[PDF] Physique Statistique Exercices de Travaux Dirigés

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Licence 3 et Magistere de physique

Physique Statistique

Exercices de Travaux Dirig

es

4 avril 2018

Table des matieres

Formulaire3

TD 1 : Marche aleatoire et theoreme de la limite centrale 5

1.1 Loi binomiale et marche aleatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

TD 2 : Espace des phases et ergodicite 8

2.1 Ergodicite pour une bille dans un

uide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Theoreme H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.3Evolution dans l'espace des phases et theoreme de Liouville . . . . . . . . . . . .10

2.4 Chaos et ergodicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.5 Oscillateur harmonique 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

TD 3 : Densites d'etats 13

3.1 Systemes a deux niveaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

3.2 Volume de l'hypersphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

3.3 Densite d'etats semiclassique des particules libres . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

3.4 Densite d'etats d'une particule libre relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

3.5 Oscillateurs harmoniques classiques et quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

3.AAnnexe :Regle semi-classique de sommation dans l'espace des phases. . . . . .15

TD 4 : Postulat fondamental et ensemble microcanonique 16

4.1 Gaz parfait classique monoatomique { Formule de Sackur-Tetrode . . . . . . . .

16

4.2 Extensivite et paradoxe de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

4.3 Cristal paramagnetique et temperatures (absolues) negatives . . . . . . . . . . .

17

4.4 Les temperatures (absolues) negatives sont les plus chaudes! . . . . . . . . . . . .

17

4.5 Contact thermique entre deux bo^tes cubiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

4.6 Isothermes et isentropes d'un gaz parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19 1 TD 5 : Ensemble canonique (systemes en contact avec un thermostat) 21

5.1 Le cristal de spin 1=2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

5.2 Le gaz parfait monoatomique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

5.3 Gaz parfait diatomique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

5.4 Paramagnetisme de Langevin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

5.5 Paramagnetisme de Brillouin (traitement quantique) . . . . . . . . . . . . . . . .

24

5.6 Gaz : parfaits, connes, non parfaits, etc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

5.7 Fonction de partition d'une particule dans une bo^te { r^ole des conditions aux

limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.8 Gaz de particules indiscernables dans un puits harmonique . . . . . . . . . . . .

27

5.AAnnexe :Regle semiclassique de sommation dans l'espace des phases. . . . . .28

5.BAnnexe :Moyenne canonique d'une quantite physique. . . . . . . . . . . . . . .28

TD 6 : Thermodynamique des oscillateurs harmoniques 29

6.1 Vibration des corps solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

6.2 Thermodynamique du rayonnement electromagnetique . . . . . . . . . . . . . . .

31

6.3Equilibre matiere-rayonnement et emission spontanee . . . . . . . . . . . . . . . .31

TD 8 : Ensemble grand-canonique { (systemes en contact avec un reservoir de particules) 33

8.1 Gaz parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

8.2 Adsorption d'un gaz a la surface d'un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

8.3 Fluctuations de l'energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

8.4 Modele d'Ising et gaz sur reseau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

8.5 Fluctuations de densite dans un

uide { Compressibilite . . . . . . . . . . . . . . 36
TD 9 : Statistiques quantiques (1) : Fermi-Dirac 38

9.1 Gaz de fermions libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

9.2 Paramagnetisme de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

9.3 Semi-conducteur intrinseque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

9.4 Gaz de fermions relativistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

9.5Etoile a neutrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

TD 10 : Statistiques quantiques (2) : Bose-Einstein 42

10.1 Condensation de Bose-Einstein dans un piege harmoniquse . . . . . . . . . . . .

42
2

Formulaire

Fonction Gamma d'Euler(z)def=Z

1 0 dttz1etpour Rez >0(1)

Remarque : toutes les integrales du type

R1

0dxxaeCxbpeuvent s'exprimer a l'aide de la fonc-

tion . La relation fonctionnelle (facile a demontrer) :(z+ 1) =z(z)(2) permet de prolonger analytiquement la fonction a l'autre moitie du plan complexe, Rez60. Valeurs particulieres :(1) = 1 & (1=2) =pd'ou, par recurrence, (n+ 1) =n! (3) (n+12 ) =p 2 n(2n1)!! (4) ou (2n1)!!def= 135 (2n1) =(2n)!(2n)!!et (2n)!!def= 24 (2n) = 2nn!.

