[PDF] Corrigé du TD 3 :Intégration Numérique

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Dept de Mathématiques Université Batna 2 (2020-2021)

Analyse Numérique1 (2ème Année S.A.D)Mme O.BouhoufaniCorrigé du TD 3 :"Intégration Numérique"

Exercice 1.Soient :I1=R1

0ex2dx; I2=R

0sinxdx:

1. Déter minonsune v aleurappro ximativede I1, en utilisant la méthode du trapèze simple (n=1) puis par celle du trapèze généralisée(n= 2);en estimant l"erreur théorique à chaque fois.

1.1) Trapèze simple (n= 1): Pourf(x) =ex2;a= 0etb= 1;on a

I 1'ba2 [f(a) +f(b)] 102
e0+e1=12 (1 +e1) = 0;6839:

Donc la valeur0;6839est une approximation pourR1

0ex2dx:

* Pour l"erreur théorique : On af2C2([0;1]);d"où

R(f) =h312

f(2)(); 2[a;b];h=ba:

Par suite

jR(f)j=(ba)312 f(2)() 112

M;(0.1)

oùM= max01f(2)(): On af(x) =ex2;alorsf0(x) =2xex2et aussif00(x) = 2xex2(2x21):En utlisant le tableau de variation def00;on peux vérifier quef00est croissante sur[0;1]:Ainsi,

M= max01f(2)()=f(2)(1)= 2e1'0;7358:

En substituant ceci dans (0.1), on obtient l"estimation suivante pour l"erreur théorique jR(f)j 0;735812 = 0;0613:

1.2) Trapèze composite (n= 2): On a

I 1'h2 f(a) +f(b) + 2n1X i=1f(xi)# h2 [f(a) +f(b) + 2f(x1)]; oùh=ba2 =12 ;x1=a+h=12 =a+b2 :Par suite, I 1'14 h

1 +e1+ 2e14

i = 0;7319: 1 * Pour estimer l"erreur théorique : on a jR(f)j=n(h)312 f(2)(); 2[0;1];h=ban

2(1=2)312

M; M= 0;7358

0;735812:(2)2'0;0153:

Donc, la valeur

0 ,0153

est une estimation de l"erreur théorique de cette métho de. 2. En suiv antles mêmes étap espréceden tes,on p eutcalculer une v aleurappro chéede I 2=R

0sinxdxpar la méthode de Simpson (simple) et celle de Simpson composite

(n=4) comme suit

2.1) Simpson(simple) (n= 2) : On applique la formule de Simpson suivante :

I 2'ba6 f(a) + 4f(a+b2 ) +f(b) ou bien I 2'h3 f(a) + 4f(a+b2 ) +f(b) ; h=ba2 avecf(x) = sinx;a= 0etb=; * Pour l"erreur théorique et tant quef2C2([0;]);on applique la relation

R(f) = (h5=90)f(2)(); 2[0;]:

2.2) Simpson généralisée (ou composite) (n= 4) :

Puisquenest paire(n= 2k;k2N);alors cette méthode est applicable. Donc, on a I 2'h3 2 4 f(x0) +f(xn) + 4:n1X i=1(i:impaire)f(xi) + 2:n2X i=1(i:paire)f(xi)3 5 icih=ba4 =4 et8i=1;3;xi=x0+ih:D"où x

0= 0; x1=x0+h=4

; x2=x0+ 2h=2 ; x3=x0+ 3h=34 ; x4=:

Ainsi,

I 2'12 sin(0) + sin() + 4 sin(4 ) + sin(34 + 2sin(2

Après les calcules, on obtientI2'6

(1 + 2p2) = 2;0053: * Estimons l"erreur théorique : Commef2C4([0;1]);alors

R(f) =(ba)(h4)180

f(4)(); 2[0;]: 2 Commef(x) = sinx;alorsf(4)() = sinx;8x2[0;]:Ainsi, on trouve jR(f)j 180 (4 )4max0f(4)() jR(f)j 5180(4

4)1 =:::::::?:

IciM= max0f(4)()=jsinj= 1:

Remarques :

a) L"erreur obtenue avec Simpson généralisée doit être inférieure ou égale à celle obtenue avec

Simpson simple.

b) Lorsque "n" le nombres de subdivision de l"intervalle de l"intégration est plus grand, alors

l"erreur de l"intégration devient plus petit (Ainsi , la formule de quadrature sera plus précise).

3. Comme la primitive de la fonctionf:x!sinxest connue, alors on peut calculer la

valeur exacte deI2, la comparer avec les résultats obtenus dans (2) et aussi calculer l"erreur commise par chaque approximation à l"aide de la relationEc=I2J(f);(Jfest la valeur approximative deI2): Exercice 2.Calculonsn:le nombre de subdivisions de[;]nécessaires pour évaluer à (0;5)103près, grâce à la méthode de Simpson, l"intégraleI2=R cosxdx: Pour cela, on résoud l"inégalité suivante (oùnest l"inconnu) : jR(f)j (0:5)103;(0.2) oùR(f) =(ba)h4180 f(4)(); 2[;]: " c"est l"erreur de Simpson généralisée".

On ah=ban

)h4=h()n i

4=(2)4n

4etf(x) = cosx)f(4)(x) = cosx;8x2[;]:

Par suite

jR(f)j=2180 164n

4jcosj 8545

:1n 4: Maintennant, pour quejR(f)j (0:5)103;il suffit que 8545
:1n

4(0:5)103:

ce qui est équivalent àn20:Ainsi, on prendn= 20comme nombre de subdivision necessaire, puisque c"est "paire" est minimale.

