[PDF] PHQ434 : Mécanique quantique II

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MÉCANIQUE QUANTIQUE II

PHQ434

par

David SÉNÉCHAL

Ph.D., Professeur Titulaire

UNIVERSITÉ DESHERBROOKE

Faculté des sciences

Département de physique

30 mai 2018

2

Table des matières

Table des matières3

1 Rappels et principes de base9

A Postulats de la mécanique quantique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

1.A.1 État d"un système. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

1.A.2 Grandeurs physiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

1.A.3 Évolution temporelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

1.A.4 Quantification canonique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

B Observables compatibles, ECOC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

1.B.1 Ensemble complet d"observables qui commutent. . . . . . . . . . . . . . . .17

1.B.2 Compatibilité des mesures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

C Observables incompatibles et relations d"incertitude. . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

1.C.1 Incompatibilité des mesures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

1.C.2 Relations d"incertitude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

D Mouvement d"une particule. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

1.D.1 Position. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

1.D.2 Moment conjugué. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

1.D.3 Particule dans un potentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

E Systèmes composés : produit tensoriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

1.E.1 Produit tensoriel d"espaces vectoriels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

1.E.2 Produit tensoriel d"opérateurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

F Principe variationnel de Rayleigh-Ritz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28

2 L"oscillateur harmonique37

A États propres de l"oscillateur harmonique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38

2.A.1 Opérateurs d"échelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38

2.A.2 États propres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39

2.A.3 Opérateurs position et impulsion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40

2.A.4 Fonctions d"onde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

B Mouvement dans un champ magnétique : niveaux de Landau. . . . . . . . . . . . .42

C Le champ électromagnétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44

2.C.1 Modes électromagnétiques dans une cavité simplifiée. . . . . . . . . . . . .44

2.C.2 Photons. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46

D États cohérents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48

2.D.1 Superposition d"états stationnaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48

2.D.2 États cohérents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49

3 Théorie du moment cinétique59

A Relations de commutation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59 B Quantification du moment cinétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60

3.B.1 États propres du moment cinétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60

3.B.2 Matrices du moment cinétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62

C Harmoniques sphériques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64

3.C.1 Moment cinétique orbital en coordonnées sphériques. . . . . . . . . . . . .64

3

4TABLE DES MATIÈRES

3.C.2 Harmoniques sphériques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65

D Moment cinétique et rotations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71

3.D.1 Rotations en tant que transformations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71

3.D.2 Rotations infinitésimales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71

3.D.3 Rotations finies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73

3.D.4 Rotations d"une observable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73

3.D.5 Invariance par rotation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74

E Niveaux de rotation des molécules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75

3.E.1 Le rotor quantique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75

3.E.2 Le rigide quantique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75

4 Systèmes à deux niveaux85

A Spin1

2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85

4.A.1 Moment cinétique intrinsèque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85

4.A.2 Spineurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86

4.A.3 Expérience de Stern et Gerlach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86

B Description générale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88

4.B.1 Sphère de Bloch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88

4.B.2 Correspondance avec le spin1

2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89

4.B.3 Rotation d"un spineur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90

4.B.4 Observables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91

C Résonance magnétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92

4.C.1 Précession de Larmor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92

4.C.2 Champ transverse et oscillations de Rabi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93

4.C.3 Résonance magnétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94

D Autres systèmes à deux niveaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99

4.D.1 Restriction aux deux niveaux les plus bas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99

E Interaction lumière-matière : modèle de Jaynes-Cummings. . . . . . . . . . . . . .101

5 Potentiel central et atome d"hydrogène109

A Problème à deux corps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109

B Mouvement d"une particule dans un potentiel central. . . . . . . . . . . . . . . . . .110

5.B.1 Potentiel effectif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111

C Problème de Kepler : atome d"hydrogène. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112

5.C.1 Solution de l"équation radiale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112

5.C.2 Quantification de l"énergie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114

5.C.3 Description des états propres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .115

5.C.4 Raies spectrales de l"hydrogène. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117

5.C.5 Échelles caractéristiques et atomes hydrogénoïdes. . . . . . . . . . . . . . .119

D L"oscillateur harmonique tridimensionnel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120

