Exercices de mathématiques - Exo7
Enoncés et corrections : Ana Matos. Exo7. Méthodes itératives. Exercice 1. Soit Correction de l'exercice 5 △. 5. Page 6. 1. 2. Itération de Gauss-Seidel : (D ...
Exercice 1 : méthodes itératives
Corrigé : Comme M∞ < 1 le rayon spectral ρ(M) de la matrice d'itération est strictement inférieur `a 1 et la méthode itérative converge. 5. Quelle méthode
LICENCE 3 MATHEMATIQUES – INFORMATIQUE
1.5.4 Exercices (méthodes itératives). Exercice 55 (Convergence de suites). Corrigé en page 119. Etudier la convergence de la suite (x. (k))k∈IN ⊂ IRn
MT09-Analyse numérique élémentaire
Exercices. Documents précédent section Α. 12. Étude de la convergence des méthodes itératives 4.2.1 Méthode de la dichotomie. Exercices : Exercice B.1.5. On ...
1.5.4 Exercices (méthodes itératives)
Exercice 58 (Jacobi et Gauss–Seidel : cas des matrices tridiagonales). Corrigé en page 121. Soit A ∈ Mn(IR) une matrice carrée d'ordre n inversible et
Corrigés des exercices du chapitre 3 : Méthodes itératives de
Exercice 2 : Démonstration du théor`eme 12-i). Soit A ∈ Mn(K)) et une norme matricielle. Montrer alors ρ(A) ≤ A . Soit u = 0 tel que A = λu avec
ANALYSE NUMERIQUE Mazen SAAD
En déduire que la méthode itérative est convergente. Exercice 7.14. — Soit A une matrice symétrique définie positive de valeurs propres. 0 < λ1 ≤ λ2
Université Aix Marseille 1 Licence de mathématiques Cours d
2 fév. 2017 Exercice 28 (Méthode itérative du “gradient à pas fixe") Suggestions en page 61 corrigé détaillé en page 84. Soit A ∈ MN (IR) une matrice ...
LICENCE 3 MATHEMATIQUES
11 déc. 2018 1.5.4 Exercices (méthodes itératives). Exercice 58 (Convergence de suites). Corrigé en page 108. Etudier la convergence de la suite (x. (k))k ...
Exercices de mathématiques - Exo7
En déduire une condition nécessaire et suffisante pour la convergence de la méthode. Correction ?. [002237]. Exercice 4. Soient A et B deux matrices réelles d'
Exercice 1 : méthodes itératives
Corrigé de l'examen d'Analyse Numérique du 5 mars 2014 Exercice 1 : méthodes itératives ... Ax = b en utilisant la méthode itérative suivante :.
Corrigés des exercices du chapitre 3 : Méthodes itératives de
Corrigés des exercices du chapitre 3 : Méthodes itératives de résolution de syst`emes linéaires. Exercice 1 : Démonstration du théor`eme 10.
Cours danalyse numérique 2004-2005
12 sept. 2006 L. Sainsaulieu Calcul scientifique cours et exercices corrigés pour le ... méthodes “directes” et la deuxi`eme aux méthodes “itératives”.
LICENCE 3 MATHEMATIQUES – INFORMATIQUE
Semaine 1 : Etudier les paragraphes 1.5.1 (méthodes itératives définition et propriétés). Exercice proposé (avec corrigé) : 55 (convergence de suites).
Exercice 1 Exercice 2
28 janv. 2010 L1) la matrice d'itération de la méthode itérative de Jacobi (resp. Gauss-Seidel) de résolution des systèmes linéaires Ax = b. Le but de cet ...
MT09-Analyse numérique élémentaire
Méthodes itératives de résolution des systèmes linéaires . les éléments de la diagonale de la matrice ainsi obtenue soient non nuls (voir exercice).
Chapitre III. Méthodes itératives de résolution des syst`emes linéaires
2 Etude de conditions de convergence des méthodes itératives de cette section est le corrigé de l'exercice 4 de la feuille d'exercices associée `a ce.
Université Aix Marseille 1 Licence de mathématiques Cours d
2 févr. 2017 L. Sainsaulieu Calcul scientifique cours et exercices corrigés pour le ... dans l'étude des méthodes itératives que nous verrons plus loin.
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Méthooks Iteratives. Exercice 1: Corrige TD: Résolution ales systèmes Linéaire. Méthodes. Exercice 2 A= ... me thodes iterative methode de Jacobi (15).
Tous les exercices sont indépendants.
