Courbes planes PDF possède un point double

Courbes paramétrées

Exercice 3. La courbe orthoptique d'une courbe (C) est le lieu des points du plan d'où l'on peut mener (au moins) deux tangentes à (C) orthogonales. Déterminer

Correction du TD sur les courbes paramétrées

Les questions ont été légèrement modifiées par rapport à celles du TD. Exercice 1 : l'astroïde. L'astroïde est la courbe de coordonnées cartésiennes (où t ∈ R)

Courbes paramétrées Courbes polaires

Courbes paramétrées. Courbes polaires. Exercice 1 (Une courbe paramétrée). On considère la courbe paramétrée suivante γ : [0

Walanta

Géométrie plane : courbes paramétrées coniques

CM-C1 : Courbes paramétrées

Exercice.– Le dessin ci-dessous peut-il être le support d'une courbe polaire ? Réponse.– Oui en C0 non

Corrigé- ED n 1 : Courbes paramétrées

Pour t = −. √. 2 −. √. 3 et t = −. 1. −. √. 2 −. √. 3. = √. 2 +. √. 3 : (−. √. 2; 4). Exercice n◦2 : 1. { x(t) = t − sin(t) y(t)=

Mathématiques - département MP S2

11 mars 2006 1 Courbes paramétrées. 2. 1.1 Équation cartésienne équation ... Exercice 1.4.2 Étudier les branches infinies de la courbe paramétrée par.

COURBES PARAMÉTRÉES

COURBES PARAMÉTRÉES. 1.1 Rappels. 1.1.1 Fonction paire. Soit f une fonction définie sur Tracer la courbe (C ). Exercice 2. Dans le plan P rapporté au repère ...

Polycopié de géométrie

éxercice. 16. Page 19. Chapitre 2. Exercices corrigés sur les courbes paramétrées. 2.1 Exercice 1. Soit 7 est une courbe régulière définie sur lhinterval [a b]

Courbes paramétrées

Exercice 1 Quelques grands classiques. 1. (**) L'astroïde. (a) a est un réel strictement positif donné. Etudier et construire la courbe de paramétrisation :.

Courbes paramétrées Courbes polaires

Exercice 1 (Une courbe paramétrée). de la courbe paramétrée par ?. Solution: La courbe décrite par ? étant construite à partir des fonctions cos et sin ...

CM-C1 : Courbes paramétrées

Exercice.– Le dessin ci-dessous peut-il être le support d'une courbe polaire ? Réponse.– Oui en C0 non

Courbes planes

possède un point double et que les tangentes en ce point sont perpendiculaires. Correction ?. Vidéo ?. [006985]. Exercice 6. Montrer que la courbe paramétrée.

Feuille dexercices no5

Exercice 1. On consid`ere la courbe plane d'équation paramétrée Exercice 5. Etudier et tracer les courbes paramétrées définies par.

Mathématiques - département MP S2

11 mar. 2006 Exercice 1.0.2 Quel est l'ensemble d'étude de la courbe définie par ... Exercice 1.5.3 Nous avons une courbe paramétrée P donnée par (x

TD I – Corrigé

TD I – Corrigé. 1. Études de courbes en coordonnées cartésiennes. Exercice 1.1 (Astroïde). — L'intervalle d'étude peut être réduit grâce aux symétries

Walanta

Géométrie plane : courbes paramétrées coniques

Polycopié de géométrie

2 Exercices corrigés sur les courbes paramétrées Definition 3 Soit 7 I ' R; une courbe paramétrée de class C% et un difféomorphisme.

COURBES PARAMETREES

1 nov. 2004 On étudie donc la courbe sur l'intervalle [0 ?/2] et on compl`ete le tracé par deux symétries. 1. Page 2. 4 Points singuliers. Un point c(t0) d ...

Exo7

Courbes planes

Fiche de Léa Blanc-Centi.

1 Courbes d"équationy=f(x)

Exercice 1Représenter les courbes d"équation cartésienney=f(x), donner l"équation de leur tangente au point d"abscisse

x=0 et la position de la courbe par rapport à cette tangente, pour :

1.f(x) =sin2x+cosx

2.f(x) =x+ln(1+ex)

H???Exercice 2 1. Donner une paramétrisation (x(t);y(t))de la courbe d"équation y=px23x+4 en précisant le domaine de variation du paramètret. 2. Montrer que le support de la courbe paramétrée par x(t) =cost+3 y(t) =sint(t2R) ne peut pas être décrit par une équation de la formey=f(x). 3. Montrer que le support de la courbe paramétrée par x(t) =cos2t2 y(t) =sin4t+4sin2t+4(t2R) est le graphe d"une fonctionfque l"on précisera, ainsi que son domaine de définition. H???2 Courbes paramétrées en coordonnées cartésiennes Exercice 3Étudier et tracer les courbes paramétrées suivantes: 1. x(t) =cos3t y(t) =sin3t(L"astroïde) 2. x(t) =ttht y(t) =1cht 1 3. x(t) =tsint y(t) =1cost(La cycloïde) H???Exercice 4

SoitCla courbe plane paramétrée par

x(t) =tlnt y(t) =lntt (t2]0;+¥[) 1. Comparer les points de paramètres tet 1=t, en déduire un domaine d"étude deC. 2.

