Exercice 1 : méthodes itératives PDF

Exercices de mathématiques - Exo7

Enoncés et corrections : Ana Matos. Exo7. Méthodes itératives. Exercice 1. Soit Correction de l'exercice 5 △. 5. Page 6. 1. 2. Itération de Gauss-Seidel : (D ...

Exercice 1 : méthodes itératives

Corrigé : Comme M∞ < 1 le rayon spectral ρ(M) de la matrice d'itération est strictement inférieur `a 1 et la méthode itérative converge. 5. Quelle méthode

LICENCE 3 MATHEMATIQUES – INFORMATIQUE

1.5.4 Exercices (méthodes itératives). Exercice 55 (Convergence de suites). Corrigé en page 119. Etudier la convergence de la suite (x. (k))k∈IN ⊂ IRn

MT09-Analyse numérique élémentaire

Exercices. Documents précédent section Α. 12. Étude de la convergence des méthodes itératives 4.2.1 Méthode de la dichotomie. Exercices : Exercice B.1.5. On ...

1.5.4 Exercices (méthodes itératives)

Exercice 58 (Jacobi et Gauss–Seidel : cas des matrices tridiagonales). Corrigé en page 121. Soit A ∈ Mn(IR) une matrice carrée d'ordre n inversible et

Corrigés des exercices du chapitre 3 : Méthodes itératives de

Exercice 2 : Démonstration du théor`eme 12-i). Soit A ∈ Mn(K)) et une norme matricielle. Montrer alors ρ(A) ≤ A . Soit u = 0 tel que A = λu avec

ANALYSE NUMERIQUE Mazen SAAD

En déduire que la méthode itérative est convergente. Exercice 7.14. — Soit A une matrice symétrique définie positive de valeurs propres. 0 < λ1 ≤ λ2

Université Aix Marseille 1 Licence de mathématiques Cours d

2 fév. 2017 Exercice 28 (Méthode itérative du “gradient à pas fixe") Suggestions en page 61 corrigé détaillé en page 84. Soit A ∈ MN (IR) une matrice ...

Exercice 1 Exercice 2

28 jan. 2010 rien dire de la comparaison de deux méthodes itératives. 1) Soit. A ... CORRECTION : Exercice 1 : 1) Le seul cas intéressant est évidemment ...

LICENCE 3 MATHEMATIQUES

11 déc. 2018 1.5.4 Exercices (méthodes itératives). Exercice 58 (Convergence de suites). Corrigé en page 108. Etudier la convergence de la suite (x. (k))k ...

Exercices de mathématiques - Exo7

En déduire une condition nécessaire et suffisante pour la convergence de la méthode. Correction ?. [002237]. Exercice 4. Soient A et B deux matrices réelles d'

Exercice 1 : méthodes itératives

Corrigé de l'examen d'Analyse Numérique du 5 mars 2014 Exercice 1 : méthodes itératives ... Ax = b en utilisant la méthode itérative suivante :.

Corrigés des exercices du chapitre 3 : Méthodes itératives de

Corrigés des exercices du chapitre 3 : Méthodes itératives de résolution de syst`emes linéaires. Exercice 1 : Démonstration du théor`eme 10.

Cours danalyse numérique 2004-2005

12 sept. 2006 L. Sainsaulieu Calcul scientifique cours et exercices corrigés pour le ... méthodes “directes” et la deuxi`eme aux méthodes “itératives”.

LICENCE 3 MATHEMATIQUES – INFORMATIQUE

Semaine 1 : Etudier les paragraphes 1.5.1 (méthodes itératives définition et propriétés). Exercice proposé (avec corrigé) : 55 (convergence de suites).

Exercice 1 Exercice 2

28 janv. 2010 L1) la matrice d'itération de la méthode itérative de Jacobi (resp. Gauss-Seidel) de résolution des systèmes linéaires Ax = b. Le but de cet ...

MT09-Analyse numérique élémentaire

Méthodes itératives de résolution des systèmes linéaires . les éléments de la diagonale de la matrice ainsi obtenue soient non nuls (voir exercice).

Chapitre III. Méthodes itératives de résolution des syst`emes linéaires

2 Etude de conditions de convergence des méthodes itératives de cette section est le corrigé de l'exercice 4 de la feuille d'exercices associée `a ce.

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2 févr. 2017 L. Sainsaulieu Calcul scientifique cours et exercices corrigés pour le ... dans l'étude des méthodes itératives que nous verrons plus loin.

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Méthooks Iteratives. Exercice 1: Corrige TD: Résolution ales systèmes Linéaire. Méthodes. Exercice 2 A= ... me thodes iterative methode de Jacobi (15).

