Mathématiques - département MP S2 PDF

Courbes paramétrées

Exercice 3. La courbe orthoptique d'une courbe (C) est le lieu des points du plan d'où l'on peut mener (au moins) deux tangentes à (C) orthogonales. Déterminer

Correction du TD sur les courbes paramétrées

Les questions ont été légèrement modifiées par rapport à celles du TD. Exercice 1 : l'astroïde. L'astroïde est la courbe de coordonnées cartésiennes (où t ∈ R)

Courbes paramétrées Courbes polaires

Courbes paramétrées. Courbes polaires. Exercice 1 (Une courbe paramétrée). On considère la courbe paramétrée suivante γ : [0

Walanta

Géométrie plane : courbes paramétrées coniques

CM-C1 : Courbes paramétrées

Exercice.– Le dessin ci-dessous peut-il être le support d'une courbe polaire ? Réponse.– Oui en C0 non

Corrigé- ED n 1 : Courbes paramétrées

Pour t = −. √. 2 −. √. 3 et t = −. 1. −. √. 2 −. √. 3. = √. 2 +. √. 3 : (−. √. 2; 4). Exercice n◦2 : 1. { x(t) = t − sin(t) y(t)=

Mathématiques - département MP S2

11 mars 2006 1 Courbes paramétrées. 2. 1.1 Équation cartésienne équation ... Exercice 1.4.2 Étudier les branches infinies de la courbe paramétrée par.

Courbes planes

possède un point double et que les tangentes en ce point sont perpendiculaires. Correction ▽. Vidéo □. [006985]. Exercice 6. Montrer que la courbe paramétrée.

COURBES PARAMÉTRÉES

COURBES PARAMÉTRÉES. 1.1 Rappels. 1.1.1 Fonction paire. Soit f une fonction définie sur Tracer la courbe (C ). Exercice 2. Dans le plan P rapporté au repère ...

Polycopié de géométrie

éxercice. 16. Page 19. Chapitre 2. Exercices corrigés sur les courbes paramétrées. 2.1 Exercice 1. Soit 7 est une courbe régulière définie sur lhinterval [a b]

Courbes paramétrées

Exercice 1 Quelques grands classiques. 1. (**) L'astroïde. (a) a est un réel strictement positif donné. Etudier et construire la courbe de paramétrisation :.

Courbes paramétrées Courbes polaires

Exercice 1 (Une courbe paramétrée). de la courbe paramétrée par ?. Solution: La courbe décrite par ? étant construite à partir des fonctions cos et sin ...

CM-C1 : Courbes paramétrées

Exercice.– Le dessin ci-dessous peut-il être le support d'une courbe polaire ? Réponse.– Oui en C0 non

Courbes planes

possède un point double et que les tangentes en ce point sont perpendiculaires. Correction ?. Vidéo ?. [006985]. Exercice 6. Montrer que la courbe paramétrée.

Feuille dexercices no5

Exercice 1. On consid`ere la courbe plane d'équation paramétrée Exercice 5. Etudier et tracer les courbes paramétrées définies par.

Mathématiques - département MP S2

11 mar. 2006 Exercice 1.0.2 Quel est l'ensemble d'étude de la courbe définie par ... Exercice 1.5.3 Nous avons une courbe paramétrée P donnée par (x

TD I – Corrigé

TD I – Corrigé. 1. Études de courbes en coordonnées cartésiennes. Exercice 1.1 (Astroïde). — L'intervalle d'étude peut être réduit grâce aux symétries

Walanta

Géométrie plane : courbes paramétrées coniques

Polycopié de géométrie

2 Exercices corrigés sur les courbes paramétrées Definition 3 Soit 7 I ' R; une courbe paramétrée de class C% et un difféomorphisme.

COURBES PARAMETREES

1 nov. 2004 On étudie donc la courbe sur l'intervalle [0 ?/2] et on compl`ete le tracé par deux symétries. 1. Page 2. 4 Points singuliers. Un point c(t0) d ...

Math´ematiques - d´epartement MP, S2

11 mars 2006

Table des mati`eres

1 Courbes param´etr´ees 2

1.1´Equation cart´esienne, ´equation param´etrique, ´equation polaire3

1.1.1 La droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

1.1.2 Le cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

1.1.3 L"ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

1.1.4 La cyclo¨ıde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

1.1.5 L"astro¨ıde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

1.1.6 Courbes de Lissajous . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

1.2 Tangente et Points stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . .11

1.3 Points multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

1.4 Branches infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

1.5 Tableau de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

2 Solutions 19

1 Courbes param´etr´ees

On se placera toujours dans un rep`ere orthonormal (O,-→i ,-→j).D´efinition1.0.1Soientfetgdeux fonctions d´efinies et continues respec-

tivement sur les intervallesDfetDgdeR. Soittune variable r´eelle. Pourtappartenant `aDf∩ Dg, l"ensemble des pointsMde coordonn´ees (f(t),g(t))d´efinit une courbe dontl"´equation param´etriqueest?x=f(t) y=g(t)

La variabletestle param`etre.