Integrales gaussiennes

Une integrale, reliee a (1=2),Z

R dxe12 ax2=r2a(5)

Une integrale, reliee a (3=2),Z

R dxx2e12 ax2=1a r2a (6)

Plus generalement

Z R +dxxne12 ax2=12 2a n+12 n+ 12 (7)

La transformee de Fourier de la gaussienne :

Z R dxe12 ax2+ikx=r2a e12ak2(8)

Fonction Beta d'Euler

B(;) =Z

1 0 dtt1(1t)1= 2Z =2 0 dsin21cos21=()()(+)(9)

Formule de Stirling

(z+ 1)'p2z zzezi.eln(z+ 1) =zlnzz+12 ln(2z) +O(1=z)(10) qui sera en pratique souvent utilisee pour calculer ln(n!)'nlnnnouddnln(n!)'lnn. 3

Formule du bin^ome

(x+y)N=NX n=0C nNxnyNnouCnNN n def=N!n!(Nn)!(11) et sa generalisation (x1++xM)N=X m

1;;mMt:q:P

kmk=NN!m

1!mM!xm11xmMM(12)

Autres integrales utiles

Z 1 0 dxx1e x1= ()() ou() =1X n=1n (13) est la fonction zeta d'Euler. On a(2) =26 ,(3)'1:202,(4) =490 , etc. Z 1 0 dxx4sh

2x=430

(14) (on peut la deduire de la relation precedente pour= 4). 4 TD 1 : Marche aleatoire et theoreme de la limite centrale

1.1 Loi binomiale et marche aleatoire

Nous etudions le deplacement d'un marcheur pouvant se mouvoir sur un axe : a chaque pas de temps il choisit d'aller soit a droite avec probabilitep2[0;1], soit vers la gauche avec probabilite q= 1p(cf. Fig. 1). Chaque pas estindependantdu precedent.x=1-qp p -2 -1 0...+1 +2... time xFigure1 :Marcheur sur un axe.A droite : on a genere aleatoirement20marches symetriques de100pas chacune.

A. Loi binomiale.

1/ Distribution.{ApresMpas, quelle est la probabilite M(n) pour que le marcheur ait fait

npas a droite? Verier la normalisation.

2/ Expression des moments.{Exprimer lekeme moment, i.e.

nk, comme une somme (at- tention, le nombre de pasnest la variable aleatoire alors queMest un parametre du probleme).

Savez-vous calculer cette somme?

3/ Calcul des moments : fonction generatrice.{On introduit une fonction auxiliaire,

appelee \fonction generatrice", G

M(s)def=hsni;(15)

fonction de la variable (eventuellement complexe)s. a) Supposant connue la fonctionGM(s), comment deduire en principe les moments? b) Pour la loi binomiale M(n) determinee precedemment, calculer explicitementGM(s); deduire hniethn2ipuis la variance Var(n)def=hn2ihni2. Comparer les uctuations a la valeur moyenne. c)Facultatif :on introduit une autre denition pour la fonction generatrice :WM()def= lnGM(e), ouest appelee \variable conjuguee" (de la variable aleatoire). Verier que le developpement pour!0 estWM() =hni+ (2=2)Var(n) +(ce qui donne la va- riance plus rapidement). On pourra essayer de justier plus generalement ce developpement en comparant les denitions deGM(s) etWM().

4/ LimiteM! 1.{Dans cette question on analyse directement la distribution dans la limite

M! 1. En utilisant la formule de Stirling, developper lnM(n) autour de son maximum n=n. Justier que M(n) est approximativement gaussienne dans la limiteM! 1(preciser une condition surp). Tracersoigneusementl'allure de la distribution. B. Marcheur.{On revient a l'etude du marcheur, dont la position sur l'axe estx. La longueur d'un pas esta.

1/Exprimerxen fonction du nombre de sauts vers la droiten. Deduire les deux premiers

moments dex(en utilisant les resultats duA). 5

2/ Vitesse de derive.{Le marcheur attend un tempsentre deux sauts. Exprimer la vitesse

de derive V def= limt!1hxitt (16) en fonction dea,et la probabilitep;hxitest la moyenne au tempst=M.

3/ Constante de diusion.{An de caracteriser l'etalement de la distribution du marcheur,

on introduit la constante de diusion D def= limt!1 x2 t hxi2 t2t(17)

ExprimerDen fonction des parametres du probleme.

4/Donner l'expression de la densite de probabilitePt(x) de la position du marcheur au temps

t. Verier la normalisation (dans le casp= 1=2, on pourra discuter la relation precise entre

M(n) etPt(x)).

