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Olivier Coulaud

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avec • Objectifs-clés • Démonstrations • Conseils méthodologiques

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SCIENTIFIQUES

Maths PTSI Olivier Coulaudest professeur en classe préparatoire scientifique au lycée Roland-Garros (Le Tampon, Réunion). Avec la contribution de Roger Mansuy, professeur en classe préparatoire scientifique au lycée

Saint-Louis à Paris.

Ressources numériques

+ 10 activitésdisponibles sur notre laboratoire Python :

Activité 1.

Instructions répétitives

Activité 2.

Instructions continues

Activité 3.

Calcul d"un volume

Activité 4.

Fonction cube

Activité 5.

Dessiner un cercle

Activité 6.

Dessiner une étoile

Activité 7.

Lancers de dés

Activité 8.

Tableau de valeurs

Activité 9.

Comptage des voyelles

Activité 10.

Calcul des racines d"un

trinôme Ces activités sont également téléchargeables sur le site www.vuibert.fr à la page du livre.

ISBN : 978-2-311-40678-8

Conception de couverture : Hung Ho Thanh

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SOMMAIRE

Partie 1. Premier semestre 11

Chapitre 1 Éléments de logique - Ensembles - Applications13

Cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

1.Écritures mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

2.Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

3.Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

4.L"ensemble des entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

5.Opérations entre parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

Fiche de synthèse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36

Aide à la résolution des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

Corrigés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

Chapitre 2 Rappels de trigonométrie - Nombres com- plexes51

Cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52

1.Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52

2.Nombres complexes : définitions, règles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58

3.Interprétation géométriqueTrigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62

4.Équations dansC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69

5.Racinesnièmesd"un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70

6.Nombres complexes et géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71

7.Compléments pour la physique et les SII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74

Fiche de synthèse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77

Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79

Aide à la résolution des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83

Corrigés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83

Chapitre 3 Calculs algébriques95

Cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96

1.Relation d"ordre surR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96

2.Manipulations de sommes et produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98

3.Quelques sommes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105

4.Coefficients binomiaux et formule du binôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109

3

SOMMAIRE

Fiche de synthèse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114

Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118

Aide à la résolution des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122

Corrigés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122

Chapitre 4 Fonctions usuelles139

Cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .140

1.Généralités sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .140

2.Fonctions dérivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .146

3.Exponentielles, logarithmes, puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .150

4.Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .156

5.Exponentielle complexe, fonctions circulaires et circulaires réciproques . . . . . . . . . . . . . .158

Fiche de synthèse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .163

Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .170

Aide à la résolution des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .173

Corrigés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .173

Chapitre 5 Équations différentielles linéaires185

Cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .186

1.Calculs de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .186

2.Équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .190

3.Équations différentielles linéaires d"ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .192

4.Équations différentielles linéaires d"ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .196

5.Complément : étude des oscillateurs linéaires amortis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .200

Fiche de synthèse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .203

Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .206

Aide à la résolution des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .210

Corrigés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .210

Chapitre 6 Suites numériques221

Cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .222

1.Ret la propriété de la borne supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .222

2.Généralités sur les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .226

3.Suites classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .228

4.Convergence d"une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .233

5.Théorèmes d"existence d"une limite d"une suite réelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .240

6.Suites extraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .245

7.Étude de suites récurrentes du typeun+1=f(un). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .246

Fiche de synthèse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .250

Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .255

Aide à la résolution des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .258

Corrigés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .258

4

SOMMAIRE

Chapitre 7 Limites - Continuité267

Cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .268

1.Étude locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .268

2.Continuité en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .276

3.Continuité sur un intervalle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .278

Fiche de synthèse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .282

Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .286

Aide à la résolution des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .290

Corrigés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .290

Chapitre 8 Dérivabilité297

Cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .298

1.Nombre dérivé - Fonction dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .298

2.Calcul de dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .301

3.Théorème de Rolle - Théorème des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .303

4.Dérivée et sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .306

5.Fonctions à valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .307

6.Fonctions de classeCk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .309

Fiche de synthèse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .313

Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .317

Aide à la résolution des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .321

Corrigés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .321

Chapitre 9 Systèmes linéaires - Calcul matriciel331

Cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .332

1.Systèmes linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .332

2.Matrices : définitions, vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .339

3.Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .341

4.Opérations élémentaires et calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .348

5.Matrices inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .353

Fiche de synthèse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .358

Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .365

Aide à la résolution des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .368

Corrigés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .368

Chapitre 10 Dénombrement377

Cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .378

1.Cardinal d"un ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .378

2.Vocabulaire du dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .383

5

SOMMAIRE

3.Propriétés des coefficients binomiaux - Nombre de parties d"un ensemble fini . . . . . . . .386

Fiche de synthèse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .390

Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .392

Aide à la résolution des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .396

Corrigés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .396

Partie 2. Second semestre 409

Chapitre 11 Polynômes411

Cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .412

1.Construction de l"ensembleK[X]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .412

