Examen (Corrigé)
Montrer que f est une fonction entière. 2. Pour z ∈ C posons z = x+iy
TD 4. Fonctions holomorphes
Exercice 3. Soit Ω un ouvert connexe de C et f une fonction analytique (donc holomorphe) sur Ω. On note P et Q les parties réelle et imaginaire de la
Fonctions holomorphes (HOLO) Exercice 1 (Questions de cours 4
Fonctions holomorphes (HOLO). INTERROGATION (CORRIGÉ). Exercice 1 (Questions de cours 4 points). 1. Démontrer que la partie imaginaire d'une fonction
TD n°2 : Fonctions Holomorphes. CORRECTION
. Elle n'est donc pas dérivable en 1. Exercice 4. 1. Montrer que si f est dérivable
VARIABLE COMPLEXE EXERCICES et ANNALES
Mme question si
Mathématiques pour lIngénieur - S2 Analyse complexe
Une fonction de variable complexe `a valeurs réelles peut-elle être holomorphe ? Exercice 1.7 « Conjuguées » de fonctions holomorphes. Soit z ↦→ f(z) une
Exercices corrigés pour lanalyse complexe
25 août 2021 Montrer que f est analytique (holomorphe) dans C. Solution. Page 32. 24. Fonctions complexes. Pour ...
Analyse complexe pour la Licence 3 : Cours et exercices corrigés
Les résultats concernant la théorie des fonctions holomorphes d'une ou plusieurs va- riables complexes sont très nombreux car c'est une théorie
Analyse complexe
Cours et exercices corrigés. André Giroux. Département de mathématiques et fonctions holomorphes dans D. Soit C est un chemin fermé contenu ainsi que.
TD n°2 : Fonctions Holomorphes. CORRECTION
TD n°2 : Fonctions Holomorphes. CORRECTION. Exercice 1 ?1 donc la fonction ne vérifie pas les conditions de Cauchy-Riemann elle.
Analyse complexe pour la Licence 3 : Cours et exercices corrigés
Solutions des exercices. 83. CHAPITRE 7 • PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS HOLOMORPHES. 7.1 Inégalités de Cauchy et conséquences. 84. 7.2 Principe du maximum.
Fonctions holomorphes (HOLO) Exercice 1 (Questions de cours 4
INTERROGATION (CORRIGÉ). Exercice 1 (Questions de cours 4 points). 1. Démontrer que la partie imaginaire d'une fonction holomorphe est harmonique.
VARIABLE COMPLEXE EXERCICES et ANNALES
7 Zéros des fonctions holomorphes prolongement analytique et Exercice 1.1.8 Soit U un ouvert connexe de C et f : U ? C une fonction holomorphe sur U.
Dérivabilité au sens complexe fonctions analytiques
Exercice 9. Prouver qu'une fonction holomorphe sur un ouvert connexe de dérivée identiquement nulle
Analyse complexe
Cours et exercices corrigés 9.5 Propriétés analytiques des fonctions holomorphes . ... 9.7 Propriétés géométriques des fonctions holomorphes .
Quelques exercices corrigés pour préparer le partiel du 20 avril.
Vous verrez bientôt en cours que les fonctions holomorphes non constantes sont des fonctions ou- vertes i.e l'image d'un ouvert par une fonction holomorphe non
examens-corriges-analyse-complexe.pdf
1. Examen 1. Exercice 1. Soit un ouvert connexe non vide ? ? C soit z0 ? ?
Mathématiques pour lIngénieur - S2 Analyse complexe
A Probl`emes corrigés Exercice 1.3 Classe de fonctions holomorphes ... Exercice 1.4 Détermination d'une fonction holomorphe par sa partie réelle.
VARIABLE COMPLEXE EXERCICES et ANNALES
c) Trouver toutes les fonctions f holomorphes sur C? telles P = e(f) ne dépend pas de ?. Exercice 2.11 Soit f : ? ?? ? C une fonction holomorphe sur ?
