Cours danalyse numérique 2004-2005 PDF

Exercices de mathématiques - Exo7

Enoncés et corrections : Ana Matos. Exo7. Méthodes itératives. Exercice 1. Soit Correction de l'exercice 5 △. 5. Page 6. 1. 2. Itération de Gauss-Seidel : (D ...

Exercice 1 : méthodes itératives

Corrigé : Comme M∞ < 1 le rayon spectral ρ(M) de la matrice d'itération est strictement inférieur `a 1 et la méthode itérative converge. 5. Quelle méthode

LICENCE 3 MATHEMATIQUES – INFORMATIQUE

1.5.4 Exercices (méthodes itératives). Exercice 55 (Convergence de suites). Corrigé en page 119. Etudier la convergence de la suite (x. (k))k∈IN ⊂ IRn

MT09-Analyse numérique élémentaire

Exercices. Documents précédent section Α. 12. Étude de la convergence des méthodes itératives 4.2.1 Méthode de la dichotomie. Exercices : Exercice B.1.5. On ...

1.5.4 Exercices (méthodes itératives)

Exercice 58 (Jacobi et Gauss–Seidel : cas des matrices tridiagonales). Corrigé en page 121. Soit A ∈ Mn(IR) une matrice carrée d'ordre n inversible et

Corrigés des exercices du chapitre 3 : Méthodes itératives de

Exercice 2 : Démonstration du théor`eme 12-i). Soit A ∈ Mn(K)) et une norme matricielle. Montrer alors ρ(A) ≤ A . Soit u = 0 tel que A = λu avec

ANALYSE NUMERIQUE Mazen SAAD

En déduire que la méthode itérative est convergente. Exercice 7.14. — Soit A une matrice symétrique définie positive de valeurs propres. 0 < λ1 ≤ λ2

Université Aix Marseille 1 Licence de mathématiques Cours d

2 fév. 2017 Exercice 28 (Méthode itérative du “gradient à pas fixe") Suggestions en page 61 corrigé détaillé en page 84. Soit A ∈ MN (IR) une matrice ...

Exercice 1 Exercice 2

28 jan. 2010 rien dire de la comparaison de deux méthodes itératives. 1) Soit. A ... CORRECTION : Exercice 1 : 1) Le seul cas intéressant est évidemment ...

LICENCE 3 MATHEMATIQUES

11 déc. 2018 1.5.4 Exercices (méthodes itératives). Exercice 58 (Convergence de suites). Corrigé en page 108. Etudier la convergence de la suite (x. (k))k ...

Exercices de mathématiques - Exo7

En déduire une condition nécessaire et suffisante pour la convergence de la méthode. Correction ?. [002237]. Exercice 4. Soient A et B deux matrices réelles d'

Exercice 1 : méthodes itératives

Corrigé de l'examen d'Analyse Numérique du 5 mars 2014 Exercice 1 : méthodes itératives ... Ax = b en utilisant la méthode itérative suivante :.

Corrigés des exercices du chapitre 3 : Méthodes itératives de

Corrigés des exercices du chapitre 3 : Méthodes itératives de résolution de syst`emes linéaires. Exercice 1 : Démonstration du théor`eme 10.

Cours danalyse numérique 2004-2005

12 sept. 2006 L. Sainsaulieu Calcul scientifique cours et exercices corrigés pour le ... méthodes “directes” et la deuxi`eme aux méthodes “itératives”.

LICENCE 3 MATHEMATIQUES – INFORMATIQUE

Semaine 1 : Etudier les paragraphes 1.5.1 (méthodes itératives définition et propriétés). Exercice proposé (avec corrigé) : 55 (convergence de suites).

Exercice 1 Exercice 2

28 janv. 2010 L1) la matrice d'itération de la méthode itérative de Jacobi (resp. Gauss-Seidel) de résolution des systèmes linéaires Ax = b. Le but de cet ...

MT09-Analyse numérique élémentaire

Méthodes itératives de résolution des systèmes linéaires . les éléments de la diagonale de la matrice ainsi obtenue soient non nuls (voir exercice).

Chapitre III. Méthodes itératives de résolution des syst`emes linéaires

2 Etude de conditions de convergence des méthodes itératives de cette section est le corrigé de l'exercice 4 de la feuille d'exercices associée `a ce.

Université Aix Marseille 1 Licence de mathématiques Cours d

2 févr. 2017 L. Sainsaulieu Calcul scientifique cours et exercices corrigés pour le ... dans l'étude des méthodes itératives que nous verrons plus loin.

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Méthooks Iteratives. Exercice 1: Corrige TD: Résolution ales systèmes Linéaire. Méthodes. Exercice 2 A= ... me thodes iterative methode de Jacobi (15).