2.L"ensembleK[X]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .413

3.Opérations sur les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .414

4.Dérivation dansK[X]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .418

5.Divisibilité dansK[X]- Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .419

6.Racines - Factorisation parXa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .421

7.Spécificité des polynômes deR[X]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .428

8.Complément : interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .430

Fiche de synthèse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .432

Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .434

Aide à la résolution des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .439

Corrigés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .439

Chapitre 12 Espaces vectoriels453

Cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .454

1.Structure d"espace vectoriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .454

2.Familles finies de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .460

Fiche de synthèse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .468

Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .471

Aide à la résolution des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .474

Corrigés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .474

Chapitre 13 Applications linéaires483

Cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .484

1.Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .484

2.Endomorphismes remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .490

3.Bases et applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .493

Fiche de synthèse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .495

Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .498

Aide à la résolution des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .501

Corrigés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .501

6

SOMMAIRE

Chapitre 14 Espaces vectoriels de dimension finie -

Applications linéaires en dimension finie511

Cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .512

1.Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .512

2.Applications linéaires en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .521

Fiche de synthèse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .524

Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .527

Aide à la résolution des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .532

Corrigés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .532

Chapitre 15 Matrices d"une application linéaire545

Cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .546

1.Matrices et applications linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .546

2.Noyau, image d"une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .555

3.Complément : trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .558

Fiche de synthèse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .559

Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .563

Aide à la résolution des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .567

Corrigés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .567

Chapitre 16 Déterminants581

Cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .582

1.Applications multilinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .582

2.Déterminant d"une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .584

3.Propriétés du déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .586

4.Déterminant et opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .589

5.Déterminant et espace vectoriel de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .590

6.Déterminant d"un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .595

Fiche de synthèse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .598

Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .600

Aide à la résolution des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .605

Corrigés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .606

Chapitre 17 Calcul intégral617

Cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .618

1.Rappels sur les fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .618

2.Intégrale d"une fonction continue sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .618

3.Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .624

4.Intégration et dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .626

7

SOMMAIRE

5.Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .633

Fiche de synthèse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .636

Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .640

Aide à la résolution des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .645

Corrigés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .645

Chapitre 18 Analyse asymptotique663

Cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .664

1.Relations de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .664

2.Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .672

3.Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .679

Fiche de synthèse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .683

Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .689

Aide à la résolution des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .693

Corrigés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .693

Chapitre 19 Séries numériques705

Cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .706

1.Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .706

2.Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .709

3.Séries à termes de signe non constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .715

4.Complément : études asymptotiques de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .717

Fiche de synthèse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .720

Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .722

Aide à la résolution des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .727

Corrigés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .727

Chapitre 20 Produit scalaire et espaces euclidiens743

Cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .744

1.Produit scalaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .744

2.Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .750

3.Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel de dimension finie . . . . . . . . . . . . . .756

Fiche de synthèse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .760

Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .764

Aide à la résolution des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .768

Corrigés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .768

8

SOMMAIRE

Chapitre 21 Géométrie du plan - Géométrie de l"espace779

Cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .780

1.Géométrie du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .780

2.Géométrie dans l"espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .789

Fiche de synthèse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .800

Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .809

Aide à la résolution des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .812

Corrigés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .812

Chapitre 22 Probabilités sur un univers fini821

Cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .822

1.Espaces probabilisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .822

2.Espaces probabilisés finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .823

3.Conditionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .828

4.Événements indépendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .833

Fiche de synthèse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .836

Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .839

Aide à la résolution des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .843

Corrigés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .843

Chapitre 23 Variables aléatoires853

Cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .854

1.Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .854

2.Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .859

3.Lois usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .863

4.Couples de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .868

5.Variables aléatoires indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .873

6.Généralisation auxn-uplets de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .876

7.Loi d"une variable aléatoire fonction d"autres variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . .877

8.Compléments : corrélation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .879

Fiche de synthèse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .882

Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .889

Aide à la résolution des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .894

Corrigés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .894

9 COURS Tout le cours avec des rubriques guidantes et des conseils méthodologiques inclus

FICHES DE SYNTHÈSE

Des ?ches de synthèse à la ?n de chaque chapitre pour retenir l'essentiel

PICTOS DE REPÉRAGES

À retenir

pour mémoriser l'essentiel

Conseils méthodologiques

Attention !

AIDES À LA RÉSOLUTION

Des aides à la résolution des exercices

en cas de blocage à la lecture de l'énoncé

CORRIGÉS

Tous les corrigés détaillés

pour comprendre chaque étape de résolution

Mode d'emploi

Cet ouvrage, parfaitement conforme au programme de mathématiques en PTSI, vous propose les outils adaptés à la réussite de votre première année.

ENTRAÎNEMENT

Un entraînement intensif avec quatre typologies d'exercices : Vrai/Faux, application, approfondissement et problèmes types concours. Trois niveaux de di?culté clairement identi?és et un temps indication de réali- sation de l'exercice et

25 min.

