Exercices de mathématiques - Exo7
Enoncés et corrections : Ana Matos. Exo7. Méthodes itératives. Exercice 1. Soit Correction de l'exercice 5 △. 5. Page 6. 1. 2. Itération de Gauss-Seidel : (D ...
Exercice 1 : méthodes itératives
Corrigé : Comme M∞ < 1 le rayon spectral ρ(M) de la matrice d'itération est strictement inférieur `a 1 et la méthode itérative converge. 5. Quelle méthode
LICENCE 3 MATHEMATIQUES – INFORMATIQUE
1.5.4 Exercices (méthodes itératives). Exercice 55 (Convergence de suites). Corrigé en page 119. Etudier la convergence de la suite (x. (k))k∈IN ⊂ IRn
MT09-Analyse numérique élémentaire
Exercices. Documents précédent section Α. 12. Étude de la convergence des méthodes itératives 4.2.1 Méthode de la dichotomie. Exercices : Exercice B.1.5. On ...
1.5.4 Exercices (méthodes itératives)
Exercice 58 (Jacobi et Gauss–Seidel : cas des matrices tridiagonales). Corrigé en page 121. Soit A ∈ Mn(IR) une matrice carrée d'ordre n inversible et
Corrigés des exercices du chapitre 3 : Méthodes itératives de
Exercice 2 : Démonstration du théor`eme 12-i). Soit A ∈ Mn(K)) et une norme matricielle. Montrer alors ρ(A) ≤ A . Soit u = 0 tel que A = λu avec
ANALYSE NUMERIQUE Mazen SAAD
En déduire que la méthode itérative est convergente. Exercice 7.14. — Soit A une matrice symétrique définie positive de valeurs propres. 0 < λ1 ≤ λ2
Université Aix Marseille 1 Licence de mathématiques Cours d
2 fév. 2017 Exercice 28 (Méthode itérative du “gradient à pas fixe") Suggestions en page 61 corrigé détaillé en page 84. Soit A ∈ MN (IR) une matrice ...
Exercice 1 Exercice 2
28 jan. 2010 rien dire de la comparaison de deux méthodes itératives. 1) Soit. A ... CORRECTION : Exercice 1 : 1) Le seul cas intéressant est évidemment ...
LICENCE 3 MATHEMATIQUES
11 déc. 2018 1.5.4 Exercices (méthodes itératives). Exercice 58 (Convergence de suites). Corrigé en page 108. Etudier la convergence de la suite (x. (k))k ...
Exercices de mathématiques - Exo7
En déduire une condition nécessaire et suffisante pour la convergence de la méthode. Correction ?. [002237]. Exercice 4. Soient A et B deux matrices réelles d'
Exercice 1 : méthodes itératives
Corrigé de l'examen d'Analyse Numérique du 5 mars 2014 Exercice 1 : méthodes itératives ... Ax = b en utilisant la méthode itérative suivante :.
Corrigés des exercices du chapitre 3 : Méthodes itératives de
Corrigés des exercices du chapitre 3 : Méthodes itératives de résolution de syst`emes linéaires. Exercice 1 : Démonstration du théor`eme 10.
Cours danalyse numérique 2004-2005
12 sept. 2006 L. Sainsaulieu Calcul scientifique cours et exercices corrigés pour le ... méthodes “directes” et la deuxi`eme aux méthodes “itératives”.
LICENCE 3 MATHEMATIQUES – INFORMATIQUE
Semaine 1 : Etudier les paragraphes 1.5.1 (méthodes itératives définition et propriétés). Exercice proposé (avec corrigé) : 55 (convergence de suites).
Exercice 1 Exercice 2
28 janv. 2010 L1) la matrice d'itération de la méthode itérative de Jacobi (resp. Gauss-Seidel) de résolution des systèmes linéaires Ax = b. Le but de cet ...
MT09-Analyse numérique élémentaire
Méthodes itératives de résolution des systèmes linéaires . les éléments de la diagonale de la matrice ainsi obtenue soient non nuls (voir exercice).