UniversiteAixMarseille1

Licencedemathematiques

Coursd'Analysenumerique

2004-2005

RaphaeleHerbin

5mai2005

Tabledesmatieres

1Systemeslineaires7

2Systemesnonlineaires55

3Optimisation77

4TABLEDESMATIERES

4Equationsdierentielles123

5Suggestionspourlesexercices145

6Corrigesdetaillesdesexercices153

Introduction

ordinateur. {Systemeslineaires {Systemesnonlineaires {Optimisation {Equationsdierentielles. estunelistenonexhaustive!): pitre4decepolycopie). lectionCAPES/Agregation,Ellipses,1999. sini. del'ingenieur,tomes1et2,Masson,1987 1996.
l'ingenieur,Paris,(1994)

UniversitairesdeFrance,1970.

Etpourlesanglophiles...

York,1984(chapitre4).

6TABLEDESMATIERES

(chapitre3).

UniversityPress,Baltimore(chapitre1).

1962.

Chapitre1

Systemeslineaires

1.1Objectifs

M x2IRN

Ax=b(1.1.1)

propres. matrice\creuse"N=106

2000:matrice\pleine"N=106

matrice\creuse"N=108 ralleles,parexemple). 7

8CHAPITRE1.SYSTEMESLINEAIRES

1.2Lesmethodesdirectes

1.2.1Denition

de(1.1.1)apresunnombrenid'operations elementaires(+;;;=). -lamethodedeGauss(avecpivot) deCholeski.

1.2.2MethodedeGaussetmethodeLU

A formesuivante: a(N)

1;1a(N)

1;N 0 A (N)= 00 a (N) N;Na (1) 1;1 a (i) i;i a (i) i+1;i a (i)

N;ia(i)

N;Na (1) 1;N 0 0 00A (i)=

1.2.LESMETHODESDIRECTES9

a(1) 1;1 a (i+1) i+1;i+1 a (i+1) i+2;i+1 a (i+1) N;Na (1) 1;N a (i+1)

N;i+100

0 0A (i+1)=

1.Pourkietpourj=1;:::;N,onposea(i+1)

k;j=a(i) k;jetb(i+1) k=b(i) k.

2.Pourk>i,sia(i)

i;i6=0,onpose: a (i+1) k;j=a(i) k;ja(i) k;i a(i) i;ia(i) i;j;pourk=j;:::;N;(1.2.2) b (i+1) k=b(i) ka(i) k;i a(i) i;ib(i) i:(1.2.3)

Silaconditiona(i)

laconditiona(i) i;i6=0n'estpasveriee. i;i6=0pour composantexNalacomposantex1: x

N=b(N)

a(N) N;N; x i=1 a(N) i;i(b(i)X j=i+1;Na(N) i;jxj);i=N1;:::;1:

10CHAPITRE1.SYSTEMESLINEAIRES

3N3+O(N2).

A precedent,parsoucideclarte. endebutdecours. superieure,veriant

PA=LU:

deGauss,laconditiona(i) i;i6=0estverieepourtouti=1;dots;N:Dansce coecients`i;j=a(i) j;i a(i) pourtoutb2IRN.CecidemontrequeA=LU: i;i6=0etaitverieea conditionestveriee,le\pivot"a(i) i;isoittrespetit,cequipeutentra^nerdes identitedansletheoreme1.2. estforcementnonsinguliere,ona: det(A(i))=a(i)

1;1a(i)

2;2a(i)

i1;i1det0 B B @a (i) i;i:::a(i) i;N. a (i)

N;i:::a(i)

N;N1 C C A6=0:

1.2.LESMETHODESDIRECTES11

Onadoncenparticulier

det 0 B B @a (i) i;i:::a(i) i;N. a (i)

N;i:::a(i)

N;N1 C C A6=0: i

0;i6=0.

Onchoisitalorsi02fi;:::;Ngtelqueja(i)

0;ij=maxfja(i)

k;ij;k=i;:::;Ng:On i

0;j0j=

maxfja(i) inconnuesxjetxj0.

1.2.3MethodedeCholeski

particulierinversible.

Descriptiondelamethode

\descente"et\remontee":

1.Etape1:\descente"LesystemeLy=bs'ecrit:

Ly=2 6 4` 1;10

N;1:::`N;N3

7 52
6 4y 1. y N3 7 5=2 6 4b 1. b N3 7 5:

12CHAPITRE1.SYSTEMESLINEAIRES

1;1y1=b1;doncy1=b1

`1;1

2;1y1+`2;2y2=b2;doncy2=1

`2;2(b2`2;1y1) .X j=1;i` i;jyj=bi;doncyi=1 `i;i(biX j=1;i1` i;jyj) .X j=1;N`

N;jyj=bN;doncyN=1

`N;N(bNX j=1;N1`

N;jyj):

Oncalculeainsiy1,y2,:::;yN.

