Ift 2421 Chapitre 5 Dérivation numérique PDF

L2 Maths UE d'Analyse numérique. Correction - Feuille de TD 2 : Méthodes d'intégration numérique. Exercice 1. (Une méthode sur [−1

Analyse numérique Matmeca 1ere année Corrigé de la feuille 5 I

que lorsqu'on a une formule d'intégration numérique du type. ∫ b af(t) dt Q1 . £ .¦¥ On a vu à l'exercice que la formule de Simpson sur. [ −1;1] est. ∫ 1.

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Analyse numérique Matmeca ‚ere année chée et l'intégration exacte est égale à l'intégrale de l'erreur ... tandis qu'on a vu à l'exercice

Ift 2421 Chapitre 5 Dérivation numérique

Dérivation et intégration numériques. Déterminer avec précision : de dérivation et d'intégration numériques ... Preuve (exercice) ...

Ift24211 Chapitre 5Ift 2421

Chapitre 5

Dérivation

numérique

Ift24212 Chapitre 5Introduction

Dérivation et intégration numériques

Déterminer avec précision :

1. La vitesse à chaque instant

2. L'accélération de la fusée

3. La consommation de carburant

Évaluer les dérivées premières et secondes ainsi que l'intégrale de cette fonction.

Ift24213 Chapitre 5Principe général

de dérivation et d'intégration numériques Si fxPxExnn()()()=+ alors etc... et aussi fxdxPxdxExdxab n ab n ab

Bonne estimation de la fonction

Þ Bonnes estimations de ses dérivées

et de son intégrale. Ift24214 Chapitre 5Dérivation du polynôme de Newton Grégory fxPxExs kfs nhfnnk kn nn()()()()()=+=ae

ø÷++ae

åD0

011 1x

Dériver le polynôme :[]dPx

dxdPx dsds dxdPx dshcarxxsh h d dss kfhd dss kf h fsf ssssssfnnn k kn k kn()()() ae

ø÷ìíîüýþ=ae

úú==åå1

11 1 1 221
1

612210

0 00 0 0 2 0 3 0DD DD DK

Dérivée de l'erreur :dEx

dxhd dss nhf s nhd dxfn nn nn()() ()0 11 111
1 1= +ae +ae ++x x

Note : le terme f(n+1)(x) dépend de x.

Ift24215 Chapitre 5Dérivation du polynôme de Newton Grégory

Pour s = 0, 1, ... , n

les formules se simplifient.

Pour (s = 0 ) :[]¢

úúPxhfsf

ssssssf h ffff n fn n n()() ()0 02 0 3 0 0 2 03 04 0 01 1 221
1 61221
1 1 21
31
4 1DD D DDDD DK K et le terme d'erreur est :dEx dxhd dss nhf s nhd dxfn nn nn()() ()0 11 111
1 1= +ae +ae ++x x¢

Exnhfnn

nn()()()() 0111x
terme qui est en O(hn)

Ift24216 Chapitre 5Exemple :

Table de f(x) = ex à 3 décimales :

xf(x)DfD2fD3fD4f1.33.6690.813

2.512.182Ici h = 0.2

Approximations de la

dérivée en x = 1.7¢ ==P11710212126606(.)...¢ =P 2171

0212121

20268

5390(.).(..)

Erreur sur ¢P

1 :¢

Erreur sur ¢P

2 :¢

=¢¢¢Exf221302()(.)()x

007317010917221.(.)...xxE==£¢£

Ift24217 Chapitre 5Dérivation du polynôme de Newton Grégory

Pour s = 0, 1, ... , n

les formules se simplifient. Cas particulier (s = 1, polynôme de degré 2) :¢=+ae

ø÷Pxhff2102

011 2()DD et le terme d'erreur est :¢ =¢¢¢Exhfn()()1216x terme qui est en O(h2)

Simplification :¢

»¢=-fxPxffh()()121202

Après translation d'indice :¢

fxffh()0112Formule centrée Ift24218 Chapitre 5Formules de calcul des dérivées

Dérivée première :¢

=-+fxffhOh()()010¢ -fxffhOh()()01122 (différences centrées) =-+-+fxfffhOh()()02102432 --fxffffhOh()()0211248812 (différences centrées) Dérivée seconde :¢¢=-++fxfffhOh()()0210

22¢¢=-++

-fxfffhOh()()0101 222
(différences centrées)¢¢=-+-++fxffffhOh()()03210

22452¢¢=-+-+-+

--fxfffffhOh()()021012

2416301612 (différences

centrées)

Dérivées d'ordre supérieur : fxfhOhnn

n ()()00=+D Ift24219 Chapitre 5Instabilité de la différentiation numérique (propagation des erreurs)¢ -fxffhOh()()01122 h ® 0 alors erreur ® 0 et f'exacte.