Exercices : Jean-François Burnol
Corrections : Volker Mayer
Relecture : François LescureExo7
Dérivabilité au sens complexe, fonctions analytiques1 Dérivabilité complexe
Exercice 1Montrer que la fonctionf(z) =1z
est holomorphe surCnf0get vérifief0(z) =1z 2. Sifetgsont deux fonctions dérivables au sens complexe au pointz0; montrer quef+g,fgetfgle sont et donner la valeur de leurs dérivées au pointz0. Sifetgsont deux fonctions dérivables au sens complexe au pointz0montrer quefg est dérivable au sens complexe et donner la valeur de la dérivée lorsqueg(z0)6=0. Montrer la formule pour la dérivée d"une compositiongf.Soitfetgdeux fonctionsn-fois dérivables au sens complexe sur un ouvert non videU(remarque: d"après le
cours il suffit qu"elles soient dérivables une fois surUpour qu"elles le soient un nombre quelconque de fois).
Montrer la formule de Leibniz généralisée:8z2U(fg)(n)(z) =nå
j=0 n j f (j)(z)g(nj)(z)On se donne deux séries entièresf(z) =å¥n=0anznetg(z) =å¥n=0bnznde rayons de convergencesR1etR2non
nuls. En utilisant le théorème sur les séries doubles prouverf(z)g(z) =å¥n=0cnznpourjzj Retrouver le résultat de l"exercice précédent (l"exercice6 ) de manière plus indirecte en montrant que les coefficientscn=ånj=0ajbnjsont ceux de la série de Taylor à l"origine de la fonction holomorphek(z) = En quels points la fonctionz7!zest-elle dérivable au sens complexe, et/ou holomorphe? Même question pour Prouver qu"une fonction holomorphe sur un ouvert connexe, de dérivée identiquement nulle, est constante. Et Sur un ouvert connexeUon se donne une fonction holomorphefqui a la propriété de ne prendre que des Exercice 11Cet exercice propose une variante pour développer la théorie de la fonction exponentielle. On se donne une fonction fqui estn+1-fois dérivable au sens complexe sur le disque ouvertD(0;R)(on sait qu"une fois suffit mais on ne va pas utiliser ce théorème difficile ici). Soitz2D(0;R). En appliquant la formule de Taylor avec reste intégral de Lagrange à la fonction de la variable réellet7!g(t) =f(tz) Montrer quefest infiniment dérivable au sens complexe. En utilisant la question précédente montrer : Réciproquement on considère la fonction F(z)=å¥k=0zkk!. Vérifier que le rayon de convergence est infini. Établir par un calcul direct queF0(0)existe et vaut 1. En utilisant le théorème sur les séries doubles, å¥n=0anznune série entière de rayon de convergenceR. Est-il exact que pourjzj>Ron a limjanznj=+¥? Déterminer en toutz06=1 la série de Taylor et son rayon de convergence pour la fonction analytique1z1. Déterminer en toutz06=1;2 la série de Taylor et son rayon de convergence pour la fonction analytique8n2Ncn=nå
j=0a jbnj Le rayon de convergence de la série
å¥n=0cnznest-il toujours égal à min(R1;R2)ou peut-il être plus grand? 1 0(1t)nn!f(n+1)(tz)dt
2. On suppose que fest dérivable au sens complexe une fois surD(0;R)et vérifief0=fetf(0) =1. 3 Fonctions analytiques
Exercice 12Soit
11z,1(1z)2,1(1z)3,1(1z)4.
1(z1)(z2). Onauraintérêtàréduireenélémentssimples. Deplusondemanded"indiquerlerayondeconvergence
avantde déterminer explicitement la série de Taylor. Déterminer en tout pointz0où elle est définie la série de Taylor de la fonction1z 31. On déterminera son rayon
On considère la série entière
å¥k=0z2k. Quel est son rayon de convergence? On notef(z)sa somme. Que vaut lim t!1f(t)? (on prend 0
impossible de trouver un ouvertUconnexe intersectantD(0;1)mais non inclus entièrement dansD(0;1)et une
fonction holomorpheg(z)surUtels queg=fsurU\D(0;1). Pour toutz02D(0;1)déterminer alors le rayon de convergence de la série de Taylor defau pointz0. Montrer que le rayon de convergence de chacune des séries concernées est 1 et prouver: 1. å¥n=1nznne converge en aucun point du cerclejzj=1. 2.å¥n=1znn
2converge en tout point du cerclejzj=1.
