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MT09-Analyse numérique élémentaireChapitre 6 : Intégration Équipe de Mathématiques AppliquéesUTCJuin 20075

SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentssuivantI2Chapitre VIIntégrationVI.1 Motivations et principe des méthodes numériques d"intégration. . . . . . . . .3VI.1 Méthodes utilisant le polynôme d"interpolation. . . . . . . . . . . . . . . . . . .5VI.2 Quadrature deGauss-Legendre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16Exemples du chapitre VI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23Documents du chapitre VI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30Exercices du chapitre VI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38

SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentschapitreN3IIVI.1 Motivations et principe des méthodes numériques d"intégrationDocuments :Document VI.1Il existe deux situations où l"on a besoin de formules pour approcher l"intégrale d"une fonction

f:

I(f) =Z

b a f(t)dt-On ne connaît la valeur defqu"en certains pointst0;t1;:::;tn, et il n"est pas possible

d"avoir d"autres valeurs que celles-ci (c"est le cas quand la fonctionfest tabulée).-Il est possible de calculerf(t)pour untquelconque, mais la primitive defn"est pas

connue, ou bien l"expression analytique defest trop compliquée pour être explicitée (f(t) est par exemple le résultat d"un code de calcul trop complexe). Dans ces deux situations, on doit donc chercher à approcherI(f)à l"aide d"un nombre fini de valeurs defen certains pointst0;t1;:::;tnqui sont soit imposés, soit à choisir de façon op- timale pour que l"approximation soit la meilleure possible. Plus précisément on aura recours

à des combinaisons linéaires de valeurs de la fonction à intégrer en des points de l"intervalle

d"intégration, soitZb a f(t)dt'nX i=0w if(ti):(VI.1) Les pointstisont appelés lesnoeudsde la formule, leswisont lespoids(weights, en anglais), parfois aussi dénomméscoefficientsde la formule. L"application f7!nX i=0w if(ti) et principe des méthodes numériques

d"intégrationqui àffait correspondre une valeur 'approchée" de son intégrale sur l"intervalle considéré définit

uneformule (ouméthode) d"intégration numérique. On dit aussi formule ou méthode de quadrature. Quelques commentaires sont donnés en document.

SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentschapitreNsection suivanteI5VI.1 Méthodes utilisant le polynôme d"interpolationVI.1.1 Principe de la méthode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6VI.1.2 Intervalle de référence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8VI.1.3 Majoration de l"erreur de quadrature - ordre. . . . . . . . . . . . . . .10VI.1.4 Formules de Newton-Cotes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12VI.1.5 Intégration numérique composée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentssectionNsuivantI6IIVI.1.1 Principe de la méthodeExercices :Exercice VI.1Exemples :Exemple VI.1Pour approcher l"intégraleI(f)par une combinaison linéaire des valeurs defen des points

t

0;t1;:::;tn, une première méthode consiste à approcherI(f)par

J(f) =Z

b a p f(t)dt; oùpf(t)est le polynôme qui interpolefaux points distinctst0;t1;:::;tn. Ces points sont choisis le plus souvent dans l"intervalle[a;b]. Nous rencontrerons cependant, dans le chapitre sur les

équations différentielles, des formules de quadrature utilisant des noeuds extérieurs à l"inter-

valle d"intégration. La justification en est très simple : cela permet d"utiliser les valeurs de la

fonction à intégrer en des points où ces valeurs ont déjà été calculées. Nous avons vu au chapitre précédent que le polynôme d"interpolation s"exprime dans la base de Lagrange par p f(t) =nX i=0f(ti)Li(t):

Nous obtenons alors directement

J(f) =nX

i=0w if(ti);avecwi=Z b a L i(t)dt:(VI.1.1) La formule (VI.1.1) est appeléeformule de quadrature. SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentssectionNsuivantIJJ7Principe de la

méthodeDe manière équivalente, nous pouvons aussi obtenir les coefficientswien écrivant que la

formule doit être exacte pour tous les polynômes de degré inférieur ou égal àn, soit de façon

équivalente pour chacun des monômes de la base canonique dePn. Cette équivalence se dé- montre facilement, voir l"exercice référencé. On peut donc calculer les coefficientsw0;:::;wn, en écrivant queI(p) =J(p)pourp2 fp0;p1;:::;pngoùfp0;p1;:::;pngest la base canonique dePn. On obtient le système linéaire 2 6

666641 1:::1

t

0t1::: tn

t20t21::: t2n............ t n0tn1::: tnn3 7

777752

6 664w
0 w 1... w n3 7 775=2
6 664v
0 v 1... v n3 7

775;(VI.1.2)

où v k=Z b a tkdt: La matrice de ce système est une matrice deVandermonde. Son déterminant est non nul

si et seulement si les pointstisont deux à deux distincts. Le système (VI.1.2) admet donc effec-

tivement une solution et une seule.