Erreurs sur les valeurs de la fonction

ffe--* -=±111 ffe111=±* alors¢ -fxffheehOh()()01111222

Si le pas h est trop réduit Þ

Beaucoup d22erreur d'arrondi

\ La dérivation est un processus instable (soustraction entre termes voisins) Calculs en double précision ?Utile si e est une erreur machine (arrondi ou troncature).

Inutile si e est une erreur sur les données.

Ift242110 Chapitre 5Utilisation des séries de Taylor (pour reconstruire les formules de dérivation) au voisinage de x = x

0, nous avons :xxhfxffhfhfhfhfiv

1011002

03 04 03 04

02624()K

Reconstruire la formule f

0' :¢

-fxffhOh()()01122

Soustraire les deux séries :ffhfhfhfv

1103
05 0

2360-=¢+¢¢¢++-K

Diviser par 2h et isoler f

0' :¢

=-+¢¢¢++-fffhh fhfv 0112
04

026120K

Note : Série représentant l'erreur = puissances paires de h seulement.

L'extrapolation de Richardson gagnera 2 ordres.

Ift242111 Chapitre 5Utilisation des séries de Taylor (pour reconstruire les formules de dérivation) au voisinage de x = x

0.xxhfxffhfhfhfhfiv

1011002

03 04 03 04

02624()K

Reconstruire les formules pour f

0', f0'', ...¢

-fxffhOh()()01122 -fxfffhOh()()0101 222

Avec d'autres expansions :fxffhfhfhfhfiv()22002

03 04 0 22432
03 04 0 22432
3K Reconstruire des formules plus complexes :¢¢=-+-+-+ --fxfffffhOh()()021012

2416301612

Ift242112 Chapitre 5Ordre d'une approximationf(x) est d'ordre n au voisinage de 0 si lim x nfx xM®£0O est une constante.

La notation employée est

f(x) = O(xn)Remarque : On devrait plutôt dire f(x) appartient à O(xn).Exemple : f(x) = Sin(x) on a :lim xSinx x

®=01

donc Sin(x) = O(x).

Il faut noter que :

OOxOx

OxOxnn()()()

()()1 2

1ÊÊÊ

ÊÊÊ+K

KRemarque :

· On a toujours

Ohchchn

nn nn()=++++ 11K

· Un terme d'erreur O(hn)

signifie approximativement que :

Si on divise h par 2,

on divise le terme d'erreur par 2n. en effet on a :c hchnn n nn 21
2ae

Ift242113 Chapitre 5Extrapolation de Richardson

· Pas = h

fxfxOh fxKhOhn nn()()() =+++1 1 1

· Pas = 2 h

fxfxOh fxKhOhn nnn()()(()) =+++2 2 12 22

Alors()fxfxfxfxOhnn()()()()()=+--++

1121121

Précision amélioré d'un ordre

Méthode valable pour :

· Interpolation

· Dérivation numérique

· Intégration numérique

Ift242114 Chapitre 5Extrapolation de Richardson

Démonstration

()()()111®-=++++fxfxchchhnn nnK ()()()()()222

2211®-=++

+fxfxchch chhnn nn n nnK 2 n * (1) - (2) ÞÞ

2221nn

hhnfxfxfxfxOh()()()()()--+=+ ()()()()()()()212121nn hhhnfxfxfxfxOh----+=+{}()()()()()()2121n hhhnfxfxfxfxOh--=-++ {}fxfxfxfxOhhnhhn()()()()()-=--++1212 1 {}fxfxfxfxOhhnhhn()()()()()=+--++1212 1

Ift242115 Chapitre 5Exemple :

Dérivée première en x = 2.5

de xf(x)2.30.347182.40.317292.50.285872.60.253372.70.22008Note :