Exercice 1
SoitAetBdeux matrices carrées de même ordren,αetβdes scalaires quelconques. On rappelle les relations
suivantes du cours : det(I) = 1,(1) det(AB) = det(A)det(B),(2) det(AT) = det(A),(3) det(A?) = det(A),(4) det(A-1) =1 det(A),évidemment siA-1existe, (5) tr(AB) = tr(BA),(6) tr(AT) = tr(A),(7) det(αA) =αndet(A),(8) tr(αA+βB) =αtr(A) +βtr(B).(9) On suppose maintenant queAetBsont quelconques et non nulles.1) SoitIla matrice unité d"ordren. Peut-on avoirAB-BA=λI,λétant un scalaire non nul?
2) Peut-on avoirAB+BA= 0?
Exercice 2
SoitB(resp.L1) la matrice d"itération de la méthode itérative de Jacobi (resp. Gauss-Seidel) de résolution des
systèmes linéairesAx=b. Le but de cet exercice est de montrer (sur des exemples) qu"en général on ne sait
rien dire de la comparaison de deux méthodes itératives.1) Soit
A=((( 1 2-2 1 1 12 2 1)))
,(10) montrer queρ(B)<1< ρ(L1).2) Soit
A=((( 2-1 1 2 2 2 -1-1 2))) ,(11) montrer queρ(L1)<1< ρ(B).Page 1 / 5c?
École Normale Supérieure24, rue Lhomond - 75231 PARIS CEDEX 05 LICENCE- MASTER DESSCIENCES DE LAPLANÈTETERRE- L318 février 2010 MATHÉMATIQUES- Correction de l"examen de rattrapage du 28 janvier 2010. Durée : 1 h. Exercice 3. Résolution d"équations différentielles linéairesRésoudre le systèmex=Axavec
A=((( 0 1 1 -1 0 1 -1-1 0))) ,(12) sous la condition initialex(0) = (1,-1,1)T.CORRECTION :
Exercice 1 :
1) Le seul cas intéressant est évidemment celui où le produitmatriciel n"est pas commutatif. La fonction déter-
minant n"étant pas linéaire est inutilisable. Essayons la fonction trace. Par la relation (9) on atr(AB-BA) =
tr(AB)-tr(BA). La relation (6) implique alors quetr(AB-BA) = 0. Commetr(λI) =nλ, la relation AB-BA=λIest impossible siλest un scalaire non nul.2) SiAB+BA= 0, on aAB=-BAet la relation (8) implique alors quedet(AB) = (-1)ndet(BA). La relation
(2) implique que cette relation est possible seulement sinest pair.Exercice 2 :
Soit la matrice du 1). SoitBla matrice itérative de Jacobi associée. Avec les notationsdu chapitre, on a
B=D-1(E+F) =(((
0-2 2 -1 0-1 -2-2 0))) .(13)On calcule les valeurs propres par les racines du polynômedet(B-λI)enλ. Il est facile de vérifier que
det(B-λI) =-λ3.λ= 0est racine triple, doncρ(B) = 0et Jacobi converge.Soit maintenantL1la matrice itérative de Gauss-Seidel. Par définition on aL1= (D-E)-1F. Tous calculs
faits on a : (D-E)-1=((( 1-0 0 -1 1 00-2 1)))
,(14) et donc L 1=((( 0-2 2 0 2-30 0 2)))
.(15)Il est facile de vérifier quedet(L1-λI) =-λ(2-λ)2. Le polynôme caractéristique de la matriceL1a pour
racinesλ1= 0et la racine doubleλ2=λ3= 2, doncρ(L1) = 2et Gauss-Seidel diverge.Page 2 / 5c?
École Normale Supérieure24, rue Lhomond - 75231 PARIS CEDEX 05 LICENCE- MASTER DESSCIENCES DE LAPLANÈTETERRE- L318 février 2010 MATHÉMATIQUES- Correction de l"examen de rattrapage du 28 janvier 2010. Durée : 1 h.On a bienρ(B)<1< ρ(L1).
Soit la matrice du 2). SoitBla matrice itérative de Jacobi associée. On aB=D-1(E+F) =(((
0 1/2-1/2
-1 0-11/2 1/2 0)))
.(16)Le polynôme caractéristique de la matriceBestdet(B-λI) =-λ(λ2+5/4) = 0. Les racines sontλ1= 0et les
deux nombres complexes conjuguéesλ±=±i⎷5/2. On a doncρ(B) =⎷5/2. La méthode de Jacobi diverge.