L"exemple référencé vous permet de voir sur un cas particulier les deux méthodes pour cal-

culer leswi.

SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentsJprécédentsectionNsuivantI8IIVI.1.2 Intervalle de référenceExercices :Exercice VI.2Exemples :Exemple VI.2Une fois les noeudstichoisis, les poidswine dépendent pas de la fonctionfà intégrer. Par

contre, ils dépendent deaetb. Nous allons voir maintenant, qu"il est possible de se ramener sans restriction aucune à approcher des intégrales sur un unique intervalle ditintervalle de

référence. Nous choisirons l"intervalle[1;1], car sa symétrie par rapport à 0 simplifie les

calculs. Par contre, on aurait pu choisir tout autre intervalle, comme par exemple[0;1].

Nous allons donc ramener le calcul d"une intégrale sur un intervalle[a;b]à celui d"une inté-

grale sur[1;1], en utilisant un changement de variable affine. En effet si on pose t=a+b+ (ba)u2; on peut écrire que Zb a f(t)dt=ba2Z 1

1g(u)du;

avec g(u) =fa+b+ (ba)u2 Nous pouvons ainsi définir des formules de quadrature sur[1;1], où ni les noeuds, ni les poids ne dépendent deaoub. Ce sont ces formules que l"on retrouve dans les tables des livres consacrés à l"intégration numérique. SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentsJprécédentsectionNsuivantIJJ9Intervalle de

référenceOn ne retrouve pas une situation aussi simple quand on doit calculer des intégrales doubles

ou triples. En effet, il n"existe pas de transformation de coordonnéessimplepermettant de pas-

ser d"un domaine bi ou tri-dimensionnel quelconque à un domaine de référence. On a alors des

familles de formes de domaines (triangles, quadrangles, tétraèdres,... ) et pour chacune de ces

familles, un domaine de référence. Le passage de la dimension 1 à la dimension 2 ou 3 change

le niveau de complexité du problème de la quadrature.

SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentsJprécédentsectionNsuivantI10IIVI.1.3 Majoration de l"erreur de quadrature - ordreExercices :Exercice VI.3Exercice VI.4Exercice VI.5Exemples :Exemple VI.3L"erreur de quadrature est donnée par

E(f) =I(f)J(f) =Z

b a (f(t)pf(t))dt: Or sifest une fonctionn+1fois continûment dérivable et sipfest son polynôme d"interpolation de degrén, nous avons vu dans le chapitre consacré à l"interpolation, que : f(t)pf(t) = (tt0)(tt1):::(ttn)f(n+1)((t))(n+ 1)!=n(t)f(n+1)((t))(n+ 1)!; où(t)2Int(t;t0;:::;tn). On a donc jE(f)j Z b a jn(t)jjf(n+1)((t))j(n+ 1)!dt=jf(n+1)()j(n+ 1)!Z b a jn(t)jdt;

où2Int(a;b;t0;:::;tn)(on a appliqué le deuxième théorème de la moyenne1). On peut encore

majorer : jE(f)j M(n+ 1)!Z b a

jn(t)jdt;1Sifetgsont deux fonctions continues sur[a;b]et quegne change pas de signe sur[a;b], alors il existec2]a;b[tel

queRb af(x)g(x)dx=f(c)Rb ag(x)dx. SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentsJprécédentsectionNsuivantIJJ11Majoration de l"erreur de quadrature - ordreoùM >0est un majorant dejf(n+1)jsur Int(a;b;t0;:::;tn): On retrouve bien que sifest un polynôme de degré inférieur ou égal àn, alorsE(f) = 0,

c"est à dire que l"approximation est exacte. Nous verrons plus loin, en particulier dans l"exemple

et un exercice référencés ci-dessus, que l"on peut obtenir des estimations plus fines de l"erreur.Définition VI.1.1.Une formule de quadrature exacte pour tous les polynômes de degré inférieur

ou égal àn(nmaximum) est dited"ordrenou de degré d"exactituden.

SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentsJprécédentsectionNsuivantI12IIVI.1.4 Formules de Newton-CotesExercices :Exercice VI.6Nous allons énumérer maintenant quelques formules classiques construites avec destifixés

équidistants. On suppose quet0=a;tn=bet que les pointstisont équidistants : t j+1tj=h=ban,8j= 0;1;:::;n1. On a alorsti=a+ih, pouri= 0;:::;n.

On généralise à un nombre quelconque de points l"idée utilisée pour la méthode des trapèzes :

on approcheI(f)parJ(f) =Z b a p f(t)dt=nX i=0w if(ti);oùpfinterpolefaux pointst0;:::;tn. Donnons maintenant les formules obtenues pour diverses valeurs den. Nous donnerons en même temps, pour chacune d"elles, une estimation de l"erreurEcorrespondante. Formules de Newton-Cotes pourn= 1;2;3:-n= 1: formule destrapèzes(h=ba) : J(f) =h2(f(t0) +f(t1));92[a;b];E(f) =h312f00():-n= 2: formule deSimpson(h= (ba)=2) : J(f) =h3(f(t0) + 4f(t1) +f(t2));92[a;b]; E(f) =h590f(4)():-n= 3: formule deSimpson3/8 (h= (ba)=3) : J(f) =3h8(f(t0) + 3f(t1) + 3f(t2) +f(t3));92[a;b]; E(f) =3h580f(4)(): SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentsJprécédentsectionNsuivantIJJ13Formules de

Newton-CotesOn a le résultat général suivant :Théorème VI.1.1 (Formules de Newton-Cotes avec reste).Sinest pair et sifestn+ 2fois continûment dérivable, il existe2[a;b]tel que

Z b a f(t)dt=nX i=0w if(ti) +hn+3f(n+2)()(n+ 2)!Z n 0 t2(t1):::(tn)dt; Sinest impair et sifestn+ 1fois continûment dérivable, il existe2[a;b]tel que Z b a f(t)dt=nX i=0w if(ti) +hn+2f(n+1)()(n+ 1)!Z n 0 t(t1):::(tn)dt;: Les coefficientswisont obtenus par résolution du système (VI.1.2) ou par le calcul deRb apf(t)dt, oùpfest le polynôme d"interpolation. On peut remarquer que pournpair (donc un nombre impair de points) les formules de

Newton-Cotes sont exactes pour les polynômes de degré inférieur ou égal àn+ 1, alors que

pournimpair, ces formules sont exactes pour les polynômes de degré inférieur ou égal àn. Le

casnpair donne donc des formules d"ordre plus élevé que prévu. Ceci a une conséquence di-

recte : lorsquenest pair, ajouter un seul point n"améliore pas l"approximation de l"intégrale, il

faut ajouter2points.

SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentsJprécédentsectionN14IIVI.1.5 Intégration numérique composéeExercices :Exercice VI.7Documents :Document VI.2Dans la pratique on dépasse rarementn= 2, pour les mêmes raisons qui font préférer les

splines au polynôme d"interpolation qui a tendance à osciller fortement quandndevient grand.

Pour traiter de grands intervalles on utilise une approche locale : on découpe d"abord l"intervalle

[a;b]et on applique des formules d"ordre faible sur les sous-intervalles. Par exemple pour la

méthode des trapèzes :1.On subdivise l"intervalle[a;b]enNsous-intervalles à l"aide de points de subdivisionti=

a+ih, pouri= 0;:::;N, avech= (ba)=N,2.puis sur chaque sous-intervalle[ti;ti+1]on applique la méthode des trapèzes.

