peut écrire d"autres propositions : ◗ La réciproque de cet énoncé est "si B alors A". Sa vérité est indépendante de celle de "si A alors B". Les tables des exemples de ces énoncés sont : A ⇒B A = V A = F

B = V E n-E

B = F c-E n-E

B ⇒ A A = V A = F

B = V E c-E

B = F n-E n-E

On voit bien que l"existence d"un contre-exemple pour l"un de ces énoncés n"entraîne rien de tel pour l"autre (échange n-E " c-E). ◗ La contraposée de "si A alors B" est "si non(B) alors non(A)".

Ces énoncés sont équivalents :

A ⇒ B A = V A = F

B = V E n-E

Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 1 23

B = F c-E n-E

non(B) ⇒ non(A) A = V A = F

B = V n-E n-E

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