L tx=2 6 6 6 6 4`

1;1`2;1:::`N;1

0:::`N;N3

7 7 7 7 52
6 6 6 6 6 4x 1 x N3 7 7 7 7 7 5=2 6 6 6 6 6 4y 1 y N3 7 7 7 7 7 5:

Onadonc:

N;NxN=yNdoncxN=yN

`N;N

N1;N1xN1+`N;N1xN=yN1doncxN1=yN1`N;N1xN

`N1;N1. .X j=1;N` j;1xj=y1doncx1=y1P j=2;N`j;1xj `1;1:

OncalculeainsixN,xN1;:::;x1.

Existenceetunicitedeladecomposition

matriceL2MN(IR),L=(`i;j)N i;j=1,telleque:

2.`i;i>0;pourtouti2f1;:::;Ng,

3.A=LLt.

1.2.LESMETHODESDIRECTES13

al'avantaged'^etreconstructive. a1;1, etonabienA=LLt. souslaforme: A=2 6 6 4B a at3 7 7

5(1.2.4)

Soitdoncy2IRNnf0g;etx=y

2IRN+1.CommeAestsymetrique

deniepositive,ona:

0 6 6 4B a at3 7 7 52
6 6 4y 03 7 7 52
6 6 4y 03 7 7 5=2 6 6 4By aty3 7 7 52
6 6 4y 03 7 7 5=Byy matriceM2MN(IR)M=(mi;j)N i;j=1telleque: (a)mi;j=0sij>i (b)mi;i>0 (c)B=MMt.
OnvachercherLsouslaforme:
L=2 6 6 4M 0 bt3 7 7
5(1.2.5)
avecb2IRN,2IR LL touLestdelaforme(1.2.5)etidentionsavecA: LL t=2 6 6 4M0 bt3 7 7 52
6 6 4M t b 03 7 7 5=2 6 6 4MMt Mb btMtbtb+23 7 7 5quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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2004-2005

RaphaeleHerbin

5mai2005

Tabledesmatieres

1Systemeslineaires7

2Systemesnonlineaires55

3Optimisation77

4TABLEDESMATIERES

4Equationsdierentielles123

5Suggestionspourlesexercices145

6Corrigesdetaillesdesexercices153

Introduction

UniversitairesdeFrance,1970.

Etpourlesanglophiles...

York,1984(chapitre4).

6TABLEDESMATIERES

UniversityPress,Baltimore(chapitre1).

Chapitre1

Systemeslineaires

1.1Objectifs

Ax=b(1.1.1)

2000:matrice\pleine"N=106

8CHAPITRE1.SYSTEMESLINEAIRES

1.2Lesmethodesdirectes

1.2.1Denition

1.2.2MethodedeGaussetmethodeLU

1;1a(N)

N;ia(i)

1.2.LESMETHODESDIRECTES9

N;i+100

1.Pourkietpourj=1;:::;N,onposea(i+1)

2.Pourk>i,sia(i)

Silaconditiona(i)

N=b(N)

10CHAPITRE1.SYSTEMESLINEAIRES

3N3+O(N2).

PA=LU:

1;1a(i)

2;2a(i)

N;i:::a(i)

1.2.LESMETHODESDIRECTES11

Onadoncenparticulier

N;i:::a(i)

0;i6=0.

Onchoisitalorsi02fi;:::;Ngtelqueja(i)

0;ij=maxfja(i)

0;j0j=

1.2.3MethodedeCholeski

Descriptiondelamethode

1.Etape1:\descente"LesystemeLy=bs'ecrit:

N;1:::`N;N3

12CHAPITRE1.SYSTEMESLINEAIRES

1;1y1=b1;doncy1=b1

2;1y1+`2;2y2=b2;doncy2=1

N;jyj=bN;doncyN=1

N;jyj):

Oncalculeainsiy1,y2,:::;yN.

1;1`2;1:::`N;1

0:::`N;N3

Onadonc:

N;NxN=yNdoncxN=yN

N1;N1xN1+`N;N1xN=yN1doncxN1=yN1`N;N1xN

OncalculeainsixN,xN1;:::;x1.

Existenceetunicitedeladecomposition

2.`i;i>0;pourtouti2f1;:::;Ng,

3.A=LLt.

1.2.LESMETHODESDIRECTES13

5(1.2.4)

Soitdoncy2IRNnf0g;etx=y

2IRN+1.CommeAestsymetrique

OnvachercherLsouslaforme:

5(1.2.5)