6 Théorie des perturbations125

A Perturbations stationnaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125

6.A.1 Approximation du premier ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126

6.A.2 Approximation du deuxième ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127

6.A.3 Cas d"un niveau dégénéré au premier ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . .128

B Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129

6.B.1 Effet Stark dans l"atome d"hydrogène. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129

6.B.2 Force de van der Waals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131

C Perturbations dépendant du temps et spectres continus. . . . . . . . . . . . . . . . .134

6.C.1 Série de Dyson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134

TABLE DES MATIÈRES5

6.C.2 Approximation du premier ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135

6.C.3 Règle d"or de Fermi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137

6.C.4 Processus de désintégration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138

6.C.5 Absorption et émission stimulée de rayonnement par un atome. . . . . . .140

7 Particules identiques145

A Particules indiscernables en mécanique quantique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .145

7.A.1 Rappels sur les permutations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .146

7.A.2 Opérateur de permutation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .148

7.A.3 Fermions et bosons. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .148

B Fonctions d"ondes à plusieurs fermions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151

7.B.1 Déterminants de Slater. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151

7.B.2 Fermions sans interactions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152

7.B.3 Spin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153

7.B.4 Principe d"exclusion de Pauli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .154

C Atomes à plusieurs électrons. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .155

7.C.1 Potentiel effectif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .155

7.C.2 Couches électroniques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .156

7.C.3Addition des moments cinétiques, termes spectroscopiques et règles de Hund158

8 Mesure et environnement167

A Matrice densité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .167

8.A.1 Motivation : système comportant deux spins. . . . . . . . . . . . . . . . . . .167

8.A.2 Définition générale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .168

8.A.3 Évolution temporelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .170

8.A.4 Trace sur un sous-système. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .170

8.A.5 Théorème de Gleason. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172

8.A.6 Décomposition de Schmidt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172

8.A.7 Enchevêtrement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .173

B Le processus de mesure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .175

8.B.1 Évolution temporelle de la matrice densité : systèmes découplés. . . . . .175

8.B.2 Évolution non unitaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .175

8.B.3 Décohérence et réduction du paquet d"ondes. . . . . . . . . . . . . . . . . . .177

C Paradoxes de la réalité quantique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .178

8.C.1 Paradoxe d"Einstein-Podolsky-Rosen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .178

8.C.2 Le paradoxe de Greenberger-Horne-Zeilinger. . . . . . . . . . . . . . . . . .179

8.C.3 Inégalité de Clauser-Horne-Shimony-Holt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182

8.C.4 Confirmations expérimentales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .184

Index188

6TABLE DES MATIÈRES

Table des problèmes

1.1 Commutateurs et anticommutateurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

1.2 Égalité de deux opérateurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

1.3 Matrice non hermitienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

1.4 Mesure de l"énergie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30

1.5 Théorème de Hellmann-Feynman. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30

1.6 Sauts de particules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

1.7 Projecteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

1.8 Bras et kets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

1.9 Principe d"incertitude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32

1.10 Particule libre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32

1.11 Théorème du viriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32

1.12 Relation de Hausdorff. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33

1.13 Relation de Campbell-Baker-Hausdorff. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

1.14 Produits tensoriels d"opérateurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

1.15 Produit tensoriel de matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

1.16 Clônage quantique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

1.17 Méthode de Rayleigh-Ritz appliquée au problème de Kepler. . . . . . . . . . . . . .35

1.18 Méthode de Rayleigh-Ritz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

2.1 Incertitude dexetpdans les états stationnaires de l"oscillateur harmonique. . .54

2.2 Deux oscillateurs harmoniques couplés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54

2.3 Oscillateur dans un champ électrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55

2.4 Oscillateur harmonique renormalisé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55

2.5 Relation de fermeture pour les états cohérents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55

2.6 États cohérents : éléments de matrice de la position. . . . . . . . . . . . . . . . . . .56