Soit maintenant la méthode de Gauss-Seidel. Tous calculs faits on a : (D-E)-1=(((1/2 0 0
-1/2 1/2 00 1/4 1/2)))
,(17) et donc L1=(((0-1/2-1/2
0 1/2 1/2
0 0 1/2)))
.(18)Le polynôme caractéristique de la matriceL1estdet(L1-λI) =-λ(1/2-λ)2. Les racines sontλ1= 0et la
racine doubleλ2,3= 1/2. On aρ(L1) = 1/2et par conséquent la méthode de Gauss-Seidel converge. On a bien
ρ(L1)<1< ρ(B).
Exercice 3 :
Soit la matrice
A=((( 0 1 1 -1 0 1 -1-1 0))) ,(19) Calculons le polynôme caractéristique de la matriceAet ses racines. On aA-λI=(((
-λ1 1 -1-λ1 -1-1-λ))) ,(20)doncdet(A-λI) =-λ(λ2+ 3). Les racines sont zéro et le couple de valeurs complexes conjuguées±i⎷
3. Pourλ1= 0le vecteur propre associév1satisfait au système(A-λ1I)v1= 0, avecA-λ1I=(((0 1 1
-1 0 1 -1-1 0))) .(21)Page 3 / 5c?
École Normale Supérieure24, rue Lhomond - 75231 PARIS CEDEX 05 LICENCE- MASTER DESSCIENCES DE LAPLANÈTETERRE- L318 février 2010 MATHÉMATIQUES- Correction de l"examen de rattrapage du 28 janvier 2010. Durée : 1 h. Par la méthode des co-facteurs du cours, on voit que v1=(((1
-1 1))) .(22) Par conséquent, puisqueeλ1t= 1, le vecteurX1donné par X 1=((( 1 -1 1))) (23) est une solution.Pourλ2=i⎷
3le vecteur propre associév2satisfait au système(A-λ2I)v2= 0, avec
A-λ2I=((((-i⎷
3 1 1 -1-i⎷ 3 1 -1-1-i⎷ 3)))) .(24) Toujours par la méthode des co-facteurs du cours, on voit que v2=((((-2
-1-i⎷ 31-i⎷
3)))) .(25)Par conséquent
Z=ei⎷
3t((((-2
-1-i⎷31-i⎷
3)))) (26) est une solution complexe du système. Elle s"écritZ= (cos(⎷
3t)+isin(⎷3t))((((-2
-1-i⎷31-i⎷
3)))) =((((-2cos(⎷ 3t) -cos(⎷3t) +⎷3sin(⎷3t)
cos(⎷3t) +⎷3sin(⎷3t)))))
+i((((-2sin(⎷ 3t) -sin(⎷3t)-⎷3cos(⎷3t)
sin(⎷3t)-⎷3cos(⎷3t)))))
(27) de la formeZ=X2+iX3.On sait par un théorème du cours que les parties réelle et imaginaire deZsont des solutions indépendantes
du système. C"est-à-dire que X2=((((-2cos(⎷
3t) -cos(⎷3t) +⎷3sin(⎷3t)
cos(⎷3t) +⎷3sin(⎷3t)))))
etX3=((((-2sin(⎷ 3t) -sin(⎷3t)-⎷3cos(⎷3t)
sin(⎷3t)-⎷3cos(⎷3t)))))
(28) sont solutions.Page 4 / 5c?
École Normale Supérieure24, rue Lhomond - 75231 PARIS CEDEX 05 LICENCE- MASTER DESSCIENCES DE LAPLANÈTETERRE- L318 février 2010 MATHÉMATIQUES- Correction de l"examen de rattrapage du 28 janvier 2010. Durée : 1 h.Finalement la solution du système est
x(t) =((((C1-2C2cos(⎷
3t)-2C3sin(⎷3t)
-C1+C2(-cos(⎷3t) +⎷3sin(⎷3t)) +C3(-sin(⎷3t)-⎷3cos(⎷3t)
C1+C2(cos(⎷
3t) +⎷3sin(⎷3t)) +C3(sin(⎷3t)-⎷3cos(⎷3t))))))
.(29)où les constantesC1,C2etC3sont déterminées par la condition initiale. Pourt= 0la solution s"écrit :
x(0) =((((C 1-2C2 -C1-C2-⎷ 3C3 C1+C2-⎷
3C3))))
1 -1 1))) .(30)Un calcul élémentaire montre queC1= 1,C2=C3= 0. La solution du système qui vérifie cette condition
initiale est la solution constante x(t) =((( 1 -1 1))) .(31)Page 5 / 5c?
quotesdbs_dbs18.pdfusesText_24[PDF] exercices corrigés microéconomie équilibre général
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