Corrigés des exercices du chapitre 3 : Méthodes itératives de PDF

Exercices de mathématiques - Exo7

Enoncés et corrections : Ana Matos. Exo7. Méthodes itératives. Exercice 1. Soit Correction de l'exercice 5 △. 5. Page 6. 1. 2. Itération de Gauss-Seidel : (D ...

Exercice 1 : méthodes itératives

Corrigé : Comme M∞ < 1 le rayon spectral ρ(M) de la matrice d'itération est strictement inférieur `a 1 et la méthode itérative converge. 5. Quelle méthode

LICENCE 3 MATHEMATIQUES – INFORMATIQUE

1.5.4 Exercices (méthodes itératives). Exercice 55 (Convergence de suites). Corrigé en page 119. Etudier la convergence de la suite (x. (k))k∈IN ⊂ IRn

MT09-Analyse numérique élémentaire

Exercices. Documents précédent section Α. 12. Étude de la convergence des méthodes itératives 4.2.1 Méthode de la dichotomie. Exercices : Exercice B.1.5. On ...

1.5.4 Exercices (méthodes itératives)

Exercice 58 (Jacobi et Gauss–Seidel : cas des matrices tridiagonales). Corrigé en page 121. Soit A ∈ Mn(IR) une matrice carrée d'ordre n inversible et

ANALYSE NUMERIQUE Mazen SAAD

En déduire que la méthode itérative est convergente. Exercice 7.14. — Soit A une matrice symétrique définie positive de valeurs propres. 0 < λ1 ≤ λ2

Université Aix Marseille 1 Licence de mathématiques Cours d

2 fév. 2017 Exercice 28 (Méthode itérative du “gradient à pas fixe") Suggestions en page 61 corrigé détaillé en page 84. Soit A ∈ MN (IR) une matrice ...

Exercice 1 Exercice 2

28 jan. 2010 rien dire de la comparaison de deux méthodes itératives. 1) Soit. A ... CORRECTION : Exercice 1 : 1) Le seul cas intéressant est évidemment ...

LICENCE 3 MATHEMATIQUES

11 déc. 2018 1.5.4 Exercices (méthodes itératives). Exercice 58 (Convergence de suites). Corrigé en page 108. Etudier la convergence de la suite (x. (k))k ...

Exercices de mathématiques - Exo7

En déduire une condition nécessaire et suffisante pour la convergence de la méthode. Correction ?. [002237]. Exercice 4. Soient A et B deux matrices réelles d'

Exercice 1 : méthodes itératives

Corrigé de l'examen d'Analyse Numérique du 5 mars 2014 Exercice 1 : méthodes itératives ... Ax = b en utilisant la méthode itérative suivante :.

Corrigés des exercices du chapitre 3 : Méthodes itératives de

Corrigés des exercices du chapitre 3 : Méthodes itératives de résolution de syst`emes linéaires. Exercice 1 : Démonstration du théor`eme 10.

Cours danalyse numérique 2004-2005

12 sept. 2006 L. Sainsaulieu Calcul scientifique cours et exercices corrigés pour le ... méthodes “directes” et la deuxi`eme aux méthodes “itératives”.

LICENCE 3 MATHEMATIQUES – INFORMATIQUE

Semaine 1 : Etudier les paragraphes 1.5.1 (méthodes itératives définition et propriétés). Exercice proposé (avec corrigé) : 55 (convergence de suites).

Exercice 1 Exercice 2

28 janv. 2010 L1) la matrice d'itération de la méthode itérative de Jacobi (resp. Gauss-Seidel) de résolution des systèmes linéaires Ax = b. Le but de cet ...

MT09-Analyse numérique élémentaire

Méthodes itératives de résolution des systèmes linéaires . les éléments de la diagonale de la matrice ainsi obtenue soient non nuls (voir exercice).

Chapitre III. Méthodes itératives de résolution des syst`emes linéaires

2 Etude de conditions de convergence des méthodes itératives de cette section est le corrigé de l'exercice 4 de la feuille d'exercices associée `a ce.

Université Aix Marseille 1 Licence de mathématiques Cours d

2 févr. 2017 L. Sainsaulieu Calcul scientifique cours et exercices corrigés pour le ... dans l'étude des méthodes itératives que nous verrons plus loin.

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Méthooks Iteratives. Exercice 1: Corrige TD: Résolution ales systèmes Linéaire. Méthodes. Exercice 2 A= ... me thodes iterative methode de Jacobi (15).

Corrig´es des exercices du chapitre 3 : M´ethodes it´eratives der´esolution de syst`emes lin´eaires

Exercice 1 :D´emonstration du th´eor`eme 10. L"objectif de cet exercice est de montrer que, pour toutp?[1,+∞[,?v? p n i=1 |v i p ?1 p est une norme.