Chapitre III. Méthodes itératives de résolution des syst`emes linéaires
2 Etude de conditions de convergence des méthodes itératives de cette section est le corrigé de l'exercice 4 de la feuille d'exercices associée `a ce.
Université Aix Marseille 1 Licence de mathématiques Cours d
2 févr. 2017 L. Sainsaulieu Calcul scientifique cours et exercices corrigés pour le ... dans l'étude des méthodes itératives que nous verrons plus loin.
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Méthooks Iteratives. Exercice 1: Corrige TD: Résolution ales systèmes Linéaire. Méthodes. Exercice 2 A= ... me thodes iterative methode de Jacobi (15).
MT09-Analyse numérique élémentaire
Chapitre 4 : Méthodes itératives pour la résolution des systèmes linéaires et non-linéairesÉquipe de Mathématiques Appliquées
UTCSeptembre 2021
5Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
2Chapitre 4
Méthodes itératives
4.1 Méthodes itératives de résolution des systèmes linéaires
34.2 Résolution d"une équation non-linéaire à une inconnue
144.3 Résolution d"un système d"équations non-linéaires
33Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
34.1 Méthodes itératives de résolution des systèmes linéaires
4.1.1 Principes généraux
44.1.2 La méthode de Jacobi
64.1.3 La méthode de Gauss-Seidel
94.1.4 Étude de la convergence des méthodes itératives
11Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Les méthodes itératives sont utilisées soit pour la résolution de systèmes linéaires
de très grande taille, soit lorsque l"on dispose d"une estimation de la solution que l"on veut améliorer.Une méthode itérative consiste à construire une suite de vecteursx(0),x(1),¢¢¢,x(k),...
qui, on l"espère, ou mieux on le démontre, convergera vers la solution du système li- néaire à résoudre. SoitA2Mnn(IR)une matrice régulière etb2IRndonnés. On se propose de résoudre le problème f(x)AEAx¡bAE0 par une méthode itérative de la forme suivante :½x(0)donné
Mx (kÅ1)AENx(k)Åb où les matricesM,N2Mnn(IR),Minversible, sont convenablement choisies. Si cette méthode itérative converge, c"est-à-dire si la suitex(k)converge vers¯xalors on a, à la limite, (M¡N)¯xAEb, ce qui correspondra à la résolution deAxAEbsiAAEM¡N.
Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
générauxIl y a une infinité de choix possibles pourMetNvérifiantAAEM¡N, nous allons en
donner deux à titre d"exemples. L"idée est bien sûr de choisir une matriceMparticu- lièrement facile à inverser, par exemple diagonale, ou bien triangulaire inférieure. Ces deux choix correspondent respectivement à laméthode de Jacobiet à laméthode deGauss-Seidel.
Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Exercice B.1.1
Exercice B.1.2
Le système linéaireAxAEbs"écrit
8>>>>>>>>>>>>><
>>>>>>>>>>>>:n X jAE1a1jxjAEb1,
nX jAE1a i jxjAEbi,pour2·i·n¡1, nX jAE1a njxjAEbn. La méthode de Jacobi consiste, à chaque itérationk, à résoudre chaque équation parrapport à l"une des variables, les autres étant fixées à leurs valeurs obtenues à l"itéra-
tion précédente. Soit donc le vecteurx(k)donné, alors on détermine successivement lesSommaire
Concepts
Exemples
Exercices
de Jacobicomposantes dex(kÅ1)par les formules :8>>>>>>>>>>>>><
>>>>>>>>>>>>:a11x(kÅ1)
1AEb1¡nX
jAE2a1jx(k)
j, a iix(kÅ1) iAEbi¡nX jAE1,j6AEia i jx(k) j,pour2·i·n¡1, a nnx(kÅ1)nAEbn¡n¡1X jAE1a njx(k) j. Les formules précédentes ne définissent effectivementx(kÅ1)que si les coefficients dia- gonaux deAsont tous non nuls. Ceci n"est pas une restriction, car on peut démontrer que si une matrice est inversible, il existe une permutation de ses lignes telle que tous les éléments de la diagonale de la matrice ainsi obtenue soient non nuls (voir exercice). On peut écrire les relations précédentes sous forme matricielle. Pour cela introdui- sons la décomposition suivante de A :AAED¡E¡F,
avec -Dmatrice diagonale contenant la diagonale deA, -Ematrice triangulaire inférieure (triangle inférieur de¡A), -Fmatrice triangulaire supérieure (triangle supérieur de¡A),Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
de JacobiAvec ces notations on peut écrire le systèmeAxAEbsous la formeDxAE(EÅF)xÅb,
La méthode de Jacobi s"écrit
½x(0)donné,
Dx (kÅ1)AE(EÅF)x(k)Åb.Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Exercice B.1.3Cours:
Jacobi
Il s"agit d"une modification de la méthode de Jacobi qui consiste à utiliser pour chaque équation les composantes dex(kÅ1)déjà calculées, ceci conduit aux formules8>>>>>>>>>>>>>>><
>>>>>>>>>>>>>>:a11x(kÅ1)
1AEb1¡nX
jAE2a1jx(k)
j, a iix(kÅ1) iAEbi¡i¡1X jAE1a i jx(kÅ1) j¡nX jAEiÅ1a i jx(k) j,pour2·i·n¡1, a nnx(kÅ1)nAEbn¡n¡1X jAE1a njx(kÅ1) j. Sous forme matricielle cela revient à écrire le systèmeAxAEbsous la forme (D¡E)xAEFxÅb,où les matricesD,EetFont été données dans le paragraphe référencé sur la méthode
de Jacobi.Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
de Gauss-SeidelLa méthode de Gauss-Seidel s"écrit donc½x(0)donné,
(D¡E)x(kÅ1)AE(Fx(k)Åb), A chaque itération la matrice du système à résoudre est triangulaire inférieure. On observe que les méthodes de Jacobi et Gauss-Seidel que nous venons de voir peuvent se mettre sous la formeMx(kÅ1)AENx(k)Åb: -MAED,NAEEÅF, pour la méthode de Jacobi, -MAED¡E,NAEF, pour la méthode de Gauss-Seidel.Sommaire
Concepts
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Exercices:
Exercice B.1.4
Commençons par étudier la convergence de la méthode itérative½x(0)donné,
x (kÅ1)AECx(k)Åd.(4.1.1) Proposition 4.1.1.S"il existe une norme matricielle subordonnée telle que kjCkjÇ1 la méthode(4.1.1)est convergente quel que soit le choix dex(0)et elle converge vers la solution de (I¡C)¯xAEd. Démonstration -Tout d"abord la solution¯xdu système d"équations(I¡C)¯xAEdexiste et elle est unique, car la matriceI¡Cest inversible. En effetSommaire
Concepts
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convergence des méthodesitérativessikxk 6AE0, on aurait, après simplification1· kjCkj, ce qui est contraire à l"hypothèse,
donckxk AE0, doncxAE0. On vient de montrer queker(I¡C)AE{0}, ce qui est équivalent à I¡Cinversible, car la matriceI¡Cest carrée. Montrons maintenant quex(k)converge vers¯xsolution de(I¡C)¯xAEd. On a x d"où Passons à la limite quandktend vers l"infini. PuisquekjCkjÇ1,kjCkjktend vers0et donc x (k)tend vers¯x. Définition 4.1.1.On dit que la matriceAest à diagonale strictement dominante si jaiijÈX j6AEijai jj,8i, 1·i·n.(4.1.2) Proposition 4.1.2.Si la matriceAest à diagonale strictement dominante alors les méthodes de Jacobi et Gauss-Seidel sont convergentes. Démonstration -Démontrons cette proposition pour la méthode de Jacobi. La dé- monstration sera faite en travaux dirigés pour la méthode de Gauss-Seidel.La méthode de Jacobi s"écrit
x (kÅ1)AED¡1[bÅ(EÅF)x(k)],Sommaire
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DocumentsÎprécédentsection NÎÎ13Étude de la convergence des méthodes itérativeset donc la matrice d"itération estCAED¡1(EÅF).