On obtient ainsi la formule composée suivante : J(f) =hf(t0) +f(t1)2+f(t1) +f(t2)2++f(tN1) +f(tN)2 =h

12f(t0) +N1X

i=1f(ti) +12f(tN)! Pour le calcul de l"erreur, on somme les erreurs commises sur chacun des sous-intervalles, soit

E(f) =N1X

i=0E i(f);avecEi(f) =h312f00(i);

oùi2[ti;ti+1]. On applique alors le théorème de la valeur intermédiaire2pour invoquer2Sifest continue sur[a;b]alors il existec2]a;b[tel quef(c) = [f(a) +f(b)]=2.

numérique composéel"existence d"un nombre2[a;b]tel que f

00() =1NN1X

i=0f

00(i);

l"erreur globale s"écrit

E(f) =ba12h2f00():

De même pour la méthode de Simpson : on suppose queNest pair, soitN= 2M. La formule obtenue est la suivante (à montrer en exercice) :

J(f) =h3

f(t0) + 4M1X i=0f(t2i+1) + 2M1X i=1f(t2i) +f(t2M)! où on a toujours poséh= (ba)=N, et par la même technique que précédemment, on obtient l"estimation d"erreur :

E(f) =ba180h4f(4)(); 2[a;b]:

Dans le document référencé, on trouve un calcul d"estimation a posteriori de l"erreur et une

technique d"utilisation de ces estimations pour construire des méthodes de quadratureadapta- tives.

SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentsJsection précédentechapitreNsection suivanteI16VI.2 Quadrature deGauss-LegendreVI.2.1 Les polynômes de Legendre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17VI.2.2 La méthode de Gauss-Legendre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20

SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentssectionNsuivantI17IIVI.2.1 Les polynômes de LegendreExercices :Exercice VI.8Le problème considéré est toujours le même, à savoir trouver une formule

J(f) =nX

i=0w if(ti); faisant intervenirn+ 1valeurs def, permettant d"approcher

I(f) =Z

b a f(t)dt: Les formules de Newton-Cotes consistent à choisir lestiéquidistants sur l"intervalle[a;b]. On a vu au théorèmeVI.1.1que ces formules sont au mieux d"ordren+ 1. Lorsqu"il est possible de connaîtref(t)pourtquelconque, on peut imaginer choisir non seulement les poidswi, mais

aussi les pointsti, de manière à obtenir une formule d"ordre plus élevé. On dispose alors de

2n+ 2degrés de liberté, et on peut espérer obtenir ainsi une formule àn+ 1points d"ordre

2n+ 1. Nous allons voir maintenant comment choisir ces2n+ 2paramètres.Définition VI.2.1.On appellepolynôme de Legendred"ordrekle polynôme

g k(t) =dkdtk(t21)k; k2IN:-On ag0(t) = 1,g1(t) = 2t,g2(t) = 12t24,g3(t) = 120t372t, etc. polynômes de

Legendre-Le terme de plus haut degré degkest(2k)!k!tk.-Le polynômegkest de degrék, doncfg0;g1;:::;gngforme une base dePn.Lemme VI.2.2.Quel que soit l"entierk1et0ik1, le polynôme

d idti(t21)k; admet 1 et -1 comme racines. Démonstration -Il suffit de remarquer que si l"on noteple polynôme tel que : p(t) = (t21)k= (t1)k(t+ 1)k; alors 1 et -1 sont racines d"ordrekdep, donc 1 et -1 sont racines d"ordrek1dep0,:::, 1 et -1 sont racines d"ordre 1 dep(k1). Ce qui démontre le résultat. Ce lemme permet de démontrer un théorème fondamental sur lequel repose la particularité

des formules de Gauss-Legendre.Théorème VI.2.3.Les polynômes de Legendre, sont orthogonaux sur[1;1], ce qui veut dire

que pouri6=kon a : hgi; gki=Z 1 1g i(t)gk(t)dt= 0:(VI.2.1)DémonstrationCommeg0= 1on a, pourk1: 0 = Z 1 1g

0(t)gk(t)dt=Z

1 1g k(t)dt= 0:(VI.2.2) polynômes de

LegendreCorollaire VI.2.4.Quel que soitn1, le polynômegnest orthogonal à tout polynôme de degré

inférieur ou égal àn1, soit Z 1 1g n(t)p(t)dt= 0;8p2 Pn1: Démonstration -Puisquefg0;:::;gn1gest une base dePn1, il existea0;:::;an1tels que p(t) =n1X i=0a igi(t); donc Z1 1g n(t)p(t)dt=n1Xquotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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