L"ensembleDf∩ Dgestl"ensemble de d´efinition.Exercice1.0.1Quel est l"ensemble de d´efinition de la courbe d´efinie par

?x=⎷t+ 1 y=⎷1-t. Pour tracer la courbe, on cherche l"ensemble des valeurs du param`etre par

lesquels on obtient toute la courbe :-Si les fonctionsfetgsont paires ou impaires, on peut restreindre

l"ensemble de d´efinition pour tracer la courbe, et utiliser ensuite une

sym´etrie pour finir le trac´e-si les fonctionfetgsont p´eriodiques, on peut restreindre l"ensemble de

d´efinition pour tracer la courbe, et utiliser ensuite une sym´etrie pour finir le trac´e

Cet ensemble s"appellel"ensemble d"´etude.Exercice1.0.2Quel est l"ensemble d"´etude de la courbe d´efinie par

?x(t) = sin(2t) y(t) = cos(3t)Exercice1.0.3Quel est l"ensemble d"´etude de la courbe d´efinie par ?x(t) = sin(4t) y(t) = cos(2t)Exercice1.0.4Quel est l"ensemble d"´etude de la courbe d´efinie par ?x(t) =t+1t y(t) =t-1t Exercice1.0.5Quel est l"ensemble d"´etude de la courbe d´efinie par ?x(t) = (cost)3 y(t) = (sint)3Exercice1.0.6Quel est l"ensemble d"´etude de la courbe d´efinie par ?x(t) = cost y(t) =t2 + sint2 1.1 ´Equation cart´esienne, ´equation param´etrique, ´equation polaireD´efinition1.1.1´ Etant donn´ee une fonctionf:R2→R, on appelle courbe d"´equation cart´esiennef(x,y) = 0l"ensemble des pointsM(x,y)dont les

coordonn´ees v´erifient cette ´equationExemple1.1.1Le cercle de centreC(a,b)et de rayon R admet(x-a)2+

(y-b)2=R2comme ´equation cart´esienne.Remarque1.1.1Une ´equation cart´esienne n"est pas forc´ement de la forme

y=f(x). Une courbe dont on a la repr´esentation param`etr´ee ne peut pas forc´ement s"´ecrire sous la forme d"une ´equation cart´esienney=f(x) car `a deux valeurs diff´erentes du param`etre peuvent correspondre plusieurs points de mˆeme abs- cisse. N´eanmoins, en ´eliminant le param`etretentrexety, on peut obtenir une

´equation de la formef(x,y) = 0.D´efinition1.1.2On peut ´egalement rep´erer un pointMdans le plan en

utilisant sa distance `a l"origine Oρ(θ)et l"angleθform´e par les droitesOM etOx. Sescoordonn´ees polairessont alors(θ,ρ(θ)). On peut facilement ramener une ´equation polaire `a une ´equation param`etr´ee x=ρ(θ)cosθ,y=ρ(θ)sinθ. Certaines courbes ont une ´equation simple en coordonn´ees polaires : par exemple, la courbe d´efinie parρ(θ) = 3cos2θ:3

1.1.1 La droite

Soit un vecteur

-→uet un pointA. L"ensemble des pointsMde l"espace tels que--→AM=t-→u, avect?R, est la droite de vecteur directeur-→upassant par A.`A chaque valeur du param`etretcorrespond un point unique de la droite. R´eciproquement, `a chaque pointMde la droite correspond une va- leur unique du param`etret. Si le vecteur-→ua pour coordonn´ees (α,β) et le pointAa pour coordonn´ees (xA,yA) alors la droite est d´efini par?x(t) =αt+xA y(t) =βt+yA Le vecteur-→un"est pas unique, ni le point A donc l"´equation param´etrique

d"une droite n"est pas unique.Proposition1.1.1Soit la droite(D)d"´equationax+by+c= 0.1.Sia?= 0, on peut prendre?x(t) =bt-ca

y(t) =-atcomme param`etrisation.2.Sia= 0etb?= 0, on peut prendre?x(t) =bt y(t) =-at-cb comme pa-

ram`etrisation.Exercice1.1.1Donner une´equation param´etrique et une´equation cart´esienne

de la droiteDpassant parA(1,-2) et dirig´ee par le vecteur-→u(1,2).Exercice1.1.2Donner une´equation param´etrique et une´equation cart´esienne

de la droiteDpassant parA(-3,4) et dirig´ee par le vecteur-→u(0,1).Exercice1.1.3Donner une´equation param´etrique et une´equation cart´esienne

de la droiteDpassant parA(0,1) et dirig´ee par le vecteur-→u(-1,1).Exercice1.1.4Donner une´equation param´etrique et une´equation cart´esienne

de la droiteDpassant parA(2,-1) et ayant comme vecteur normal-→n(3,2).Exercice1.1.5SoitDla droite d"´equation param´etrique?x(t) = 1 + 3t

y(t) =-1 +t.

Donner une ´equation cart´esienne de cette droite.Exercice1.1.6SoitDla droite d"´equation cart´esienne 2x+ 3y+ 1 = 0.

Donner une ´equation param´etrique de cette droite.4

1.1.2 Le cercle

Un cercle est une figure g´eom´etrique plane, constitu´ee des points situ´es `a ´egale distance d"un point nomm´e centre. La valeur de cette distance est le

rayon du cercle. La surface d´elimit´ee par un cercle est un disque.Proposition1.1.2Soienta,betRr´eels. Tout syst`eme d"´equation param`etrique

de la forme ?x=a+Rcost y=b+Rsint,t?[0,2π] repr´esente un cercle de centre(a,b)et de rayon R. Une ´equation cart´esienne du cercle de centre(a,b)et de rayon R est(x- a)2+ (y-b)2=R2.Exercice1.1.7Donner une´equation param`etrique et une´equation cart´esienne

du cercle de rayon 2 et de centre (1,2).D´efinition1.1.3On appellecordeun segment de droite dont les extr´emit´es

se trouvent sur le cercle. Unarcest une portion de cercle d´elimit´ee par deux points. On appellerayonun segment de droite joignant le centre du cercle `a un point du cercle. La longueur d"un rayon est ´evidemment le rayon r du cercle. Undiam`etreest une corde passant par le centre; c"est un segment de droitequotesdbs_dbs2.pdfusesText_2

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