[PDF] Analyse Numérique La convergence de la formule

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Universit´e de Nice Sophia-Antipolis

Licence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009Analyse Num´erique

Corrig´e du TD 4EXERCICE 1

Formule des trap`ezes

a. Dans la formule suivante a+h a f(x)dx≈αf(a) +βf(a+h),(1.1) d´eterminerαetβpour que la formule soit exacte pour des polynˆomes de

Calcul deαetβ

On a?a+h

a

1dx=h=α+β ,

a+h a xdx=h22 +ah=αa+β(a+h).

Ce qui conduit au syst`eme lin´eaire suivant

?α+β=h aα+ (a+h)β=h22 +ah

D"o`u on tire

α=β=h2

,(1.2)

RemarqueOn a

a+h a x2dx=(a+h)33 -a33 =13 h3+ 3ah2+ 3a2h? ?=h2 (a+h)2+a2? ,pourh?= 0, qui montre que la formule de quadrature (1.1) est d"ordre 1. etq(a+h) =f(a+h). Construireq. En approchantfparqsur[a,a+h], donner une approximation de?a+h af(x)dx. 1

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Licence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009Construction deq Le polynˆome d"interpolation de Lagrangeqde degr´e 1 est l"´equation de la droite passant par les points? a,f(a)? et? a+h,f(a+h)? , donc q(x) =f(a) +f(a+h)-f(a)h (x-a). Approximation de l"int´egration ´el´ementaire Comme la formule de quadrature (1.1) soit exacte pour le polynˆomeq, on a a+h a f(x)dx≈? a+h a q(x)dx=h2 q(a) +q(a+h)? c. Donner une estimation de l"erreur d"int´egration. Estimation de l"erreur d"int´egration ´el´ementaire La fonctionqest le polynˆome d"interpolation de Lagrange defaux pointsa,a+h. Sif? C2([a,a+h]) alors il existeξ?]a,a+h[ tel que f(x) =q(x) +(x-a)(x-a-h)2 f??(ξ). Donc a+h a f(x)dx-h2 f(a) +f(a+h)? a+h a f(x)-q(x)dx a+h a(x-a)(x-a-h)2 f??(ξ)dx.

Ce qui implique

a+h a a+h a? ??(x-a)(x-a-h)2 f??(ξ)???dx a+h a(x-a)(x-a-h)2 dx =mh312 ,(1.3) o`um= supx?[a,a+h]???f??(x)???. d. Soit{xi}, i= 0,...,nune subdivision de l"intervalle[c,d]de pash. Utiliser la formule des trap`ezes sur chaque intervalle[xi,xi+1]pour approcher?d cf(x)dx. Donner une estimation de l"erreur d"int´egration. 2

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Licence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009Formule d"int´egration compos´ee

Par la formule deChasleson a

d c f(x)dx=n-1? i=0? xi+1 x if(x)dx≈n-1? i=0h2 f(xi) +f(xi+1)? =h?f(c) +f(d)2 +n-2? i=1f(xi)? Estimation de l"erreur d"int´egration compos´ee On a d c f(x)dx-n-1? i=0h2 f(xi) +f(xi+1)? =n-1? i=0? xi+1 x i(f(x)-qi(x))dx, avecqile polynˆome d"interpolation de Lagrange defsur [xi,xi+1],i= 0,..,n-1. Grˆace `a (1.3) on d´eduit d c f(x)dx-n-1? i=0h2 f(xi) +f(xi+1)? i=0h 32
mi, o`umi= supx?[xi,xi+1]???f??(x)???. Ce qui implique d c f(x)dx-n-1? i=0h2 f(xi) +f(xi+1)? i=0h 312
nhh2=M12 (d-c)h2,(1.4) avecM= supx?[c,d]???f??(x)???. La convergence de la m´ethode des trap`ezes compos´ee est quadratique. En fonction du nombrend"intervalles de la subdivision, la majoration (1.4) s"´ecrit : d c f(x)dx-n-1? i=0h2 f(xi) +f(xi+1)? (d-c)3n

2.(1.5)

e. Soitε= 10-1,10-2,10-8,trouvernpour que cette formule de quadrature approche?3

0sin(x)e-x2dxavec une pr´ecisionε.

