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Examen (Corrigé)

Montrer que f est une fonction entière. 2. Pour z ∈ C posons z = x+iy

TD 4. Fonctions holomorphes

Exercice 3. Soit Ω un ouvert connexe de C et f une fonction analytique (donc holomorphe) sur Ω. On note P et Q les parties réelle et imaginaire de la

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. Elle n'est donc pas dérivable en 1. Exercice 4. 1. Montrer que si f est dérivable

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TD n°2 : Fonctions Holomorphes. CORRECTION. Exercice 1 ?1 donc la fonction ne vérifie pas les conditions de Cauchy-Riemann elle.

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Solutions des exercices. 83. CHAPITRE 7 • PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS HOLOMORPHES. 7.1 Inégalités de Cauchy et conséquences. 84. 7.2 Principe du maximum.

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INTERROGATION (CORRIGÉ). Exercice 1 (Questions de cours 4 points). 1. Démontrer que la partie imaginaire d'une fonction holomorphe est harmonique.

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7 Zéros des fonctions holomorphes prolongement analytique et Exercice 1.1.8 Soit U un ouvert connexe de C et f : U ? C une fonction holomorphe sur U.

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Exercice 9. Prouver qu'une fonction holomorphe sur un ouvert connexe de dérivée identiquement nulle

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Cours et exercices corrigés 9.5 Propriétés analytiques des fonctions holomorphes . ... 9.7 Propriétés géométriques des fonctions holomorphes .

Quelques exercices corrigés pour préparer le partiel du 20 avril.

Vous verrez bientôt en cours que les fonctions holomorphes non constantes sont des fonctions ou- vertes i.e l'image d'un ouvert par une fonction holomorphe non

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1. Examen 1. Exercice 1. Soit un ouvert connexe non vide ? ? C soit z0 ? ?

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A Probl`emes corrigés Exercice 1.3 Classe de fonctions holomorphes ... Exercice 1.4 Détermination d'une fonction holomorphe par sa partie réelle.

VARIABLE COMPLEXE EXERCICES et ANNALES

c) Trouver toutes les fonctions f holomorphes sur C? telles P = e(f) ne dépend pas de ?. Exercice 2.11 Soit f : ? ?? ? C une fonction holomorphe sur ?

UNIVERSIT LYON I

LICENCE (MATHMATIQUES PURES)VARIABLE COMPLEXE

EXERCICES et ANNALES

- 2003 - 2

Table des matieres

1 Holomorphie : proprietes elementaires 5

1.1 Holomorphie et conditions de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Considerations geometriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Series entieres 13

2.1 Disque de convergence et comportement au bord. . . . . . . . . . 13

2.2 Dveloppement en srie entire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Thorme de Liouville et formule de Parseval . . . . . . . . . . . . . 15

3 Homographie et fonctions classiques 17

3.1 Les homographies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2 Les fonctions circulaires et hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3 Le logarithme complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.4 Les fonctions puissances non entieres . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4 Integrales curvilignes 23

4.1 Calculs explicites et majoration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.2 Les lemmes de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.3 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5 Primitives de fonctions holomorphes et indices 25

5.1 Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.2 Indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4TABLE DES MATIERES

6 Theoreme de Goursat et formules de Cauchy 29

6.1 Thorme de Goursat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

6.2 Formules de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

6.3 Analyticit des fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . 32

7 Zeros des fonctions holomorphes, prolongement analytique et

principe du maximum 35

7.1 Zeros d'une fonction holomorphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

7.2 Principe du prolongement analytique . . . . . . . . . . . . . . . . 36

7.3 Principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

8 Points singuliers et fonctions meromorphes 43

8.1 Nature des singularites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

8.2 Fonctions meromorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

8.3 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

9 Theoreme des residus 47

9.1 Le thorme des rsidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

9.2 Le thorme de Rouch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Chapitre 1

Holomorphie : proprietes

elementaires

1.1 Holomorphie et conditions de Cauchy

Exercice 1.1.1SoitUun ouvert deCetf:U!C. On noteP=Q==m(f)les parties relle et imaginaire def. a)Montrer que les assertions suivantes sont quivalentes : (i)fest holomorphe surU. (ii) Pour toutz02U,fest direntiable enz0etDfz0estC-linaire. (iii) Pour toutz0=x0+iy02U,fest direntiable enz0et@f@y (z0) = i @f@x (z0)(par denition,@f@x (z0) =@P@x (x0;y0) +i@Q@x (x0;y0)et@f@y (z0) = @P@y (x0;y0) +i@Q@y (x0;y0)). (iv) Pour toutz0=x0+iy02U,fest direntiable enz0etfvrie les quations de Cauchy-Riemann, c'est dire que @P@x (x0;y0) =@Q@y (x0;y0) et@P@y (x0;y0) =@Q@x (x0;y0): b)Montrer que sifest holomorphe enz0=x0+iy02Ualors pour tout u2C, on aDfz0(u) =f0(z0)u. En dduire que : f

0(z0) =@P@x

(x0;y0) +i@Q@x (x0;y0)etJacfz0=jf0(z0)j2: 5

6CHAPITRE 1. HOLOMORPHIE : PROPRIETESELEMENTAIRES

Exercice 1.1.2Les applications suivantes sont elles holomorphes sur un ouvert

UdeC? Si oui, calculer leur drive.

