Courbes paramétrées
Exercice 3. La courbe orthoptique d'une courbe (C) est le lieu des points du plan d'où l'on peut mener (au moins) deux tangentes à (C) orthogonales. Déterminer
Correction du TD sur les courbes paramétrées
Les questions ont été légèrement modifiées par rapport à celles du TD. Exercice 1 : l'astroïde. L'astroïde est la courbe de coordonnées cartésiennes (où t ∈ R)
Courbes paramétrées Courbes polaires
Courbes paramétrées. Courbes polaires. Exercice 1 (Une courbe paramétrée). On considère la courbe paramétrée suivante γ : [0
Walanta
Géométrie plane : courbes paramétrées coniques
CM-C1 : Courbes paramétrées
Exercice.– Le dessin ci-dessous peut-il être le support d'une courbe polaire ? Réponse.– Oui en C0 non
Corrigé- ED n 1 : Courbes paramétrées
Pour t = −. √. 2 −. √. 3 et t = −. 1. −. √. 2 −. √. 3. = √. 2 +. √. 3 : (−. √. 2; 4). Exercice n◦2 : 1. { x(t) = t − sin(t) y(t)=
Mathématiques - département MP S2
11 mars 2006 1 Courbes paramétrées. 2. 1.1 Équation cartésienne équation ... Exercice 1.4.2 Étudier les branches infinies de la courbe paramétrée par.
Courbes planes
possède un point double et que les tangentes en ce point sont perpendiculaires. Correction ▽. Vidéo □. [006985]. Exercice 6. Montrer que la courbe paramétrée.
COURBES PARAMÉTRÉES
COURBES PARAMÉTRÉES. 1.1 Rappels. 1.1.1 Fonction paire. Soit f une fonction définie sur Tracer la courbe (C ). Exercice 2. Dans le plan P rapporté au repère ...
Polycopié de géométrie
éxercice. 16. Page 19. Chapitre 2. Exercices corrigés sur les courbes paramétrées. 2.1 Exercice 1. Soit 7 est une courbe régulière définie sur lhinterval [a b]
Courbes paramétrées
Exercice 1 Quelques grands classiques. 1. (**) L'astroïde. (a) a est un réel strictement positif donné. Etudier et construire la courbe de paramétrisation :.
Courbes paramétrées Courbes polaires
Exercice 1 (Une courbe paramétrée). de la courbe paramétrée par ?. Solution: La courbe décrite par ? étant construite à partir des fonctions cos et sin ...
CM-C1 : Courbes paramétrées
Exercice.– Le dessin ci-dessous peut-il être le support d'une courbe polaire ? Réponse.– Oui en C0 non
Courbes planes
possède un point double et que les tangentes en ce point sont perpendiculaires. Correction ?. Vidéo ?. [006985]. Exercice 6. Montrer que la courbe paramétrée.
Feuille dexercices no5
Exercice 1. On consid`ere la courbe plane d'équation paramétrée Exercice 5. Etudier et tracer les courbes paramétrées définies par.
Mathématiques - département MP S2
11 mar. 2006 Exercice 1.0.2 Quel est l'ensemble d'étude de la courbe définie par ... Exercice 1.5.3 Nous avons une courbe paramétrée P donnée par (x
TD I – Corrigé
TD I – Corrigé. 1. Études de courbes en coordonnées cartésiennes. Exercice 1.1 (Astroïde). — L'intervalle d'étude peut être réduit grâce aux symétries
Walanta
Géométrie plane : courbes paramétrées coniques
Polycopié de géométrie
2 Exercices corrigés sur les courbes paramétrées Definition 3 Soit 7 I ' R; une courbe paramétrée de class C% et un difféomorphisme.
COURBES PARAMETREES
1 nov. 2004 On étudie donc la courbe sur l'intervalle [0 ?/2] et on compl`ete le tracé par deux symétries. 1. Page 2. 4 Points singuliers. Un point c(t0) d ...
