ALGÈBRE Cours et Exercices Première Année LMD
2 Ensembles et Applications 3.1.1 Propriétés des relations binaires dans un en- semble . ... La partie entrainement comprend des exercices qui ont été.
Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 1
Ensembles applications. Relations d'équivalence. Lois de composition (groupes). Logique élémentaire. Objectifs : ? Démontrer que
Corrigés des exercices Ensembles et applications
Exercice 3. Des parties (?). Soient E et F deux ensembles. Quelles relations d'inclusion y a-t-il entre : 1
Pascal Lainé Ensembles-Applications Exercice 1 : Soit : ? définie
est une application. (i) bijective (ii) injective et pas surjective (iii) surjective et pas injective (iv) ni surjective ni injective. Justifier.
Logique ensembles et applications
Exercice 1 **IT. Exprimer à l'aide de quantificateurs les phrases suivantes puis donner leur négation. 1. (f étant une application du plan dans lui-même).
Cours dAlgèbre I et II avec Exercices CorrigésOM DE VOTRE
Théorie des ensembles avec Exercices Corrigés. 19. 1. Notion d'ensemble et propriétés Relations entre une application linéaire et sa matrice Associée.
Tout-en-un
Tous les corrigés détaillés. + d'exercices à télécharger Éléments de logique — Ensembles — Applications ... Aide à la résolution des exercices .
Exercices de mathématiques - Exo7
A et B étant des parties d'un ensemble E démontrer les lois de Morgan : A?B = (A?B) et. A?B = (A?B). [000125]. Exercice 26. Démontrer les relations
RELATION BINAIRE
Allez à : Correction exercice 3 : Exercice 4 : Soient et deux ensembles et une application. On définit une relation sur en posant pour tout.
Série dWexercices n1 ! Logique ! Ensembles! Applications
(# Calculer "f $ g#et "g $ f# que remarque t$on ?. 2. Page 3. Corrigé des exercices de la série 1. Exercice 2:.
Pascal Lainé
1Ensembles-Applications
Exercice 1 :
Soit ݂ǣܫ՜ܬ
1. Donner des ensembles ܫ et ܬ
2. Donner des ensembles ܫ et ܬ
3. Donner des ensembles ܫ et ܬ
4. Donner des ensembles ܫ et ܬ
Allez à : Correction exercice 1 :
Exercice 2 :
Dire (en justifiant) pour chacune des applications suivantes si elles sont injectives, surjectives, bijectives :Allez à : Correction exercice 2 :
Exercice 3 :
Soit ؿܫԹ et ؿܬԹ, deux intervalles de Թ. Soit ݂ǣܫ՜ܬ1. Montrer que ݂ est injective.
2. ܭ tel que ݂ǣܫ՜ܭ
Allez à : Correction exercice 3 :
Exercice 4 :
1. ݂ est-elle injective ?
2. ݂ est-elle surjective ?
3. ݃ est-elle injective ?
4. ݃ est-elle surjective ?
Allez à : Correction exercice 4 :
Exercice 5 :
Soient
Où ܧ
Les fonctions sont-elles injectives, surjective ? Comparer ݂ל݃ et ݃לAllez à : Correction exercice 5 :
Exercice 6 :
Soit ݂ une application de ܧ vers ܧ
Montrer que ݂ est surjective.
Pascal Lainé
2Allez à : Correction exercice 6 :
Exercice 7 :
݂ǣԳ՜Գ définie pour tout ݊א1. Existe-t-il ݃ǣԳ՜Գ telle que :݂ל݃ൌܫ
2. Existe-t-il ݄ǣԳ՜Գ telle que :݄ל݂ൌܫ
Allez à : Correction exercice 7 :
Exercice 8 :
1. Existe-t-il une fonction ݃ǣԺ՜Ժ telle que ݂ל݃ൌܫ
2. Existe-t-il une fonction ݄ǣԺ՜Ժ telle que ݄ל݂ൌܫ
Allez à : Correction exercice 8 :
Exercice 9 :
Montrer que les trois propriétés suivantes sont équivalentes (i) ݂ est injective (ii) ݂ est surjective (iii) ݂ est bijectiveAllez à : Correction exercice 9 :
Exercice 10 :
Répondre aux questions qui suivent, en justifiant, le cas échéant, votre réponse par un bref argument, un
calcul ou un contre-exemple.1. Si les applications ݑǣԳ՜Ժ et ݒǣԺ՜Գ ݑלݒל
aussi bijective. Vrai ou Faux, justifier.(i) bijective (ii) injective et pas surjective (iii) surjective et pas injective (iv) ni surjective ni
injectiveJustifier.
euclidienne de ݈ par ݊ est une application.(i) bijective (ii) injective et pas surjective (iii) surjective et pas injective (iv) ni surjective ni
injectiveJustifier.