Représenter C.

H???Exercice 5

Montrer que la courbe paramétrée

8< :x(t) =1t 2t y(t) =tt 21
possède un point double et que les tangentes en ce point sont perpendiculaires. H???Exercice 6

Montrer que la courbe paramétrée

8< :x(t) =4t3t 2+1 y(t) =2t1t 2+2 admet un unique point singulier, et tracer l"allure de la courbe au voisinage de ce point. HH???Exercice 7 On considère la courbe paramétrée définie par 8< :x(t) =t+4t y(t) =t3 +2+3t+1 1. Dresser le tableau de v ariationsconjointes de xety. 2. Calculer les tangentes horizontales, v erticaleset les asymptotes. 3.

T rouverle point singulier de la courbe, étudier son type et écrire l"équation de la tangente à la courbe en

ces points. 4.

T racerla courbe.

H???Exercice 8 Trouver les droites à la fois tangentes et orthogonales à la courbe x(t) =3t2 y(t) =4t3 2 H???3 Courbes en polaires Exercice 9Étudier les courbes d"équations polaires suivantes:

1.r(q) =1ptan(2q)pourq2]0;p4

2.r(q) =sin2qcosqpourq2]p2

;p2 [(La cissoïde droite)

3.r(q) =pcos(2q)(La lemniscate de Bernoulli)

H???Exercice 10

On considère les courbesC1etC2(des limaçons de Pascal)respectivement données en polaires par

1(q) =1+cosqr2(q) =3+cosq

Pouri=1;2, on noteNi(q)la droite orthogonale au pointMi(q)2Ci. Vérifier que pour toutq60[2p], les droitesN1(q)etN2(q)sont sécantes, en un pointP(q). Déterminer le lieu du pointPquandqvarie. HH???3

Indication pourl"exer cice6 NUn pointM(t)est singulier six0(t) =0 ety0(t) =0.Indication pourl"exer cice10 NUtiliser le repère de Frenet(~uq;~vq).4

Correction del"exer cice1 N1.Pour f(x) =sin2x+cosx, le domaine de définition defestR, etfest de classeC¥. On remarque que

fest 2p-périodique et paire, il suffit donc de faire l"étude defsur l"intervalle[0;p].

V ariationsde f

Pourx2[0;p],f0(x) =2sinxcosxsinx=sinx(2cosx1)et doncf0(x) =0 si et seulement si x2 f0;p3 ;pg. Comme sinx>0 six2]0;p[, pour étudier le signe def0(x), il suffit d"étudier le signe de(2cosx1), et on obtient x0 p3 pf

0(x)0+005

4 f% & 11

T angenteshorizontales

Le graphe defpossède une tangente horizontale là oùf0s"annule, c"est-à-dire aux points de

coordonnées(0;1),(p3 ;54 )et(p;1). Enparticulier, latangenteaupointd"abscisse0esthorizontale

et a pour équationy=1. Pour déterminer la position de la courbe par rapport à sa tangente en ce

point, on étudie le signe def(x)1 pourxproche de 0: f(x)1=sin2x1+cosx=cos2x+cosx=cosx(1cosx) Cette expression est positive au voisinage de 0 (et même>0 pourx6=0 proche de 0). La courbe est donc au-dessus de sa tangente.

Points particuliers

Le graphe defcoupe l"axe des abscisses entre 0 etpen un unique pointx0, qu"on détermine en résolvant f(x) =0()1cos2x+cosx=0()X2X1=0(X=cosx) cequidonnedeuxsolutionspourX, maisuneseuledans[1;1]:X=1p5 2 etdoncx0=arccos(1p5 2

Le graphe defest obtenu sur[p;p]par symétrie par rapport à l"axe des ordonnées, puis surRpar

2p-périodicité.xy

x 00p p 3 xy y=sin2x+cosx2.Pour f(x) =x+ln(1+ex), le domaine de définition defestRetfest de classeC¥.quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2

[PDF] Courbes planes possède un point double

Courbes planes

Fiche de Léa Blanc-Centi.

1 Courbes d"équationy=f(x)

1.f(x) =sin2x+cosx

2.f(x) =x+ln(1+ex)

SoitCla courbe plane paramétrée par

Représenter C.

Montrer que la courbe paramétrée

Montrer que la courbe paramétrée

T racerla courbe.

1.r(q) =1ptan(2q)pourq2]0;p4

2.r(q) =sin2qcosqpourq2]p2

3.r(q) =pcos(2q)(La lemniscate de Bernoulli)

1(q) =1+cosqr2(q) =3+cosq

V ariationsde f

0(x)0+005

T angenteshorizontales

Points particuliers

2p-périodicité.xy