Nombre de points mimimum pour satisfaire une tol´eranceεdonn´ee f(x) = sin(x)e-x2sur [0,3].

On af?(x) =?

cos(x)-2xsin(x)? e -x2,f??(x) =? -sin(x)-2sin(x)-2xcos(x)-

2xcos(x)+4x2sin(x)?

e -x2=? -3sin(x)-4xcos(x)+4x2sin(x)? e -x2=? (4x2-3)sin(x)-

4xcos(x)?

e -x2. 3

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On trouve finalement

d c f(x)dx-n-1? i=0h2 f(xi) +f(xi+1)? 3 3n qui donne n

2≥15×334

ε-1=4054

ε-1i.e. n≥⎷405ε-12

D"o`u •ε= 0.1?n≥31.819805?n≥32. •ε= 0.01?n≥100.62306?n≥101. •ε= 10-8?n≥100623.06?n≥100624.EXERCICE 2

Formule du point milieu

a. D´eterminer la formule de quadrature suivante b a f(x)dx≈αf(a+b2 pour qu"elle soit exacte pour des polynˆomes de degr´e le plus haut possible. On a ?b a

1dx=b-a=α×1,

b a xdx=b2-a22 = (b-a)b+a2 b a x2dx=b3-a33 ?= (b-a)?b+a2

2,poura?=b.

b. Donner une estimation de l"erreur d"int´egration. Soitple polynˆome de degr´e 1 qui interpolefau point (a+b)/2 (point indispensable) et qui interpolef?au point (a+b)/2 par exemple (c"est un choix). Cela signifie quepest le polynˆome d"interpolation de Hermite de degr´e 1 defau point (a+b)/2. 4

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Licence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009D"une part, on a b a f(x)dx≈? b a p(x)dx= (b-a)p?a+b2 = (b-a)p?a+b2 D"autre part, sif? C2([a,b]) alors il existeξ?]a,b[ tel que f(x) =p(x) +? x-a+b2 22
f??(ξ). On a b a b a? x-a+b2 22
f??(ξ)???dx 12 m? b a? x-a+b2 2 dx,(2.1) o`um= supx?[a,b]???f??(x)???. L"int´egrale peut se calculer de la mani`ere suivante : b a? x-a+b2 2 dx=?b-a2 -b-a2 y 2dy = 2 ?b-a2 0y2dy = 2×(b-a)324 ,(2.2) on obtient b a .(2.3) c. Soit{xi}, i= 0,...,nune subdivision de l"intervalle[c,d]de pash. Utiliser la formule du point milieu compos´ee pour approcher?d cf(x)dx.

Formule d"int´egration compos´ee

On a?d

c f(x)dx=n-1? i=0? xi+1 x if(x)dx≈n-1? i=0hf?xi+xi+12 5

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Licence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009Estimation de l"erreur d"int´egration compos´ee

Soitqile polynˆome d"interpolation de Hermite defen (xi,xi+1)/2 sur [xi,xi+1],i=

0,..,n-1 comme construit dans la questionb.. On a

d c f(x)dx-n-1? i=0hf?xi+xi+12 i=0m i24 h3, o`umi= supx?[xi,xi+1]???f??(x)???. Ce qui donne d c f(x)dx-n-1? i=0hf?xi+xi+12 i=0h 324
nhh2=M24 (d-c)h2,(2.4) avecM= supx?[c,d]???f??(x)???. La convergence de la formule du point milieu compos´ee est quadratique.EXERCICE 3

Formule de Simpson

a. D´eterminer la formule de quadrature suivante 1 -1f(x)dx≈αf(-1) +βf(0) +γf(1),(3.1) et donner son erreur d"int´egration.