L'extrapolation de

Richardson peut être

appliquée plusieurs fois. f h f 2h f

4hDifférences centrées :

· h = 0.1

f'(2.5) = (f

1-f-1)/2h + O(h2)

= (0.25337-0.31729)/0.2 + O(h2) = -0.3196 + O(h2)

· 2h = 0.2

f'(2.5) = (f

2-f-2)/2h + O(4h2)

= (0.22008-0.34718)/0.4 +

O(4h2)

= -0.3178 + O(4h2)Technique d'extrapolation f'(2.5) = -0.3196 +{ -0.3196 -(-0.3178)}/3 + O(h4) = -0.3203 + O(h4)

Amélioration de 2 ordres.

Ift242116 Chapitre 5Ift 2421

Chapitre 5

Intégration

numérique

Ift242117 Chapitre 5Intégration numérique

n+1 points de collocation xxxx ffffn n012 012K K

Approcher l'intégrale de la fonction

fxdxab

Surface sous la courbe entre a et b

Ift242118 Chapitre 5Intégration numérique

(Quadrature de Newton Cotes)

Polynôme Pn(x) de Newton Gregory

xxxx ffffn n012 012K K L'intégrale du polynôme et de l'erreur est : fxdxPxdxExdxxx n xx n xx nnn ()()()000òòò=+ Ift242119 Chapitre 5Quadrature simple du trapèze (formule de Newton Cotes pour n = 1)

Polynôme Pn(x) de degré 1

PxdxhPsdsxx

1101
01 ()()òò=[]Pxdxhsfsf hfff

Pxdxhffx

x ss x x102 0 01 0 10 1010
1quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

[PDF] Ift 2421 Chapitre 5 Dérivation numérique

Ift24211 Chapitre 5Ift 2421

Chapitre 5

Dérivation

Ift24212 Chapitre 5Introduction

Dérivation et intégration numériques

Déterminer avec précision :

1. La vitesse à chaque instant

2. L'accélération de la fusée

3. La consommation de carburant

Ift24213 Chapitre 5Principe général

Bonne estimation de la fonction

Þ Bonnes estimations de ses dérivées

ø÷++ae

åD0

Dériver le polynôme :[]dPx

ø÷ìíîüýþ=ae

úú==åå1

612210

Dérivée de l'erreur :dEx

Note : le terme f(n+1)(x) dépend de x.

Pour s = 0, 1, ... , n

Pour (s = 0 ) :[]¢

úúPxhfsf

Exnhfnn

Ift24216 Chapitre 5Exemple :

Table de f(x) = ex à 3 décimales :

2.512.182Ici h = 0.2

Approximations de la

0212121

5390(.).(..)

Erreur sur ¢P

1 :¢

Erreur sur ¢P

2 :¢

007317010917221.(.)...xxE==£¢£

Pour s = 0, 1, ... , n

ø÷Pxhff2102

Simplification :¢

»¢=-fxPxffh()()121202

Après translation d'indice :¢

Dérivée première :¢

22¢¢=-++

22452¢¢=-+-+-+

2416301612 (différences

Dérivées d'ordre supérieur : fxfhOhnn

Erreurs sur les valeurs de la fonction

Si le pas h est trop réduit Þ

Beaucoup d22erreur d'arrondi

Inutile si e est une erreur sur les données.

0, nous avons :xxhfxffhfhfhfhfiv

1011002

02624()K

Reconstruire la formule f

0' :¢

Soustraire les deux séries :ffhfhfhfv

2360-=¢+¢¢¢++-K

Diviser par 2h et isoler f

0' :¢

026120K

L'extrapolation de Richardson gagnera 2 ordres.

0.xxhfxffhfhfhfhfiv

1011002

02624()K

Reconstruire les formules pour f

0', f0'', ...¢

Avec d'autres expansions :fxffhfhfhfhfiv()22002

2416301612

La notation employée est

®=01

Il faut noter que :

OxOxnn()()()

1ÊÊÊ

ÊÊÊ+K

KRemarque :

· On a toujours

Ohchchn

· Un terme d'erreur O(hn)

Si on divise h par 2,

Ift242113 Chapitre 5Extrapolation de Richardson