C. Distribution continue des sauts et universalite.{On considere un autre modele de marche aleatoire : la position du marcheur n'est plus restreinte a un reseau de points mais peut prendre une valeur dansR.A chaque intervalle de temps, il fait un saut distribue avec la loi p(h).

1/Justier que la distribution de la position au tempstobeit a la recurrence

P t+(x) =Z dhp(h)Pt(xh):(18) On choisit maintenant une des deux methodes proposees ci-dessous pour resoudre cette equation.

2/ Methode 1 : pour la marche gaussienne symetrique.{On considere une loi gaussienne

symetriquep(h) = (p2 )1exph2=(22). En utilisant un resultat connu sur la convolution des gaussiennes, deduirePM(x). Donner l'expression de la constante de diusion en fonction deet.time xFigure2 : 50marches generees a partir de100sauts distribues par une loi gaussienne.

3/ Methode 2 : pour le cas general.{On ne fait pas d'hypothese specique sur la loip(h),

uniquement supposee \etroite" (dont les premiers moments sont nis,hhi<1ethh2i<1). On considere des \petits" intervalles de temps,!0, et des \petits" pas (la largeur dep(h) tend vers zero). a) Dans l'equation integrale (18), developper le membre de gauche au premier ordre,Pt+(x)' P t(x) + @tPt(x), et la distribution dans l'integrale au deuxieme ordre,Pt(xh)'Pt(x) h@ xPt(x) +h2@2xPt(x). 6 b) On suppose que les trois parametres/,hhi /ethh2i /tendent simultanement vers zero, proportionnellement au parametre!0+. Montrer qu'on obtient une equation aux derivees partielles pourPt(x), qu'on ecrira en termes deVetD. c) Donner la solution de l'equation aux derivees partielles (la methode de resolution la plus simple est de fourieriser en espace).

4/ Universalite.{Justier pourquoi les dierents modeles de marcheurs conduisent tous a la

m^eme loi universellePt(x), dans la limite d'un grand nombre de pas.

D. Casd-dimensionnel et application.

1/On considere un marcheur dansRd.A chaque pas il fait maintenant un saut~x=h1~e1++

h d~ed, ou leshisontdvariables aleatoiresindependantes, decrites par la m^eme loi symetrique p(h). Deduire la distribution de la position du marcheur dansRd(on utilisera le resultat duC pourd= 1).

2/Exprimerh~x2i, en fonction de la constante de diusion denie plus haut dans le cas unidi-

mensionnel (on devra donc considererhxixjipouri=jeti6=j).

3/Facultatif :Loi jointeversusloi marginale.{~x2R2est distribue par la loi gaussienne

obtenue a la limite d'un grand nombre de sauts. Comment passer de la distribution jointePt(x;y) a laloi marginaleQt(r) der=px

2+y2? Comparer le calcul deh~x2ia partir dePt(x;y) et

deQt(r). Calculer la valeur moyennehripuis la valeur typiquertyp(pour laquelleQt(r) est maximum). Tracer soigneusementQt(r).

4/ Application : molecule dans un gaz.{Typiquement, dans un gaz a temperature am-

biante, une molecule a une vitessev500 m=s et subit des chocs avec d'autres molecule tous les2ns. Comparer la distance typique couverte entre deux chocs avec la distance typique a la molecule la plus proche (pourp= 1 atm,T= 300 K).. Comparer le mouvement diusif de la molecule apres une seconde (nombre de chocs, distance typique nalement parcourue), avec le mouvement balistique. 7

TD 2 : Espace des phases et ergodicite

2.1 Ergodicite pour une bille dans un

uide Nous etudions la relaxation vers l'equilibre dans le cadre d'un modele jouet decrivant le mouve- ment d'une petite bille dans un uide, soumise a une force de rappel elastique. Il existe dierentes techniques pour conner une particule : soit on peut l'accrocher a une surface par un polymere

(Fig. 3), ou on peut agir sur la particule avec un laser (si la particule est constituee d'un materiau

dielectrique).xFigure3 :Bille accrochee a une surface par un polymere exercant une force de rappel. On se limite au cas unidimensionnel pour simplier. Le mouvement de la particule est decrit par les equations du mouvement de Newton _x(t) =v(t) (19) m_v(t) = v(t)kx(t) +F(t);(20) oukest le coecient de rappel elastique et un coecient decrivant la friction dans le uide.