2.7 Valeur moyenne de l"exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56

2.8 Oscillateur forcé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56

2.9 États comprimés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56

3.1 Somme de moments cinétiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80

3.2 Incertitude sur Jx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80

3.3 Harmoniques sphériques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80

3.4 Harmoniques sphériques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80

3.5 Interaction d"échange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81

3.6 Invariance du produit scalaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81

3.7 Rotation des états propres du moment cinétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81

3.8 Petite rotation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81

3.9 Matrice de rotation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81

3.10 Moment cinétique et axes liés à un objet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82

3.11 Molécule diatomique polaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82

4.1 Interaction d"échange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104

4.2 Expérience de Stern et Gerlach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104

4.3 Oscillateur fermionique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105

4.4 Précession de Larmor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105

4.5 Valeurs propres d"une matrice hermitienne 22. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105

4.6 Renversement d"un spin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106

7

Table des matières

4.7 Système à deux niveaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106

4.8 Écho de spin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106

4.9 Modèle de Jaynes-Cummings. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107

5.1 Perturbation en 1=r2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122

5.2 Distance la plus probable entre proton et électron. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122

5.3 Mouvement dans une combinaison d"états stationnaires. . . . . . . . . . . . . . . .122

5.4 Atome muonique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122

5.5 Mouvement sur un cylindre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .123

5.6 Coquilles concentriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .123

5.7 Puits sphérique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .123

6.1 Oscillateur anharmonique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .142

6.2 Force entre un atome et une paroi conductrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .142

6.3 Oscillateur harmonique couplé à un système à deux niveaux. . . . . . . . . . . . .142

6.4 Modèle de Jaynes-Cummings. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .143

6.5 Émission stimulée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .143

6.6 Impulsion sur un oscillateur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .143

7.1 Exercices sur les permutations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .164

7.2 Relation de fermeture à deux fermions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .164

7.3 État à trois fermions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .164

7.4 Coprobabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .164

7.5 Répulsion coulombienne entre deux particules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .165

7.6 Terme d"échange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .165

7.7 Terme spectroscopique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .166

8.1 Matrice densité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .186

8.2 Enchevêtrement de spins. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .186

8.3 Paradoxe de Zénon quantique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .186

8.4 Appareil de mesure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .186

8

CHAPITRE1

Rappels et principes de base

Le coursMécanique quantique II(PHQ430) est le deuxième de l"axe " mécanique quantique » au

baccalauréat en physique de l"Université de Sherbrooke. Le premier cours de la série,Mécanique

quantique I(PHQ330), couvre les éléments suivants :

1.Description des phénomènes quantiques qui ont suscité le développement de la théorie au

début du XXesiècle : aspects ondulatoires de la propagation des particules, aspects corpus- culaires de l"interaction du rayonnement avec la matière, manifestations de la quantification de l"énergie dans les atomes, etc.

2.Description de la première théorie quantique (Bohr-Sommerfeld).

3.Mécanique ondulatoire, basée sur le concept de fonction d"onde .

4.Formalisme mathématique de la mécanique quantique : espaces de Hilbert, opérateurs,

notation de Dirac.

5.Postulats formels de la mécanique quantique.

6.Problèmes unidimensionnels : puits et barrières de potentiel, oscillateur harmonique.

7.Processus de mesure et probabilités

Le deuxième cours, l"objet de ces notes, se veut une continuité du premier. Il met plus à profit le

formalisme mathématique de la MQ en fonction d"opérateurs, traite de problèmes tridimensionnels,

introduit des méthodes d"approximation et traite de l"identité des particules.

APostulats de la mécanique quantique

Il n"y a pas de manière unique d"énoncer les postulats de la mécanique quantique, ni même de

les dénombrer. Les postulats qui suivent sont formulés légèrement différemment de ce qui a été

énoncé en PHQ330, mais le contenu est strictement équivalent. 9

Chapitre 1. Rappels et principes de base

1.A.1État d"un système

Postulat 1 : Principe de superposition

À chaque système physique est associé un espace projectif de HilbertE. L"état du système est

défini à chaque instanttpar un vecteurj (t)ideE. Tout vecteur qui diffère dej (t)ipar

un facteur multiplicatif2Creprésente le même état physique et est considéré équivalent.

1.Ce principe tire son nom du fait qu"une combinaison linéairej 1i+j 2ide deux vecteurs

représente aussi un état possible du système. Cette propriété du monde quantique est primordiale.