1) Montrer que??

1 est une norme.

2) En utilisant la convexit´e de la fonction exponentielle, montrer que :

p p+β q q, o`uqest tel que1 p+1q=1.

3) En d´eduire que

n i=1 |u i v i p ?v? q , toujours avec1 p+1q=1.

4) Montrer alors que?u+v?

p p +?v? p

On utilisera la relation :(|u

i |+|v i p =|u i |(|u i |+|v i p-1 +|v i |(|u i |+|v i p-1 •?v? p n i=1 |v i p 1/p = 0 ´equivaut `a|v i p =0 pour touti, c"est-`a-dire `av i = 0 pour touti ouv=0. •Pour toutλ? K, ?λv? p n i=1 |λv i p 1/p pn i=1 |v i p 1/p n i=1 |v i p 1/p =|λ|?v? p

1) Pour tousu,v?V,?u+v?

1 n i=1 |u i +v i n i=1 (|u i |+|v i )=?u? 1 +?v? 1

2)?:x?→e

x est convexe car? (x)=e x ≥0 pour toutx?IR. Pourα=0ouβ= 0, l"in´egalit´e est v´erifi´ee de fa¸con ´evidente. Pourα>0etβ>0, posonsx=plnαety=qlnβ. On a alors e 1 p x+? 1- 1 p y pe x 1-1 p? e y Ore 1 p x+? 1- 1 p y =e 1 p x e 1- 1 p y =αβ,e x p ete y q i =|u i ?u? p etβ i =|v i ?v? q 1

Par 2),α

i i p i p+β q i qet n i=1 i i p n i=1 p i +1 q n i=1 q i =1 p?u? ppn i=1 |u i p +1 q?v? qqn i=1 |v i q =1 p+1q=1 donc n i=1 |u i v i p ?v? q

3) PosonsA=

n i=1 (|u i |+|v i p A= n i=1 (|u i |+|v i |)(|u i |+|v i p-1 n i=1 [|u i |(|u i |+|v i p-1 +|v i |(|u i |+|v i p-1 n i=1 |u i |(|u i |+|v i p-1 n i=1 |v i |(|u i |+|v i p-1 p n i=1 (|u i |+|v i pq-q ?1 q +?v? p n i=1 (|u i |+|v i pq-q ?1 q Or1 p+1q= 1 doncpq-q=pet p n i=1 (|u i |+|v i p ?1 q +?v? p n i=1 (|u i |+|v i p ?1 q 1 q (?u? p +?v? p ) doncA 1- 1 q =A 1 p p +?v? p

Enfin,?u+v?

p n i=1 (|u i |+|v i p ?1 p 1 p p +?v? p Exercice 2 :D´emonstration du th´eor`eme 12-i)

SoitA?M

Soitu?= 0 tel queA=λuavec|λ|=ρ(A).

Soitvtel queu

t v?M n (K)\{0}. On a, d"une part, •?A(u t t v?(1 •ρ(A)?u t v?=|λ|?u t v?=?λu t v?=?(Au) t v?(2

En combinant (1et (2 onaalors ρ(A)?u

t t v?et comme?u t Exercice 3 :Un exemple de norme matricielle non subordonn´ee

Soit l"application??

E ??M n →IR

A?→ ?A?

E |a ij 2 1/2 =?tr(A A). 2

1) Montrer que??

E est une norme matricielle et non subordonn´ee pourn≥2.

2) Montrer que??

E est invariante par transformation unitaire et qu"elle v´erifie : ?A? 2 E 2 pour toutA?M n

1)•?A?

E = 0 si et seulement si? |a ij 2 = 0, c"est-`a-direa ij = 0 pour tousi,j. •?λA? E |λa ij 2 1/2 2 |a ij 2 1/2 |a ij 2quotesdbs_dbs9.pdfusesText_15

[PDF] Corrigés des exercices du chapitre 3 : Méthodes itératives de

1) Montrer que??

2) En utilisant la convexit´e de la fonction exponentielle, montrer que :

3) En d´eduire que

4) Montrer alors que?u+v?

On utilisera la relation :(|u

1) Pour tousu,v?V,?u+v?

2)?:x?→e

Par 2),α

3) PosonsA=

Enfin,?u+v?

SoitA?M

Soitu?= 0 tel queA=λuavec|λ|=ρ(A).

Soitvtel queu

En combinant (1et (2 onaalors ρ(A)?u

Soit l"application??

A?→ ?A?

1) Montrer que??

2) Montrer que??

1)•?A?