Mathématiques pour lIngénieur - S2 Analyse complexe PDF

Examen (Corrigé)

Montrer que f est une fonction entière. 2. Pour z ∈ C posons z = x+iy

TD 4. Fonctions holomorphes

Exercice 3. Soit Ω un ouvert connexe de C et f une fonction analytique (donc holomorphe) sur Ω. On note P et Q les parties réelle et imaginaire de la

Fonctions holomorphes (HOLO) Exercice 1 (Questions de cours 4

Fonctions holomorphes (HOLO). INTERROGATION (CORRIGÉ). Exercice 1 (Questions de cours 4 points). 1. Démontrer que la partie imaginaire d'une fonction

Dérivabilité au sens complexe fonctions analytiques

les fonctions z ↦→ x et z ↦→ y. Correction ▽. [002790]. Exercice 9. Prouver qu'une fonction holomorphe sur un ouvert connexe de dérivée identiquement

TD n°2 : Fonctions Holomorphes. CORRECTION

. Elle n'est donc pas dérivable en 1. Exercice 4. 1. Montrer que si f est dérivable

VARIABLE COMPLEXE EXERCICES et ANNALES

Mme question si

Exercices corrigés pour lanalyse complexe

25 août 2021 Montrer que f est analytique (holomorphe) dans C. Solution. Page 32. 24. Fonctions complexes. Pour ...

Analyse complexe pour la Licence 3 : Cours et exercices corrigés

Les résultats concernant la théorie des fonctions holomorphes d'une ou plusieurs va- riables complexes sont très nombreux car c'est une théorie

Analyse complexe

Cours et exercices corrigés. André Giroux. Département de mathématiques et fonctions holomorphes dans D. Soit C est un chemin fermé contenu ainsi que.

TD n°2 : Fonctions Holomorphes. CORRECTION

TD n°2 : Fonctions Holomorphes. CORRECTION. Exercice 1 ?1 donc la fonction ne vérifie pas les conditions de Cauchy-Riemann elle.

Analyse complexe pour la Licence 3 : Cours et exercices corrigés

Solutions des exercices. 83. CHAPITRE 7 • PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS HOLOMORPHES. 7.1 Inégalités de Cauchy et conséquences. 84. 7.2 Principe du maximum.

Fonctions holomorphes (HOLO) Exercice 1 (Questions de cours 4

INTERROGATION (CORRIGÉ). Exercice 1 (Questions de cours 4 points). 1. Démontrer que la partie imaginaire d'une fonction holomorphe est harmonique.

VARIABLE COMPLEXE EXERCICES et ANNALES

7 Zéros des fonctions holomorphes prolongement analytique et Exercice 1.1.8 Soit U un ouvert connexe de C et f : U ? C une fonction holomorphe sur U.

Dérivabilité au sens complexe fonctions analytiques

Exercice 9. Prouver qu'une fonction holomorphe sur un ouvert connexe de dérivée identiquement nulle

Analyse complexe

Cours et exercices corrigés 9.5 Propriétés analytiques des fonctions holomorphes . ... 9.7 Propriétés géométriques des fonctions holomorphes .

Quelques exercices corrigés pour préparer le partiel du 20 avril.

Vous verrez bientôt en cours que les fonctions holomorphes non constantes sont des fonctions ou- vertes i.e l'image d'un ouvert par une fonction holomorphe non

examens-corriges-analyse-complexe.pdf

1. Examen 1. Exercice 1. Soit un ouvert connexe non vide ? ? C soit z0 ? ?

Mathématiques pour lIngénieur - S2 Analyse complexe

A Probl`emes corrigés Exercice 1.3 Classe de fonctions holomorphes ... Exercice 1.4 Détermination d'une fonction holomorphe par sa partie réelle.

VARIABLE COMPLEXE EXERCICES et ANNALES

c) Trouver toutes les fonctions f holomorphes sur C? telles P = e(f) ne dépend pas de ?. Exercice 2.11 Soit f : ? ?? ? C une fonction holomorphe sur ?