Exercice 4.

1. Déter minonsle p olynômede Lagrange Pinterpolant une fonctionfaux points -1/2, 0, 1/2 :

P(x) =L0(x)f(12

) +L1(x)f(0) +L2(x)f(12 );8x2R: Après les calcules (voir chaptre 1) :L0(x) = 2x2x;L1(x) =4x2+1etL2(x) = 2x2+x:

Ainsi,

P(x) = (2x2x)f(12

) + (4x2+ 1)f(0) + (2x2+x)f(12 3

2.En déduire la form uled"in tégration(1) :

Par intégration du polynômeP(obtenue ds la question1), on obtient= =43 ;=23 (carR1

1(2x2x)dx=43

;R1

1(4x2+ 1)dx=23

;R1

1(2x2+x)dx=43

Ainsi, nous obtenons,

Z 1

1f(x)43

f(1=2)23 f(0) +43 f(1=2):(0.3) 3.

Donnons une v aleura pprochéede

Rb af(x)dx:En utilisant le changement de variable :y= b+a2 +ba2 x;il résulte Z b a f(x)dxba2 43
fb+ 3a4 23
fa+b2 +43
fa+ 3b4 :(0.4)

4.Application.CalculonsI1à l"aide de la formule de quadrature (0.3) etI2à l"aide de (0.4) :

* On posantf(x) =exdans(0:3);il résulte que I 1=Z 1

1exdx43

e1=2+e1=223 * Aussi, sif(x) =exdans(0:4);alors I 2=Z 3

5exdx443

f(3)23 f(1) +43 f(1) 83

2e3e1+ 2e:

Exercice 3.Soitf: [1;1]!Rune fonction continue.

Calculons les coéfficients des formules de quadrature suivantes : 1.R1

1f(x)dx'J1(f), avecJ1(f) =0f(13

) +1f(13 );pour que cette formule soit exacte pour toutf2P1[X]: 2. R1

1f(x)dx'J2(f), avecJ2(f) =0f(35

)+1f(15 )+2f(15 )+3f(35 );pour que 7 formule soit exacte pour toutf2P3[X]:

1. Pour que la formule de quadratureJ1soit exacte surP1[X], il faut et il suffit que l"erreur

d"intégration :R(f) =R1

1f(x)dxJ1(f)soit nulle pour toutf2P1[X]:Commef1;Xgest

une base deP1[X];alors il suffit queR(f) = 0pour : f1(c.à.d,f(x) = 1sur[1;1])et pourf:x7!x;8x2[1;1]: a) Pourf1;il vient quef(13 ) =f(13 ) = 1:D"où

R(f) =Z

1

11dxJ1(1) = 0,[x]1

1[01 +11] = 0;

ce qui donne l"équation :201= 0::::::::(Eq1): b) Pourf:x7!x;8x2[1;1];il résulte quef(13 ) =13 etf(13 ) =13 :Ainsi

R(f) =Z

1

1xdxJ1(X) = 0,x22

1 1 0 13 +113
= 0; 4 ce qui implique que13 0+13

1= 0::::::::(Eq2):

La résolution des deux équations(Eq1)et(Eq2)donne :0=1= 1:Donc, la 1ière formule de quadrature est :Z1

1f(x)dx'J1(f) =f(13

) +f(13

2. De meme, pour que la formule de quadratureJ2(f)soit exacte surP3[X], il faut et il suffit

queR2(f) =R1

1f(x)dxJ2(f) = 0, pour toutf2 f1;X;X2;X3g:

Poutf1: on a

R(f) =Z

1

11dxJ2(1) = 0,[x]1

1[0+1+2+3] = 0;

ce qui donne :0+1+2+3= 2::::::(Eq1)

PoutfX;sur

: on a

R(f) =Z

1

1xdxJ2(X) = 0,x22

1 1 0(35 ) +1(15 ) +2(15 ) +3(35 = 0; ce qui implique que35 015 1+15 2+35

3= 0::::::::(Eq2):

PoutfX2;sur

: on a

R(f) =Z

1

1x2dxJ2(X2) = 0,x33

1 1 0(35 )2+1(15 )2+2(15 )2+3(35 )2 = 0; i.e,90+1+2+ 93=503 ::::::::(Eq3):

PoutfX3;sur

: on a

R(f) =Z

1

1x3dxJ2(X3) = 0,x44

1 1 0(35 )3+1(15 )3+2(15 )3+3(35 )3 = 0; i.e,2701+2+ 273= 0::::::::(Eq4):

Donc, pour déteminer les coéfficientsi;i= 0;:::;3;on doit résoudre le système linéaire suivant :

0 B

B@1 1 1 1

31 1 3

9 1 1 9

271 1 271

C CA0 B B@ 0 1 2 31
C CA=0 B B@2 0 503
01 C CA Après les calcules (par substitution ou par la méthode de Cramer), on obtient :

0=3= 0;9167;1=2= 0;0833:

Ainsi, on obtient :

J

2(1) = 0;9167:f35

+ 0;0833:f15 + 0;0833:f15 + 0;9167:f35

Remarques :

Au semesttre 2, vous allez étudier différentes méthodes numériques (Directes et Itératives)

permettant la résolution adéquate des systèmes linéaires de grande taille et avec des matrices

pleine (comme le système précedent). 5quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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