Calcul deα,βetγ

On a?1

-11dx= 2 =α+β+γ , 1 -1xdx= 0 =-α+γ , 1 -1x2dx=23

Ce qui donne le syst`eme lin´eaire suivant :

?α+β+γ= 2 -α+γ= 0

α+γ=23

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Licence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009D"o`uα=γ=13 ,β=43 Estimation de l"erreur d"int´egration ´el´ementaire

On a?1

-1x3dx= 0 =13

×(-1) +13

×(1),

1 -1x4dx=25 ?=13

×(-1)4+13

×(1)4,

Soitqle polynˆome de degr´e 3 qui interpolefaux points (-1,f(-1)), (0,f(0)), (1,f(1)) (points indispensables) et qui interpolef?au point 0 par exemple (c"est un choix). Sif? C4([-1,1]) alors il existeξ?]-1,1[ tel que f(x) =q(x) +(x+ 1)x2(x-1)4! f(4)(ξ).

Comme la formule (3.1) est exacte pourq, on a

1 -1q(x)dx=αq(-1) +βq(0) +γq(1) =αf(-1) +βf(0) +γf(1).

Il vient

?1 -1f(x)dx-?

αf(-1) +βf(0) +γf(1)?

1 -1(f(x)-q(x))dx. Donc 1 -1f(x)dx-?

αf(-1) +βf(0) +γf(1)?

1 -1? f(x)-q(x)? dx??? 1 -1? ??(x+ 1)x2(x-1)4! f(4)(ξ)???dx m4! 1 -1(x+ 1)x2(x-1)dx, o`um= supx?[-1,1]???f(4)(x)???. La fonctionx?→(x+ 1)x2(x-1), donc il suffit de calculer l"int´egrale, 1 0 (x+ 1)x2(x-1)dx=? 1 0 (x4-x2)dx=-215

Ce qui entraˆıne

1 -1f(x)dx-?

αf(-1) +βf(0) +γf(1)?

415
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Licence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009ou bien encore 1 -1f(x)dx-?

αf(-1) +βf(0) +γf(1)?

m. b. ´Ecrire cette formule sur[a,a+h]et donner l"erreur d"int´egration en fonction deh.

Formule d"int´egration sur[a,a+h]

Ici il suffit de remarquer que le gros du travail a ´et´e fait dans la question pr´ec´edente, et

que l"on peut passer de l"intervalle [-1,1] `a [a,a+h] grˆace `a une application affine. Soit x=Au+Bcette application affine. On cherche les constantesAetBpar ?A(-1) +B=a,

A(1) +B=a+h,

Ce qui donne

?A=h2

B=a+h2

Le changement de variablex=h2

u+a+h2 , doncdx=h2 du, permet de calculer la formule demand´ee : a+h a f(x)dx=h2 ?1 -1f(h2 u+a+h2 )dx? h2

αf?h2

×(-1) +a+h2

+βf?h2

×(0) +a+h2

+γf?h2

×(1) +a+h2

h2

αf(a) +βf(a+h2

) +γf(a+h)?

D"o`u la formule approch´ee sur [a,a+h] est

a+h a f(x)dx≈h2 13 f(a) +43 f(a+h2 ) +13 f(a+h)? .(3.2) 8

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Licence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009Erreur d"int´egration sur[a,a+h]

On proc`ede comme ci-dessus.

a+h a f(x)dx-h2

αf(a) +βf(a+h2

) +γf(a+h)? h2 1 -1f(x)dx-?

αf(-1) +βf(0) +γf(-1)?

h2 190
m, o`um= supu?[-1,1]???? f(h2 u+a+h2 (4)???.

Commef(x) =f(h2

u+a+h2 ) pourx?[a,a+h] etu?[-1,1], on obtient successivement : f(h2 u+a+h2 ?=h2 f?(h2 u+a+h2 ) =h2 f?(x) f(h2 u+a+h2 ?=?h2 2 f??(h2 u+a+h2 ) =?h2 2 f??(x) f(h2 u+a+h2 (3) =?h2 3 f(3)(h2 u+a+h2 ) =?h2 3 f(3)(x) f(h2 u+a+h2 (4) =?h2 4 f(4)(h2 u+a+h2quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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