Anneeuniversitaire2006-2007

Premiereanneedel'

CFSdemathematiques

Mathematiquespourl'Ingenieur-S2

Analysecomplexe

EmmanuelPlaut

Tabledesmatieres

Introduction1

Tabledesmatieres

3Fonctionsanalytiques25

Ex.3.3:Simplicationdep

z2...................................39 uides...............43

4SeriesdeLaurent-Residus45

4.3.1IntegralesdutypeZ

+1 1 f(x)dx..............................49

4.3.2IntegralesdutypeZ

+1 1

4.3.3IntegralesdutypeZ

2 0

F(cos;sin)d..........................53

Tabledesmatieres

AProblemescorriges61

Bibliographie67

Introduction

pagecourantmars.

2Introduction

liorercedocument.

Nancy,le27fevrier2008.

EmmanuelPlaut.

Chapitre1

Derivabilitecomplexe

-Applicationsconformes

1.1Rappelsgenerauxsurlesnombrescomplexes

L'ensembledesnombrescomplexes

C=fx+iyavec(x;y)2R2g

(x+iy)+(x0+iy0)=(x+x0)+i(y+y0)(1.1) etdemultiplication (x+iy)(x0+iy0)=xx0yy0+i(yx0+xy0);(1.2) uninversedonnepar1 x+iy=xiyx2+y2:(1.3) i

2=1:(1.4)

z=xiy.Lanormeeuclidiennede R

2s'identieaumodulecomplexe

jzj=p zz=px2+y2;(1.5)

8z2C;1

z= z jzj2:(1.6) deseparation,8z2C;jzj=0()z=0;(1.8)

Onendeduit

8z;z02C;jzz0j

jzjjz0j :(1.10) delasection3.4: z=ei=(cos+isin) ou=jzj;=arg(z)estl'argumentdez:(1.11) argz2];]:(1.12)

Unerelationd'ordrexysurCdevrait^etrere

exive,

8x2C;xx;

antisymetrique,

8x;y2C;[(xy)et(yx)]=)(x=y);

ettransitive

8x;y;z2C;[(xy)et(yz)]=)(xz):

8x;y;z2C;xy=)x+zy+z;

etsacompatibiliteaveclamultiplicationque

8x;y;z2C;[(xy)et(0z)]=)xzyz:

8x2C;x0=)0x:

8x2C;0x=)0x2:

8x2C;x0=)0x2:

Doncsil'ordreetaittotal,

8x2C;(x0)ou(0x);

1.2.Denitionsetnotations5

1.2Denitionsetnotations

estdenie,nes'annulepas. deR2dansR, f(x+iy)=P(x;y)+iQ(x;y)

P(x;y)=Ref(x+iy);

Q(x;y)=Imf(x+iy):

UdeU,c'est-a-diresi

8>0;9r>0telque8z2Ujzj evidemmentondiraque (z)!0quandz!0 f(z)!lquandz!z0 si 3 f(z)l=(zz0):
8>0;9r>0telque8z2Ujzz0j rementavoir f(z(t))!lquandt!t0:
Parexemplelafonction
f(z)=f(x+iy)=(x+iy)3 x3+iy3;
Eneetf(t)!1quandt!0+
alorsquef(it)!1quandt!0+. 0tit
1.3Derivabilitecomplexe-Holomorphie
f(z)f(z0)=(zz0)(f0(z0)+(zz0))(1.14)
P(x;y)P(x0;y0)=axby+r(zz0)xi(zz0)y
enposantz0=x0+iy0;x=xx0;y=yy0. veriant(1.13)telleque @P peutecrireque5
P(x;y)P(x0;y0)=axby+1(zz0)jzz0j;

Q(x;y)Q(x0;y0)=bx+ay+2(zz0)jzz0j;
d'ou
Onpeutdoncenoncerla
@P @x=@Q@yet@P@y=@Q@x(1.18) Alors f0(z0)=a+ib=dfdz=@f@x=i@f@y(1.19) ouencoredf
4Lefaire,enre

5QuellenormedeR2at'onutiliseeici?