PuisqueAest à diagonale dominante, on a
kjD¡1(EÅF)kj1AEmax1·i·nÃ1jaiijX
j6AEijai jj! Ç1 et donc la méthode est convergente. Un autre résultat intéressant pour les applications est le suivant (nous l"admettrons sans démonstration) : Proposition 4.1.3.Si la matriceAest symétrique définie positive, alors la méthode deGauss-Seidel est convergente.
Un résultat intéressant et admis sur la convergence des méthodes itératives donne une caractérisation à partir du rayon spectral de la matriceC. Théorème 4.1.2.Une condition nécessaire et suffisante pour que la méthode itéra- tive(4.1.1)soit convergente est que½(C)Ç1.
Sommaire
Concepts
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144.2 Résolution d"une équation non-linéaire à une inconnue
4.2.1 Méthode de la dichotomie
154.2.2 Le principe des méthodes de point fixe
174.2.3 Convergence des méthodes de point fixe
194.2.4 Méthode de Newton pour résoudre une équation
254.2.5 Convergence de la méthode de Newton pour résoudre une équa-
tion 284.2.6 La méthode de la sécante
30Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Exercice B.1.5
On veut résoudref(x)AE0, oùfest une fonction deIRdansIRnon linéaire (sinon c"est méthode itérative, on va donc construire une suite de nombres réelsx(0),x(1),...,x(k),... notera plus simplementx0,x1,...,xk,.... Le principe de la dichotomie est très simple. On suppose quef: [a,b]!IRest conti- nue et quef(a)f(b)Ç0, c"est-à-dire qu"il y a au moins une racine réelle defdans[a,b]. On prend alors le milieu de l"intervallecAEaÅb2 .Sif(c)AE0(ou numériquement très proche de0) on considère que l"on a résolu le problème. Autrement deux cas peuvent se présenter. Sif(a)f(c)Ç0, alorsfa une racine réelle dans[a,c](au moins une, en tous cas, un nombre impair de racines), autrementf(a)f(c)È0et doncf(a)f(b)f(a)f(c)Ç0, ce qui donnef(b)f(c)Ç0etfa une racine réelle dans[c,b]. On itère alors le processus avec l"intervalle qui contient au moins une racine.La méthode de dichotomie s"écrit :
a0AEa,b0AEb,x0AEa0Åb02
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x kÅ1AEakÅ1ÅbkÅ12 Il est clair qu"à chaque itération la longueurlkde l"intervalle de localisation de la racine x Proposition 4.2.1.La suite de segments([ak,bk])k¸0est telle que l kAEbk¡akAEb¡a2 k,k¸1. Cette proposition est utile sur le plan numérique; en effet elle renseigne sur lenombre minimal d"itérations nécessaires pour calculer la racine à²près,²È0étant
une précision fixée à l"avance par l"utilisateur (test d"arrêt). En effet, on peut montrer
(en exercice) que ce nombrendoit vérifier n¸log2µ b¡a²Sommaire
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Exercices:
Exercice B.1.6
Pour résoudref(x)AE0, on peut se ramener à un problème équivalent de la forme g(x)AEx(par exemple en posantg(x)AEf(x)Åx). Mais il y a beaucoup de choix possibles pour définirg! La résolution deg(x)AExs"appelle recherche des points fixes deg. Par exemple, pour calculer la racine carrée d"un nombre réelaÈ0, on résoutx2AEa. Il existe alors différentes manières de se ramener à un problème de point fixe : xAEax ,etg1(x)AEax2xAExÅax
soitxAE2x¡axquotesdbs_dbs20.pdfusesText_26[PDF] exercices corrigés microéconomie équilibre général
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