Partie 1

PREMIER

SEMESTRE

Chapitre 1

Éléments de logique -

Ensembles - Applications

1.Écritures mathématiques -2.Ensembles -3.Applications -

4.L"ensemble des entiers naturels -5.Opérations entre parties

Objectifs et compétences du programme

Capacités

exigibles

Exercices

associés

Travail

réalisé

Comprendre et savoir utiliser les

notations d"un énoncé mathématique. !Exercices 1, 2, 3, A, B,

C, D, E, F, G, H, Iƒ

Connaître les méthodes usuelles de

raisonnement.!Exercices A, D, E, Fƒ

Appréhender les manipulations entre

ensembles, entre parties. !Exercices 1, A, F, G, H, Iƒ

Maîtriser les propriétés des

applications. !Exercices 2, 3, B, D, E,

F, G, Hƒ

Giuseppe Peano, mathématicien italien (1848-1932)

Il aborde de nombreux domaines mathématiques :

•le théor èmed "existencede solutions pour cer taineséquations différ entielles non linéaires; •les axiomesdéfinissantlesentiersnaturelsàpartirdelathéoriedesensembles (qu"on citera dans ce chapitre); •la pr emièreutilisation de nombr eusesnotations ensemblistes comme ,par exemple, les symboles2ou. Tout au long de sa carrière, il a fait preuve d"une minutie extrême, très efficace pour la recherche, mais qui est devenue un grand travers pour enseigner. Rete- nons qu"il convient d"être rigoureux mais de ne pas trop l"être si cela interdit de communiquer les idées d"une démarche. 13

COURSCOURSCOURS

tout au long de l"année.

chapitre où venir piocher régulièrement, au fur et à mesure de l"avancée du programme.

1. Écritures mathématiques

1.1. Quelques définitions : un investissement pour la suite

Donnons deux définitions ici, qui serviront d"exemples tout au long de ce paragraphe.

Définition 1.1.

Soient deux entiersnetp. On dit quenest unmultipledep, ou de manière équivalente, quep est undiviseurden, s"il existe un entier relatifktel quen=kp.

Exemple

Les diviseurs de l"entier 12 sont12,6,4,3,2,1, 1, 2, 3, 4, 6 et 12.

Définition 1.2.

Une suite réelle(un)nadmet le réel`pourlimitesi, pour tout" >0, les termes de la suite(un)nsont, à partir d"un certain rang, à une distance inférieure à"de`.

Une suite réelle(un)nest diteconvergentes"il existe un réel`qui est limite de cette suite.

Exemple

La suite(un)ndéfinie, pour toutn2N, parun=1enadmet 1 pour limite. les entiers et en ordonnées les valeurs de la suite. Ainsi, les points repréntés ont pour coordonnées(n,un)pour un certain entiern. 14 Chapitre 1 - Éléments de logique - Ensembles - Applications COURS

1.2. Écriture avec quantificateurs

Il existe essentiellement deux symboles mathématiques, appelésquantificateurs, permettant d"écrire

définitions et propositions en "écriture mathématique». •Le quantificateur univ ersel8signifie "quel que soit» ou "pour tout». •Le quantificateur existentiel 9signifie "il existe».

Définition 1.3.

Soient deux entiersnetp.nest un multiple depsi :

9k2Z,n=kp.

Définition 1.4.

Une suite réelle(un)nadmet le réel`pour limite si :

8" >0,9N2N,8n2N,nN) jun`j".

Une suite réelle(un)nest convergente si :

9`2R,8" >0,9N2N,8n2N,nN) jun`j".

Remarque

tificateurs de même nature (deux universels ou deux existentiels).

Exemple

Une seule des deux phrases suivantes est correcte.

8x2R,9y2R+,y=x2.

9y2R+,8x2R,y=x2.

La première, correcte, indique l"existence du carré d"un réel; la seconde, fausse, signifie qu"il

existe un réel positif qui est le carré de tous les réels.

Conseils méthodologiques

Pour nier une phrase avec quantificateurs, il faut appliquer les deux étapes suivantes :

1.on r emplacetout quantificateur existentiel 9par un quantificateur universel8, et récipro-

quement (sans en changer l"ordre);

2.on nie la conclusion.

Ceci est déjà l'usage dans le langage courant; la négation de l'af�rmation "tous les profs de maths sont

spirituels» est "il existe un prof de maths qui n'est pas spirituel». 15

Mathématiques PTSI

Exemple

Nions les deux définitions niées en début de section : •l "entiernn"est pas un multiple depsi :

8q2N,n6=q.p,

•la suite r éelle(un)n2RNn"est pas convergente si :

8`2R,9" >0,8N2N,9n2N,nNetjun`j>".

On remarque que l"on a utilisé le fait que la négation de l"implication "P)Q» est "Pet nonQ».

1.3. Écriture d"ensembles

Par exemple, on adopte les notations suivantes :

•N,Z,Q,R,Crespectivement pour les ensembles des nombres entiers naturels, entiers relatifs,quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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