4. Soient ܽǡܾǡܿǡ݀אԺ tels que ܽ݀െܾܿ
Allez à : Correction exercice 10 :
Exercice 11 :
Montrer que :
Pascal Lainé
3 a. Montrer que ݂ est injective ? b. ݂ est-elle surjective ?Allez à : Correction exercice 11 :
Exercice 12 :
Pour un entier ݊אԳ on désigne par ܫ2. A quelle condition portant sur les entiers ݉ et ݊ peut-on définir une application ݂ǣܫ՜ܫ
injective, surjective, bijective ?Allez à : Correction exercice 12 :
Exercice 13 :
Soient ܨ, ܧ et ܩ trois ensemble et soient ݂ǣܧ՜ܨ et ݃ǣܨ՜ܩ1. Montrer que si ݂ et ݃ sont injectives alors ݃ל
2. Montrer que si ݂ et ݃ sont surjectives alors ݃ל
3. Que peut-on conclure sur ݃ל
4. Montrer que si ݃ל
5. Montrer que si ݃ל
6. Si à présent ݂ǣܧ՜ܨ et ݃ǣܨ՜ܧ
suivants : a. ݃ל݂ൌܫ b. ݂ל݃ൌܫ c. ݂ל݂ൌܫAllez à : Correction exercice 13 :
Exercice 14 :
1. Montrer que si ݂ admet au moins une section alors ݂ est surjective.
2. Montrer que toute section de ݂ est injective.
Une application ݎ, de ܻ dans ܺ, telle que ݎל݂ൌܫ3. Montrer que si ݂ possède une rétraction alors ݂ est injective.
4. Montrer que si ݂ est injective alors ݂ possède une rétraction.
5. Montrer que toute rétraction de ݂ est surjective.
Allez à : Correction exercice 14 :
Exercice 15 :
Allez à : Correction exercice 15 :
Exercice 16 :
Pascal Lainé
4Allez à : Correction exercice 16 :
Exercice 17 :
Soit ݂ǣܦ
1. Représenter ܦ
b. Montrer que ݂ est injective, on pourra se ramener au système du 2.a..3. Est-ce que ݂ est surjective ?
Allez à : Correction exercice 17 :
CORRECTIONS
Correction exercice 1 :
Allez à : Exercice 1 :
Correction exercice 2 :
Une fonction est bijective si et
bijective.݂ est bijective.
Pascal Lainé
5 ݃ est une bijection strictement croissante de Թ sur Թ, par conséquent pour tout ݕא unique ݔא On va étudier (sommairement) cette fonction et dresser son tableau de variation. Les seules bijections de ؿܧԹ sur ؿܨԹ ܧ est ܨPour tout ݕאԹ il existe ݔא
Pour tout ݕא
autres ݕLe " ݔସ ݔ ».
Pour tout ݕെଷ
య, ݕ admet deux antécédents, ݇ est ni surjective ni injective.Pascal Lainé
6Allez à : Exercice 2 :
Correction exercice 3 :
1.Donc ݂ est injective.
Allez à : Exercice 3 :
Correction exercice 4 :
1.Donc ݂
Donc pour tout א
݂ est surjective.
3.Donc ݃ est injective.
AlorsCe qui équivaut à
Allez à : Exercice 4 :
Correction exercice 5 :
݂ est injective.
ͳ ݊ tel que ͳൌ-݊, ݂
injective. Pour tout ݕൌ݊אԳ ݔൌ-݊א que :݃ est surjective.