Universit´e Paris-Nord Ann´ee 2013-2014

Institut Galil´ee MACS - 1

D´epartement de Math´ematiques C. Basdevant, B. DelourmeCorrig´e de l"examen d"Analyse Num´erique du 5 mars 2014

Dur´ee : 3h

Une feuille recto-verso de notes personnelles manuscrites est autoris´ee.

Exercice 1 : m´ethodes it´eratives

SoitA? Mn(R) une matrice carr´een×ninversible telle que ses ´el´ements diagonaux soient tous non nuls et soitbun vecteur deRn. On souhaite r´esoudre le syst`eme lin´eaire Ax=ben utilisant la m´ethode it´erative suivante :

α´etant un r´eel non nul et le vecteurx0?Rn´etant donn´e, on construit la suite (xk)k?N

par la formule de r´ecurrence x k+1= (I-αD-1A)xk+αD-1b.(1) o`uIest la matrice identit´e etDla matrice diagonale constitu´ee de la diagonale deA (Dii=Aii).1.Montrez que si la suite (xk)k?Nconverge vers ¯x?Rnalors ¯xest solution du syst`eme

lin´eaireA¯x=b.Corrig´e: Supposons que la suite (xk)k→+∞tende vers ¯x. Alors (I-αD-1A)xktend

vers (I-αD-1A)¯x. A la limite, on a donc

¯x= (I-αD-1A)¯x+αD-1b

si bien queA¯x=bpuisqueαest non nul.2.Exprimez les coefficients de la matrice (I-αD-1A) en fonction des coefficients deA.Corrig´e: On poseM= (I-αD-1A). Alors

M ij=? ?1-αsii=j, -αAijA que ?I-αD-1A?∞<1.(2) On rappelle qu"une matriceB? Mn(R) est dite `a diagonale strictement dominante si, j=1,j?=i|Bi,j|<|Bi,i|.1

Corrig´e: Evaluons la norme infinie deM:

?M?∞= maxx?=0?Mx?∞?x?∞. Or (Mx)i=n? j=1M ijxj=-αA iin j=1,j?=iA ijxj+ (1-α)xi

α|Aii|n

j=1,j?=i|Aij|+ (1-α)? La matrice ´etant `a diagonale strictement dominante ?n j=1,j?=i|Ai,j|<|Aii|, on ob- tient

?M?∞< α+ (1-α) = 1.4.Montrez que, sous les hypoth`eses de la question pr´ec´edente, la m´ethode it´erative (1)

converge.Corrig´e: Comme?M?∞<1 le rayon spectralρ(M) de la matrice d"it´eration est

strictement inf´erieur `a 1 et la m´ethode it´erative converge.5.Quelle m´ethode ´etudi´ee en cours retrouve-t-on quandα= 1?Corrig´e: Quandα= 1 la m´ethode est celle de Jacobi, en effet (1) s"´ecritDxk+1=

(D-αA)xk+αbet si l"on pose, comme en cours,A=D-E-F, avecα= 1 on obtientDxk+1= (E+F)xk+b, la m´ethode de Jacobi.Exercice 2 : r´esolution num´erique des EDO Soitf:R2→Rune fonction continue, lipschitzienne dans sa deuxi`eme variable, de constante de LipschitzL. On s"int´eresse au probl`eme de Cauchy : trouver une fonction y?C1([0,T]) telle que?? ?y ?(t) =f(t,y(t))?t?]0,T] y(0) =y0(3) du segment [0,T], on sou- haite calculer les approximationsyn≈y(tn) de la solution exacte par le sch´ema suivant :?? ?y n+1=yn+h2 y

0=y0(4)1.La m´ethode est-elle implicite ou explicite? Montrez que cette m´ethode est bien

d´efinie sih <2/L. Cette condition sera toujours suppos´ee remplie dans la suite.Corrig´e: La m´ethode est implicite, pour calculeryn+1il faut r´esoudre une ´equation

non lin´eaire. En effet,yn+1satisfaityn+1=g(yn+1) (yn+1est un point fixe deg) o`u la fonctiong(qui d´epend deyndetnet deh) est donn´ee par g(y) =yn+h2 (f(tn,yn) +f(tn+h,y)).2 Si la fonctiongest contractante, alors l"´equation de point fixe aura une unique solution. Or, puisquefest lipschitzienne dans sa deuxi`eme variable, |g(y)-g(z)|=h2 |y-z|.