1.3.Derivabilitecomplexe-Holomorphie7
Mat =)r !f (x0;y0)= ab ba! :(1.21) section. considereecommeunefonctionde(z; z).Apartirde x=z+ z 2;y=z z 2i; z): @f @z=@f@x@x@z+@f@y@y@z=12 @f@x+i@f@y =12 a+ib+i(b+ia) =0:
Ainsifdoit^etreindependantede
doncserecrire @f @z=0()@f@x+i@f@y=0(1.22)
Ilestmaintenanttempsdedonnerla
les (f+g)0=f0+g0 (fg)0=f0g+fg0:(1.23) surU,dederiveecomplexe f g! 0 =f0gg0fg2:(1.24) composeegfestholomorphesurU,dederivee (gf)0(z)=g0(f(z))f0(z):(1.25) enzeroal'axereel: x y auxlignesQ(z)=constante. !rP !rQ =@P @x@Q@x+@P@y@Q@y=0:(1.26) (i)f0nes'annulepassurU; (iii)saderiveeestdonneepar f10(w)=1 f0(z)aupointw=f(z):(1.27)
1.4Lienentreholomorphieetconformite
Mat =)r !f (x0;y0)= cossin sincos! :(1.28) d'unerotationd'angle,d'oula
6VoirparexempleValiron(1966).

1.4.Lienentreholomorphieetconformite9

PSfragreplacements
OOf xxyy z 1(t)z 2(t) f(z1(t))f(z2(t)) !T 1! T 2 T0 1! T0 2 z T=dz dt(t0)=z0(t0); soitenrepassantenreels T x=x0(t0);Ty=y0(t0): santesreelles T 0x=d dtP(x(t);y(t))=@P@xx0(t)+@P@yy0(t);quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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Introduction1

Tabledesmatieres

3Fonctionsanalytiques25

Ex.3.3:Simplicationdep

4SeriesdeLaurent-Residus45

4.3.1IntegralesdutypeZ

4.3.2IntegralesdutypeZ

4.3.3IntegralesdutypeZ

F(cos;sin)d..........................53

Tabledesmatieres

AProblemescorriges61

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Introduction

2Introduction

Nancy,le27fevrier2008.

EmmanuelPlaut.

Chapitre1

Derivabilitecomplexe

1.1Rappelsgenerauxsurlesnombrescomplexes

L'ensembledesnombrescomplexes

C=fx+iyavec(x;y)2R2g

2=1:(1.4)

2s'identieaumodulecomplexe

8z2C;1

Onendeduit

8z;z02C;jzz0j

Unerelationd'ordrexysurCdevrait^etrere

8x2C;xx;

8x;y2C;[(xy)et(yx)]=)(x=y);

8x;y;z2C;[(xy)et(yz)]=)(xz):

8x;y;z2C;xy=)x+zy+z;

8x;y;z2C;[(xy)et(0z)]=)xzyz:

8x2C;x0=)0x:

8x2C;0x=)0x2:

8x2C;x0=)0x2:

Doncsil'ordreetaittotal,

8x2C;(x0)ou(0x);

1.2.Denitionsetnotations5

1.2Denitionsetnotations

P(x;y)=Ref(x+iy);

Q(x;y)=Imf(x+iy):

UdeU,c'est-a-diresi

Parexemplelafonction

Eneetf(t)!1quandt!0+

1.3Derivabilitecomplexe-Holomorphie

P(x;y)P(x0;y0)=axby+r(zz0)xi(zz0)y

P(x;y)P(x0;y0)=axby+1(zz0)jzz0j;

Q(x;y)Q(x0;y0)=bx+ay+2(zz0)jzz0j;

Onpeutdoncenoncerla

4Lefaire,enre

5QuellenormedeR2at'onutiliseeici?

1.3.Derivabilitecomplexe-Holomorphie7

Ainsifdoit^etreindependantede

Ilestmaintenanttempsdedonnerla

1.4Lienentreholomorphieetconformite

6VoirparexempleValiron(1966).

1.4.Lienentreholomorphieetconformite9

PSfragreplacements