Courbes paramétrées Courbes polaires PDF

Courbes paramétrées

Exercice 3. La courbe orthoptique d'une courbe (C) est le lieu des points du plan d'où l'on peut mener (au moins) deux tangentes à (C) orthogonales. Déterminer

Correction du TD sur les courbes paramétrées

Les questions ont été légèrement modifiées par rapport à celles du TD. Exercice 1 : l'astroïde. L'astroïde est la courbe de coordonnées cartésiennes (où t ∈ R)

Courbes paramétrées Courbes polaires

Courbes paramétrées. Courbes polaires. Exercice 1 (Une courbe paramétrée). On considère la courbe paramétrée suivante γ : [0

Walanta

Géométrie plane : courbes paramétrées coniques

CM-C1 : Courbes paramétrées

Exercice.– Le dessin ci-dessous peut-il être le support d'une courbe polaire ? Réponse.– Oui en C0 non

Corrigé- ED n 1 : Courbes paramétrées

Pour t = −. √. 2 −. √. 3 et t = −. 1. −. √. 2 −. √. 3. = √. 2 +. √. 3 : (−. √. 2; 4). Exercice n◦2 : 1. { x(t) = t − sin(t) y(t)=

Mathématiques - département MP S2

11 mars 2006 1 Courbes paramétrées. 2. 1.1 Équation cartésienne équation ... Exercice 1.4.2 Étudier les branches infinies de la courbe paramétrée par.

Courbes planes

possède un point double et que les tangentes en ce point sont perpendiculaires. Correction ▽. Vidéo □. [006985]. Exercice 6. Montrer que la courbe paramétrée.

COURBES PARAMÉTRÉES

COURBES PARAMÉTRÉES. 1.1 Rappels. 1.1.1 Fonction paire. Soit f une fonction définie sur Tracer la courbe (C ). Exercice 2. Dans le plan P rapporté au repère ...

Polycopié de géométrie

éxercice. 16. Page 19. Chapitre 2. Exercices corrigés sur les courbes paramétrées. 2.1 Exercice 1. Soit 7 est une courbe régulière définie sur lhinterval [a b]

Courbes paramétrées

Exercice 1 Quelques grands classiques. 1. (**) L'astroïde. (a) a est un réel strictement positif donné. Etudier et construire la courbe de paramétrisation :.

Courbes paramétrées Courbes polaires

Exercice 1 (Une courbe paramétrée). de la courbe paramétrée par ?. Solution: La courbe décrite par ? étant construite à partir des fonctions cos et sin ...

CM-C1 : Courbes paramétrées

Exercice.– Le dessin ci-dessous peut-il être le support d'une courbe polaire ? Réponse.– Oui en C0 non

Courbes planes

possède un point double et que les tangentes en ce point sont perpendiculaires. Correction ?. Vidéo ?. [006985]. Exercice 6. Montrer que la courbe paramétrée.

Feuille dexercices no5

Exercice 1. On consid`ere la courbe plane d'équation paramétrée Exercice 5. Etudier et tracer les courbes paramétrées définies par.

Mathématiques - département MP S2

11 mar. 2006 Exercice 1.0.2 Quel est l'ensemble d'étude de la courbe définie par ... Exercice 1.5.3 Nous avons une courbe paramétrée P donnée par (x

TD I – Corrigé

TD I – Corrigé. 1. Études de courbes en coordonnées cartésiennes. Exercice 1.1 (Astroïde). — L'intervalle d'étude peut être réduit grâce aux symétries

Walanta

Géométrie plane : courbes paramétrées coniques

Polycopié de géométrie

2 Exercices corrigés sur les courbes paramétrées Definition 3 Soit 7 I ' R; une courbe paramétrée de class C% et un difféomorphisme.

COURBES PARAMETREES

1 nov. 2004 On étudie donc la courbe sur l'intervalle [0 ?/2] et on compl`ete le tracé par deux symétries. 1. Page 2. 4 Points singuliers. Un point c(t0) d ...

Courbes paramétrées,

Courbes polaires

Exercice 1(Une courbe paramétrée).On considère la courbe paramétrée suivante : [0;]!R2 t7!(x(t);y(t)) = (2cos(t);3sin(t)): 1.