COURBES PARAMETREES
P. Pansu
November 1, 2004
1 Motivation
La trajectoire d"un point qui se d´eplace dans un plan, c"estdonn´e par deux fonctionsx(t) ety(t)
du temps.2 Objectif
Lorsque les fonctionst?→x(t) ett?→y(t) sont donn´ees, on veut tracer la courbe `a la main.
On sait d´ej`a tracer des trajectoires particuli`eres, celles o`ux(t) =t. En effet, dans ce cas, la
courbe est le graphe d"une fonction d"une variable r´eelle.On va voir que le trac´e dans le cas g´en´eral
se d´eduit de ce cas particulier. Il y a deux nouveaut´es : le traitement des sym´etries, et celui des points singuliers. Notre exemple favori : la courbe d´ecrite parx(t) = sin(2t),y(t) = sin(3t) pourt?R.3 Sym´etries
Attention, il y a deux fonctions en jeu,x(t) ety(t), et non une,y=f(x). Ca change tout. Laparit´e/imparit´e des fonctionsx(t) ety(t) se traduit par exemple par les sym´etries suivantes.
•Lorsquexetysont impaires,c(-t) =-c(t) s"obtient `a partir dec(t) par une sym´etrie centrale. •Lorsquexest impaire etypaire,c(-t) s"obtient `a partir dec(t) par une sym´etrie par rapport `a l"axeOy. •Lorsquexetysont paires,c(-t) =c(t), donc la courbe revient sur ses pas. •Lorsquexest paire etyimpaire,c(-t) s"obtient `a partir dec(t) par une sym´etrie par rapport `a l"axeOx. Pas de recette `a apprendre par coeur, mais un raisonnement d"une ligne `a savoir refaire.Exemple.Dans l"exemplec(t) =?sin(2t)
sin(3t)? , la recherche de sym´etries conduit aux conclusions suivantes.Commex(t+2π) =x(t) ety(t+2π) =y(t), l"intervalle [0,2π] suffit `a param´etrer toute la courbe.
Commex(t+π) =x(t) ety(t+π) =-y(t), la portion de la courbe param´etr´ee par [π,2π]s"obtient `a partir de celle param´etr´ee par [0,π] par une sym´etrie par rapport `a l"axe 0x.
Commex(π-t) =-x(t) ety(π-t) =y(t), la portion de la courbe param´etr´ee par [π/2,π]
s"obtient `a partir de celle param´etr´ee par [0,π/2] par une sym´etrie par rapport `a l"axe 0y.
On ´etudie donc la courbe sur l"intervalle [0,π/2] et on compl`ete le trac´e par deux sym´etries.
14 Points singuliersUn pointc(t0) d"une courbecest ditsinguliersi la vitessec?(t0) = 0. On se demande quel est
l"aspect de la courbe au voisinage d"un point singulier. Pour cela, on utilise des d´eveloppements
limit´es. On pourra d´ecrire l"aspect de la courbe sous l"hypoth`ese que les d´eveloppements limit´es
n´ecessaires poss`edent des termes non nuls. Pour all´eger les notations, on supposera toujours quet0= 0.4.1 Proc´ed´e pratique
On suppose quec(t) poss`ede un d´eveloppement limit´e de la forme c(t) =c(0) +tav1+tbv2+tb?(t), o`ua < betv1etv2sontlin´eairement ind´ependants.Alors labranche sortante, i.e. pourtpositif petit, est contenue dans le quadrant d´elimit´e par
v1etv2et tangente `av2.
Labranche entrante, i.e. pourtn´egatif petit, est aussi tangente `av1, mais contenue dans l"un des 4 quadrants d´efinis parv1etv2. Lequel ? Cela d´epend des signes detaet detbpourt <0, i.e. de la parit´e deaet deb. 2vv 12vv 12vv 12vv 1 apair,bimpairaimpair,bimpairaimpair,bpairapair,bpairOn peut justifier le trac´e comme suit : il existe un changement de coordonn´ees tel que, dans les
nouvelles coordonn´ees, la branche sortante ait pour ´equationY=Xb/a. Dans le dernier cas, cela
ne suffit pas `a compl´eter le trac´e. Pour d´ecider si la branche entrante est plus proche ou moins
proche dev1que la branche sortante, il faut pousser le d´eveloppement limit´e plus loin, jusqu"`a ce
qu"un terme entc,cimpair, apparaisse.4.2 Terminologie
La terminologie suivante doit ˆetre connue.