Si ݊ est pair, il existe א
Si ݊ est impaire, il existe א
Pascal Lainé
7Que ݊ soit paire ou impaire
Remarque :
Comme on le voit sur cet exemple, il ne suffit pas que ݃ל de ݂݂ଵǣܧ՜ܧAllez à : Exercice 5 :
Correction exercice 6 :
Allez à : Exercice 6 :
Correction exercice 7 :
݃ǣԳ՜Գ telle que :݂ל݃ൌܫAllez à : Exercice 7 :
Correction exercice 8 :
݃ǣԺ՜Ժ telle que ݂ל݃ൌܫ Soit ݄ la fonction définie, pour tout אAllez à : Exercice 8 :
Correction exercice 9 :
On suppose que ݂ est injective, on va montrer que ݂ est surjective. pas injective.Soit ݂ܨא ݁ܧא
݁భ്݁మ donc ݂
Pascal Lainé
8 On suppose que ݂ est surjective et on va montrer que ݂ est injective. -à-݂ ors ݂ pas surjective. ݊െͳ éléments et le second ݊ donc il existe un ݂ montre que ݂ surjective. montrer les trois équivalences.Allez à : Exercice 9 :
Correction exercice 10 :
Cela montre que ݑלݒל
Car ݑ est injective
Car ݒ est injective
Car ݑ est injective
Finalement ݑלݒל
2. ݂
oduit de facteur premier entraine que ܽൌܽᇱ, ܾܾᇱ et ܿൌܿ
Donc ݂ est injective et pas surjective.
Donc ߮
Donc ߮
Premier cas ܽ
Pascal Lainé
9 Si ܽൌ-, alors ܾܿൌെͳ, en particulier ܾ Ce sont les mêmes formules que dans le cas où ܽAllez à : Exercice 10 :
Correction exercice 11 :
1. 2.Pascal Lainé
10Cela montre que ଵ
Finalement
Ce qui montre que ݂ est injective.
b. Regardons si ͳאCe qui équivaut à
Mais ଵ
Allez à : Exercice 11 :
Correction exercice 12 :
1. Première méthode : raisonnons par récurrence
applications injectives de plus. applications injectives de plus.Deuxième méthode :
2. ݂ǣܫ՜ܫ
tous distincts par conséquent ݉݊.Remarque :
Supposons que ݂ est surjective.
plusieurs images), par conséquent ݊݉.Pascal Lainé
11Pour que ݂ soit bijective il faut (et il suffit) que ݂ soit injective et sujective, par conséquent il
faut que ݉݊ et que ݊݉, autrement dit il faut que ݉ൌ݊.Remarque :
Allez à : Exercice 12 :
Correction exercice 13 :
Car ݃ est injective
Car ݂ est injective.
Donc ݃ל
2. Première méthode :
Pour tout ݖܩא il existe ݕܨא
Comme pour tout ݕܨא il existe ݔܧא surjective.Remarque :
(b) Si on commence par écrire " pour tout ݕܨא il existe ݔܧאDeuxième méthode :
que ݃ל3. Si ݃ et ݂ sont bijectives alors elles sont injectives et ݃ל
alors elles sont surjectives et ݃ל݂ est surjective, on en déduit que ݃לCar ݃ל
5. Première méthode :
Pour tout ݖܩא, il existe ݔܧא tel que ݖൌ݃לDeuxième méthode :
Ce qui montre que ݃ est surjective.
6. a. ݃ל݂ൌܫPascal Lainé
12Remarque :
b. ݂ל݃ൌܫ c. ݂ל݂ൌܫ Par conséquent ݂ est bijective et ݂ିଵൌ݂.Allez à : Exercice 13 :
Correction exercice 14 :
݂ est injective.
4. Pour tout ݔܺא
de ܺ valeur dans ܺ tous la même valeur).Pour tout ݔܺא
ݎ est bien une rétraction de ݂.
Remarque :
5. Pour tout ݔܺא
Cela montre que ݎ est surjective.
Remarque :
Les rôles habituels de ݔ et ݕ
6.Si ݂ admet une section alors ݂
Si ݂ admet une rétraction alors ݂
Par conséquent ݂ est bijective, on note ݂ିଵǣܻ՜ܺComme ܫ݀ൌݎל
Comme ܫ݀ൌ݂ל
Allez à : Exercice 14 :
Correction exercice 15 :
2.Pascal Lainé
13Allez à : Exercice 15 :
Correction exercice 16 :
Donc 2.Allez à : Exercice 16 :
Correction exercice 17 :
deux demi-plan, ܦ 2. a. b. comme ݔെݕ- sur ܦPascal Lainé
14 comme ݔݕ- sur ܦAllez à : Exercice 17 :
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