En év aluant

(t)pour un certain nombre de valeurs detbien choisies, effectuer un dessin préliminaire de la courbe paramétrée par

Solution:La courbe décrite par

étant construite à partir des fonctionscosetsin, on peut utiliser les valeurs remarquables de ces deux fonctions pour construire un certain nombre de points de la courbe. Les valeurs choisies sont résumées dans le tableau suivant.t06 4 3 2 23
34
56
x(t) 2p3 p2 1 01p2p32 y(t) 032 3p2 2 3p3 2 33p3
2 3p2 2 32

0On peut alors obtenir la figure suivante, sur laquelle on devine une courbe qui pourrait être par

exemple une parabole ou une demi-ellipse.21012xy 0123
2. Mon trerque la fon ctiont7!9x(t)2+ 4y(t)2est constante. Solution:D"après le théorème de Pythagore,cos2(t) +sin2(t) = 1quel que soitt2R. Par conséquent, on a pour toutt2Rl"égalité

9x2(t) + 4y2(t) = 36cos2(t) + 36sin2(t) = 36:3.Quelle courb eest repré sentéepar

Solution:On reconnait dans l"équation

9x2+ 4y2= 36

l"équation d"une ellipse centrée à l"origine. D"après la réponse à la question précédente,(x(t);y(t))

vivent pour toutt2[0;]sur cette ellipse. Cependant, puisquet2[0;], l"intégralité de l"ellipse n"est

pas parcourue. At= 0, on part du point de coordonnées(2;0)sur l"ellipse, pour remonter ensuite

vers la partie supérieur du plan et parcourir la demi-ellipse en arrivant au point de coordonnées

(2;0). La partie inférieur de l"ellipse ne fait pas partie de la courbe (elle en ferait partie si on avait

pristdans l"intervalle[0;2]). La courbe est représentée en bleu dans la figure suivante.21012xy

3210123

Exercice 2(Folium).On considère la courbe paramétrée définie par les équations x(t) = sin(2t); y(t) = sin(3t);t2R: 1.

En ut ilisantles propri étésde s ymétriede la courb e,mon trerqu"o np eutréduire le domaine d"étude à

t2[;], puis àt2[0;]. Solution:Commencons par rappeler que la fonctionsinest périodique de période2. La fonction xest donc périodique de périodeTx=22 =et la fonctionyest également périodique, de période T y=23 . Le rapport entre ces deux périodes est T yT x=23 =23 C"est un nombre rationnel, il existe donc une période communeTentrexetyqui est donnée par

T= 3Ty= 2Tx= 2:

On peut donc se réduire à l"étude de la courbe sur un domaine de longueur2, comme par exemple

Étudions maintenant la parité de la courbe. La fonctionsinest impaire et on a donc x(t) =x(t); y(t) =y(t):

Par conséquent, la courbe pour lest <0s"obtient par symétrie centrale de la courbe pour lest >0et

réciproquement. On peut donc se restreindre à la partie positive de l"intervalle d"étude précédement

selectionné, c"est à dire se restreindre à[0;].Page 2

2.Exprimer x(t)ety(t)en fonction dex(t)ety(t). Montrer que la courbe a une symétrie

supplémentaire et qu"on peut restreindre le domain d"étude àt20;2

Solution:On a

x(t) = sin(2(t)) = sin(22t) = sin(2t) =sin(2t) =x(t); y(t) = sin(3(t)) = sin(33t) = sin(3t) = sin(3t) =y(t): Par conséquent, on peut déduire la courbe pourt22 ;de la courbe sur0;2 par symmétrie par rapport à l"axe des ordonnnées. Ainsi, il suffit d"étudier la courbe sur l"intervalle0;2 .3.Construire le tableau de v ariationdes fonction sxetysur l"intervalle0;2 . On indiquera les valeurs de x,x0,yety0pour les valeurs6 4et3

Solution:Les dérivées dexetysont

0(t) = 2cos(2t); y0(t) = 3cos(3t):

Le tableau de variation de la courbe est donc le suivant.t x

0(t)x(t)y

0(t)y(t)y

0(t)x 0(t)0 6 4 3 2

2+1+0120011

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