2.Des vecteursj iet 0iqui sont des multiples l"un de l"autre (j i= 0i) étant considérés

équivalents, l"espace de HilbertEcomporte desclasses d"équivalences(des ensembles de vecteurs équivalents) qui sont appeléesrayons. Un état physique correspond en fait à un rayon.

3.En pratique, on a l"habitude de considérer uniquement des états normés, tels queh j i=1.

Mais cette condition de normalisation ne suffit pas à spécifier de manière unique un état, car

il reste une liberté de phase, qui fait que les deux vecteurs normésj ieteij ireprésentent le même état.

4.Tout espace vectoriel est défini sur un corps K. En particulier, l"espaceEest défini sur le

corps des complexesC. Il existe des systèmes pour lesquels une définition sur les réelsRest suffisante, mais cela est l"exception.

5.Le fait queEsoit un espace de Hilbert a un sens précis en mathématiques, relié à la

convergence du développement d"un état sur une basefjnigdans le cas d"un espace de dimension infinie. Cette exigence se traduit formellement par la libre utilisation de la relation de fermetureX n jnihnj=I(1.1) que nous allons utiliser régulièrement sans la remettre en question.

1.A.2Grandeurs physiques

Postulat 2 : Grandeurs physiques

a)À toute grandeur physique mesurableAcorrespond un opérateur linéaire hermitien Aagissant sur l"espace des étatsE. Cet opérateur est appelé l"observableassociée à la grandeur physiqueA. b)Les seules valeurs possibles résultant d"une mesure deAsont des valeurs propresande l"opérateur A (icinsert d"étiquette pour les différentes valeurs propres). 10

A. Postulats de la mécanique quantique

Postulat 3 : Processus de mesure

a)SoitP(an)l"opérateur de projection vers le sous-espace deEassocié à la valeur proprean (ce sous-espace peut être de dimension 1 ou plus). Si le système est dans l"étatj i, alors une mesure deAeffectuée dans cet état donnera la valeuranavec une probabilité

P(an) =jP(an)j ij2=h jP(an)j i(1.2)

b)Le processus de mesure change l"état du système : immédiatement après, le système est

dans l"état P(an)j iou, après normalisation,

P(an)j iph jP(an)j i(1.3)

Remarques :

FLe fait que l"opérateur A soit hermitien assure que ses valeurs propres sont réelles. FRappelons qu"un projecteur P est un opérateur hermitien tel que P2=P. FSijiest un vecteur normalisé quelconque, le projecteur sur le sous-espace engendré par ce vecteur s"exprime ainsi :P=jihj. En effet, l"application dePsur un étatj idonne alors(hj i)ji, ce qui représente bien la projection du vecteurj idans la direction du vecteurji.

FL"observable peut être représentée en fonction des projecteurs sur ses différents espaces

propres de la manière suivante : A= X n a(n)P(an)(1.4) L"ensemble des valeurs propres deAforment sontspectre, et la décomposition ci-dessus en fonction des projecteurs porte le nom dereprésentation spectralede A. FSupposons en général qu"une valeur propreandeAsoit associée àdnvecteurs propres linéairement indépendants, qu"on noteraj ri(r=1,2,...,dn). On peut toujours choisir ces dnvecteurs propres comme étant orthonormés. Dans ce cas, le projecteurP(an)s"exprime ainsi

P(an) =

dnX r=1 j rih rj(1.5) et l"observable A elle-même peut s"exprimer comme suit : A= X n dnX r=1 anj rih rj(1.6) Il n"est pas toujours pratique de tenir compte de la dégénérescence des valeurs propres de manière explicite, comme ci-dessus. On pourrait également écrire la formule générale A= X n anjanihanj(1.7) oùjanidésigne un vecteur propre normalisé associé à la valeur proprean. Seulement, dans cette version, on ne suppose pas nécessairement que toutes les valeurs propres sont distinctes (il y a possibilité de dégénérescence). 11

Chapitre 1. Rappels et principes de base

FL"étatj inous donne une distribution de probabilités pour la valeur d"une observableA. La valeur moyenne associée à cette distribution est hAi= X n anP(an) = X n anh jP(an)j i= X n anh janihanj i =h j X n anjanihanj j i=h jAj iquotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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