F(t) est une force qui modelise l'eet des

uctuations dans le uide (en particulier, elle est nulle en moyennehF(t)i= 0). On peut identier (au moins) deux echelles de temps caracteristiques : la periode associee au rappel,T= 2pm=ketrelax=m= qui caracterise la relaxation de la vitesse. On etudie le regime sur-amorti,relaxT(i.e. la limite de forte friction et faible rappelk). A. Relaxation de la vitesse.{Sur les temps courts, on peut negliger l'eet du rappel, i.e. fairek= 0 dans l'eq. (20). On discretise l'equation d'evolution de la vitesse : posonsVnv(n), ouest une echelle arbitraire (non physique), petite,relax.

1/Montrer queVn+1=Vn+net exprimeretnen termes des grandeurs introduites plus

haut. 2/ A quelle condition physique est-il legitime de supposer que les forcesF(n) aux dierents temps sont decorrelees,hF(n)F(m)i /n;m? En sus de supposer que tous les forcesF(n) sont des variablesindependantes, on les postuleidentiquement distribueespar une loi gaussienne, de variance

F(n)2=2=.

3/Montrer que

V n=nV0+n1X k=0 knk1(21) En supposant queV0est une variable aleatoire independante desn, deduire la variance de V n. Donner la distribution deVndans le cas ouV0est une variable gaussienne. En supposant relax=m= , justier que la distribution de la vitessev(n)Vndevient independante des conditions initiales dans la limiten=t=! 1(justier que la condition precise esttrelax). On dit quev(t) atteint sa distribution stationnaire. 8

4/ Relation

uctuation-dissipation (Einstein).{On demontrera dans la suite du cours que l'energie cinetique moyenne est reliee a la temperature parhEci= (1=2)kBToukBest la constante de Boltzmann. Deduire une relation entre la friction , l'amplitudedes uctuations de la force et la temperature.

5/Donner la loi marginale de la vitessePeq(v) lorsque l'equilibre est atteint (en fonction deT).

B. Relaxation de la position.{Dans la limiterelaxT, on peut justier que le terme d'acceleration de l'equation de Newton peut ^etre neglige : 0' _x(t)kx(t) +F(t):(22) Sans calcul supplementaire, discuter les proprietes statistiques dex(t) a \grand" temps. Montrer que la distribution d'equilibre de la position est e

Peq(x)/eEp(x)=(kBT);(23)

ouEpest l'energie potentielle. En admettant que la position et la vitesse sont independantes, donner la distribution d'equilibre dans l'espace des phases, noteeeq(x;p).

2.2 Theoreme H

Etudier la relaxation vers l'equilibre requiert un modele decrivant l'evolution temporelle de la probabilite. Nous considerons l'equation (classique) de la diusion tft(x) =D@2xft(x) (24) (decrivant par example la densite d'un colorant dans un uide). Pour simplier nous considerons la situation unidimensionnelle et supposons que la particule est connee dans une bo^tex2[0;L].

1/Montrer que les conditions aux limites@xfjx=0=@xfjx=L= 0 (re

echissantes) conservent la probabilite dans la bo^te,RL

0dxft(x) = cste.

Suivant Boltzmann, nous introduisons la quantite

H def=Z L 0 dxft(x) lnft(x) (25)

2/Comparer la valeur deHpour les deux distributions suivantes

f eq(x) =1L etf(x) =( 2L pourx2[0;L=2]

0 pourx2[L=2;L](26)

3/Montrer que

dHdt60 (27) et que l'egalite est realisee pourf=feq. 9 2.3 Evolution dans l'espace des phases et theoreme de Liouville Nous discutons diverses proprietes de l'evolution temporelle de la distribution dans l'espace des phases pour un systeme conservatif. Pour simplier, nous considerons la situation unidimen- sionnelle (l'extension au cas multi-dimensionnel et/ou a plusieurs particules, ne pose aucune diculte) : une particule dont la dynamique est decrite par la fonction de HamiltonH(q;p). dA. Theoreme de Liouville.|Nous montrons dans un premier temps que l'evolution temporelle conserve la mesure dans l'espace des phases. L'evolution temporelle gouvernee par les equations de Hamilton, i.e. la trajectoire physique (Q(t);P(t)) dans l'espace des phases est une solution des equations dierentielles couplees _

Q(t) =@H@p

(Q(t);P(t)) et_P(t) =@H@q (Q(t);P(t)):(28) L'evolution pendant un temps innitesimaltmappe le point (qi;pi) sur le point (qf;pf), via la transformation (non lineaire en general) : q f'qi+t@H@pquotesdbs_dbs21.pdfusesText_27

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