D´efinition 11. Siaest pair etbimpair, on parle depoint de rebroussement de premi`ere esp`ece. Dans ce cas, la courbe poss`ede une demi-tangente de vecteur directeurv1.2. Siaest impair etbimpair, on parle depoint d"inflexion. Dans ce cas, la courbe poss`ede une
tangente de vecteur directeurv1.3. Siaest impair etbpair, on parle depoint ordinaire. Dans ce cas, la courbe poss`ede une
tangente de vecteur directeurv1.4. Siaest pair etbimpair, on parle depoint de rebroussement de deuxi`eme esp`ece. Dans ce
cas, la courbe poss`ede une demi-tangente de vecteur directeurv1. Exemple.Etude du point singulier ent= 0 de la courbe param´etr´ee parx(t) =t2,y(t) =t2+t3.Le d´eveloppement limit´e
c(t) =t2?12? +t3?01? +t3?(t) montre qu"il s"agit d"un point de rebroussement de premi`ere esp`ece. La courbe poss`ede une demi- tangente de vecteur directeur?12?0.30.280.260.240.220.20.180.160.140.120.10.080.060.040.020.06
0.04 0.02Page 1
Rebroussement de premi`ere esp`ece
Exemple.Etude du point singulier ent= 0 de la courbe param´etr´ee parx(t) =-t3+t4, y(t) =t3.Le d´eveloppement limit´e
c(t) =t3?-1 1? +t4?10? +t4?(t) montre qu"il s"agit d"un point ordinaire, avec tangente de vecteur directeur?-1 1?0.20.1-0.1-0.20.2
0.1 -0.1 -0.2Page 1
Point ordinaire
Exemple.Etude locale de la courbe param´etr´ee d´efinie parx(t) = 3(sin(t)-t),y(t) =t3+t5.Le d´eveloppement limit´e
c(t) =t3?-1 21?+t5?1401? +t5?(t), montre qu"il s"agit d"un point d"inflexion, de tangente de vecteur directeur?-1 21?
0.20.1-0.1-0.20.2
0.1 -0.1 -0.2Page 1
Point d"inflexion
Exemple.Etude locale de la courbe param´etr´ee d´efinie parx(t) = 3(cos(t)-1),y(t) =t2+t4+t5.
Le d´eveloppement limit´e
c(t) =t2?3 21?+t4?-181? +t4?(t), montre qu"il s"agit d"un point de rebroussement de deuxi`eme esp`ece, de demi-tangente de vecteur directeur? 3 21?
-0.2-0.4-0.6-0.81 0.8 0.6 0.4 0.2
Page 1
Point de rebroussement de deuxi`eme esp`ece
5 Branches infiniesOn parle debranche infinielorsquettend verst0(´eventuellementt0=±∞) si l"une des fonction
x(t) ety(t) n"est pas born´ee au voisinage det0.Comme dans le cas des courbes repr´esentatives de fonctions, on dira qu"une courbe param´etr´ee
admet pourasymptotela droite d"´equationAx+By+C= 0 lorsquettend verst0(´eventuellement a=±∞) si l"une des fonctionx(t) ety(t) n"est pas born´ee au voisinage det0et si lim t→t0Ax(t) +By(t) +C= 0. Si|y(t)|tend vers l"infini etx(t) poss`ede une limite finieC, alors la droite affine d"´equation x-C= 0 est asymptote `a la courbe.Sinon, pour d´eceler la pr´esence d"une ´eventuelle asymptote pourtvoisin det0, on ´etudie le
rapport y(t) x(t). Si lim t→t0y(t) x(t)= +∞, on dit que la courbe admet unebranche parabolique de direction asymptotiqueOy.quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2[PDF] exercices corrigés d'algorithmique et structures de données
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