Autrement dit, sih <2L

alorsgest contractante et le sch´ema num´erique est bien

d´efini.2.R´e´ecrivez le sch´ema (4) sous la forme g´en´erale d"un m´ethode `a un pas :

y n+1=yn+hΦ(tn,yn,h). On explicitera la fonction Φ.Corrig´e: D´efinissons la fonction?par : (t,z,d)?→y?=?(t,z,d) o`uy?=z+d2 [f(t,z) +f(t+d,y?)]. Comme vu `a la question pr´ec´edente, cette fonction est parfaitement d´efinie d`es que d < 2L . A l"aide de cette fonction, on voit queyn+1=?(tn,yn,h). Il s"en suit que le sch´ema se r´e´ecrit comme une m´ethode `a un pas y n+1=yn+hΦ(tn,yn,h) avec Φ(t,y,h) =12 [f(t,y) +f(t+h,?(t,y,h))].3.On consid`ere un sch´ema perturb´e : ?z n+1=zn+h2 z

0=z0(5)

Montrez que, sous la conditionh <2L

, il existe des constantesA(Lh) etB(Lh) telles que :

En d´eduire une propri´et´e importante du sch´ema.Corrig´e: En soustrayant le sch´ema du sch´ema perturb´e et en utilisant le caract`ere

lipschitzien defon obtient : (|zn-yn|+|zn+1-yn+1|) +|εn| d"o`u 1-Lh2 |zn-yn|+11-Lh2 |εn| et par r´ecurrence en posantA(Lh) =1+Lh2 1-Lh2 etB(Lh) =11-Lh2

Cette in´egalit´e prouve la stabilit´e du sch´ema, en effet :?α >2,?x0(α)<1 tel que

tant et convergent.Corrig´e: On a vu en cours qu"un sch´ema `a un pas est consistant si et seulement si

Φ(t,y,0) =f(t,y),?y, ce qui est le cas ici, de plus on vient de d´emontrer la stabilit´e du sch´ema et le th´eor`eme de Lax et Richtmayer nous dit qu"un sch´ema stable et

consistant est convergent.5.On suppose quef? C∞(R2) et on admet que la solution exacte est tr`es r´eguli`ere

sur [0,T] (par exemple,y? C4([0,T])). D´emontrez que l"erreur locale de troncature r nv´erifie r n=y(tn+1)-y(tn)h -Φ(tn,y(tn),h) =K(tn)h2+o(h2) o`u vous exprimerezK(tn) en fonction de d´eriv´ees de la fonctiony. En d´eduire l"ordre du sch´ema.Corrig´e: A l"aide de d´eveloppements de Taylor autour detn+12 r n=y(tn+1)-y(tn)h -12 (y?(tn) +y?(tn+1)) =y?(tn+12 ) +h224 y(3)(tn+12 ) +o(h2)-? y ?(tn+12 ) +h28 y(3)(tn+12 ) +o(h2)? =-h212 y(3)(tn+12 ) +o(h2)

Le sch´ema est donc d"ordre 2.

Note : Une majoration utilisant des d´eveloppements de Taylor-Lagrange ´evite de garder deso(h2) : r n=y?(tn+12 ) +h224 y(3)(tn+θ1)-? y ?(tn+12 ) +h28 y(3)(tn+θ2)? sup t|y(3)(t)|6.Donnez une majoration de l"erreuren=|y(tn)-yn|explicitant la convergence de

la m´ethode.Corrig´e: En utilisant l"in´egalit´e de stabilit´e et la majoration de l"erreur locale de

sup t|y(3)(t)|?4

Exercice 3 : polynˆome d"interpolation

Soitfune fonction r´eelle, continue et d´erivable sur [-1,1] etx0?]0,1[.

D´emontrez qu"il existe un unique polynˆomeQde degr´e inf´erieur ou ´egal `a 5 v´erifiant :

Q(-x0) =f(-x0)Q(0) =f(0)Q(x0) =f(x0)

Q ?(-x0) =f?(-x0)Q?(0) =f?(0)Q?(x0) =f?(x0)

Attention : on ne demande pas de calculer ce polynˆome!Corrig´e: SoitP5l"espace vectoriel des polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 5.

Consid´erons l"application Φ deP5dansR6qui `a un polynˆomePassocie le sextuplet (P(-x0),P(0),P(x0),P?(-x0),P?(0),P?(x0)). L"existence et l"unicit´e du polynˆomeQest

´equivalente `a la bijectivit´e de Φ. L"application Φ ´etant une application lin´eaire entre deux

espace vectoriels de mˆeme dimension 6, elle est bijective si et seulement si elle est injective.

Pour v´erifier l"injectivit´e de Φ il faut v´erifier que son noyau est r´eduit au polynˆome nul, or

siP?ker(Φ) alors-x0,0 etx0sont des racines doubles deP,P´etant de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 5 ce n"est possible que siPest le polynˆome nul.5quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14

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