3.å¥n=1znn
converge en tout point du cerclejzj=1saufenz=1. Pour ce dernier cas on définitS0=1,S1=1+z,S2=1+z+z2, ...(on pose aussiS1=0). En écrivant z n=SnSn1exprimeråNn=1znn en fonction desSn. Montrer que lesSnsont bornées lorsquejzj=1,z6=1. Montrer qu"un entierk>1 s"écrit de manière unique sous la forme 2n(2m+1),n>0,m>0. Puis prouver pourjzj<1 : z1z2+z21z4++z2n1z2n+1+=z1z: 3 On justifiera les interversions de séries. Prouver aussi: z1+z+2z21+z2++2nz2n1+z2n+=z1z:Exercice 20Lorsquezest complexe les fonctions sin(z), cos(z), sh(z)et ch(z)sont définies par les formules:
sin(z) =eizeiz2ish(z) =ezez2 cos(z) =eiz+eiz2 ch(z) =ez+ez2 1. Montrer que cos et ch sont des fonctions paire set sin et sh des fonctions impaires et donner leursreprésentations comme séries entières. Prouvereiz=cos(z)+isin(z), sin(iz) =ish(z), cos(iz) =ch(z),
sh(iz) =isin(z), ch(iz) =cos(z). 2.Établir les formules:
cos(z+w) =cos(z)cos(w)sin(z)sin(w) sin(z+w) =sin(z)cos(w)+cos(z)sin(w)en écrivant de deux manières différentesei(z+w). Donner une autre preuve en utilisant le principe du
prolongement analytique et la validité (admise) des formules pourzetwréels. 3. Prouv erpour tout zcomplexe cos(p+z) =cos(z), sin(p+z) =sin(z). Prouver cos(p2 z) =sin(z). 4.Prouv erles formules cos
2z+sin2z=1 et ch2zsh2z=1 pour toutz2C.
Montrer sin(a+ib) =sin(a)ch(b)+icos(a)sh(b). Puis en prenant dorénavantaetbréels, prouver: a;b2R=) jsin(a+ib)j2=sin2(a)+sh2(b) Déterminer alors les nombres complexesz=a+ibtels que sin(z) =0. Donner une autre preuve.Montrer :
a;b2R=) jcos(a+ib)j2=cos2(a)+sh2(b) =ch2(b)sin2(a)5 Fonctions de Bessel
Exercice 23Les fonctions de Bessel sont très importantes en Analyse. Elles apparaissent très souvent dans des problèmes
de physique mathématique. L"analyse complexe permet d"étudier de manière approfondie ces fonctions. Ici
nous nous contentons des tout débuts de la théorie. Nous ne considérons que les fonctions1J0,J1,J2, ..., qui
sont définies par les formules: 2 n2N;z2CJn(z) =¥å n=0(1)n(z2 )2n+nn!(n+n)! 1. Montrer que le rayon de con vergencede la série définissant Jnest+¥. 2. En déri vantterme à terme prouv erles formules: (znJn)0=znJn1(n>1) (znJn)0=znJn+1(n>0)En particulier on a(zJ1)0=zJ0etJ0
0=J1. 3. Réécrire les équations précédentes sous la forme (zddz +n)Jn=zJn1(n>1) et(zddz n)Jn=zJn+1 (n>0) et en déduire(ddz +n+1z )(ddz nz )Jn=Jn, puis, après simplification, l"équation différentielle deBessel:
z2J00n+zJ0n+(z2n2)Jn=0
4.Montrer ,pour tout n2N, que la série entière définissantJnest la seule (à une constante multiplicative
près) qui donne une solution de l"équation différentielle de Bessel. 3 dites "fonctions de Bessel de première espèce (et d"indices entiers)".2Autrement dit:
J n(z) =zn2:4:::::(2n)Remarquez que seule la constante 2:4:::::(2n) =2nn! nous restreint (pour le moment) à des valeurs entières den. Si on en fait
abstraction on obtient avecn=12 la fonction "multiforme"z1=2cos(z); tandis qu"avecn= +12 on obtientz1=2sin(z). Les définitions exactes sontJ1=2(z) =q2pzcos(z)etJ1=2(z) =q2pzsin(z).3les autres solutions de l"équation différentielle sont singulières enz=0, avec une composante logarithmique (n2Z). Pourn=2Z
il y a une solution enzn(åk>0ckzk)et une autre enzn(åk>0dkzk). 5Correction del"exer cice1 NIl suffit de vérifier quefest dérivable au sens complexe. Pour toutz6=0:
lim w!zf(w)f(z)wz=limw!z1w 1z wz=limw!z1wz zwwz =1z 2: La fonctionfest bien holomorphe surCnf0gavecf0(z) =1z2.Correction del"exer cice2 NConsidérons le produitfg. En utilisant la définition même de la dérivée, on a :
1h (f(z+h)g(z+h)f(z)g(z)) =f(z+h)g(z+h)g(z)h +g(z)f(z+h)f(z)h !f(z)g0(z)+g(z)f0(z)lorsqueh!0:Autre manière:
f(z+h)g(z+h) = (f(z)+f0(z)h+he(h))(g(z)+g0(z)h+he(h)) =f(z)g(z)+(f(z)g0(z)+f0(z)g(z))h+he(h):D"où(fg)0(z) =f(z)g0(z)+f0(z)g(z).Correction del"exer cice3 NDe la même façon que pour la correction de l"exercice2 on a
f(z+h)g(z+h)=f(z)+f0(z)h+he(h)g(z)1+g0(z)g(z)h+he(h)
= (f(z)+f0(z)h+he(h))1g(z)1g0(z)g(z)h+he(h)
f(z)g(z)+f0(z)g(z)g0(z)f(z)g2(z)h+he(h)
sig(z)6=0.Correction del"exer cice4 NOn utilise de nouveau la définition de la dérivée, d"abord pourfenzpuis pourgau pointf(z):
f(z+h) =f(z)+f0(z)h+he(h):Notonswh=f0(z)h+he(h). Alors (et comme dans les exercices précédents on utilise epsilon pour n"importe
quelle fonction tendant vers zéro lorsque sa variable tend vers zéro): g(f(z+h)) =g(f(z)+wh) =g(f(z))+g0(f(z))wh+whe(wh):Ainsi:
1h g(f(z+h))g(f(z))=g0(f(z))+e(wh)whh Lorsqueh!0, on awh!0, donce(wh)!0 et par ailleurswhh !f0(z). Au final (gf)0(z) =limh!0g0(f(z))+e(wh)whh =g0(f(z))f0(z):Correction del"exer cice5 N6La formule de Leibniz se montre par récurrence. Le casn=1, c"est-à-dire(fg)0=fg0+f0g, a été démontré
dans l"exercice 2 . Supposons alors que cette formule soit vraie au rangn>1. Dans ce cas, (fg)(n+1)(z) =ddz (fg)(n) (z) =nå j=0 n j n f(j+1)(z)g(nj)(z)+f(j)(z)g(nj+1)(z)o n+1å j=1 n j1 f (j)(z)g(n+1j)(z)+nå j=0 n j f (j)(z)g(n+1j)(z):La conclusion vient du fait :
n j1+n j=n+1jqui est simple à vérifier.Correction del"exer cice6 NPrenonsr Par le théorème du cours sur les séries doubles (voir le polycopié 2005/2006 de J.-F. Burnol, Annexe 8.2), ceci de cette série est au moins égal àr. Commer moins égal à min(R1;R2)(il peut être plus grand comme on le voit par exemple avecf(z) =11zetg(z) =1z, ou encore avecf(z) =2z(1z)(3z)etg(z) =1z(2z)(3z)).Correction del"exer cice7 NIl suffit d"utiliser la formule de Leibniz de l"exercice5 et le f aitque le coef ficientandu développement defà l"origine estan=f(n)(0)=n!.Correction del"exer cice8 NLa fonctionf(z) =zn"est nulle part dérivable au sens complexe (et donc nulle part holomorphe): car et la limite de cette expression n"existe pas lorsqueh!0.Remarque.Plus généralement, une application (cen"estqu"uneécriturecomplexedesapplicationslinéairesdeR2dansR2); unetelleapplicationestholomorphe si et seulement sib=0. C"est exactement la différence entre différentiabilité (donc réelle) et holomorphie (dérivabilité au sens complexe). En effet, les équations de Cauchy-Riemann sont équivalentes à l"équation avez une fonctionfdifférentiable, alors sa différentielleDf(z)est une application linéaire de la forme (1). UnOr, la série de droite est
å¥n=0cnznaveccn=ånj=0ajbnj. Au passage on obtient que le rayon de convergence R-linéaire deCdansCest de la forme
w7!aw+bw(1)
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