1.z7!z.

2.z7!zz.

3.z7!
4.z7! =m(z).

5.z7!z
3.
6.z7!zkpourk2Nx.

7.z7!zkpourk2Nx.

8.z7!ez:=ex(cosy+isiny)siz=x+iy.
Exercice 1.1.31. Soitf:C!Cdenie parf(x+iy) =x+ 2ixy. La fonctionfest-elle holomorphe surC?
2. Soitg:Cn f0g !Cdenie parg(x+iy) =xx

2+y2iyx

2+y2. La fonctiong
est-elle holomorphe surCn f0g? Exercice 1.1.4Soitfdnie surCparf(z) =jz2j. Dterminer l'ensemble des points deCou
1.fest direntiable.

2.fest drivable.

3.fest holomorphe.
Exercice 1.1.5 (Partiel 99)Soitf:C!Cla fonction dnie par : f(z) =e1=z4siz6= 0,
0siz= 0.

Dterminer les ensembles des points deCo
a)fest holomorphe; b)fest direntiable (comme application deR2dansR2);
1.1. HOLOMORPHIE ET CONDITIONS DE CAUCHY7
c)fadmet des drives partielles et ou les quations de Cauchy-Riemann sont satisfaites.
Exercice 1.1.6Soitf:C!Cla fonction dnie par :
f(x+iy) =8 :xy(x+iy)x
2+y2six+iy6= 0,

0six+iy= 0.
Montrer quefn'est pas direntiable en0, mais possde des drives partielles qui satisfont les quations de Cauchy-Riemann en0. Exercice 1.1.7SoitUun ouvert connexe deC. Soitf:U!Cune fonction holomorphe. On noteP=1. Montrer que les assertions suivantes sont quivalentes :

(a)fest constante surU. (b)Pest constante surU. (c)Qest constante surU.

2. En dduire que les assertions precedentes sont aussi quivalentes :

(d)fholomorphe surU. (e)jfjest constante surU. Exercice 1.1.8SoitUun ouvert connexe deCetf:U!Cune fonction holomorphe surU.

1. Montrer que sif(U)Ralorsfest constante.

2. Que peut-on dire defsi sa partie relle est holomorphe surU?

3. Mme question sijfjest holomorphe.

Exercice 1.1.9SoitUun ouvert connexe deCet soientfetgdes fonctions holomorphes surUtelles quef(z) +g(z)2Rpour toutz2U. Montrer qu'il existec2Rtel quef(z) =c+g(z)pour toutz2U.

8CHAPITRE 1. HOLOMORPHIE : PROPRIETESELEMENTAIRES

Exercice 1.1.10SoitUun ouvert connexe deCet soientfetgdes fonctions holomorphes surUtelles quef(z)g(z)2Rpour toutz2U. On suppose aussi queg(z)6= 0pour toutz2U. Montrer qu'il existec2Rtel quef(z) =cg(z) pour toutz2U. Exercice 1.1.11Soitf:U7!Cune fonction holomorphe surUouvert connexe deC. On noteP=Dz6= 0. i)Montrer que s'il existe une constantek2Rtelle que8(x;y)2U, (P(x;y);Q(x;y)) =k, alorsfest constante surU. ii)Quelles sont les fonctions holomorphes surUdont l'image est incluse dans une droite du plan?; un cercle du plan? Exercice 1.1.12Soitf:U7!Cune fonction holomorphe surUouvert connexe deC. On noteP=1. Caractriser les fonctionsQ1:U!Rtelles queP+iQ1est holomorphe surU.

2. Trouver toutes les fonctionsf:C!Cholomorphes telles que

(a)P(x;y) =x2y2xy. (b)P(x;y) =x2y2x. (c)P(x;y) =yexcosyxexsiny. (d)Q(x;y) =x+y.

Soienta;b;c2RetP(x;y) =ax2+ 2bxy+cy2.

1.2. CONSID

ERATIONS GEOMETRIQUES9

1. Donner une condition necessaire et susante portant sura;b;cpour qu'il

existefholomorphe surCtelle que2. Si cette condition est remplie, determiner toutes les fonctionsfholomorphes surCtelles que0=r0exp(i0),(r0;0)2R+R. a)Montrer que les assertions suivantes sont quivalentes (i)fest drivable enz0. (ii) @f@ (z0) =ir0@f@r (z0): (iii) @P@r (r0cos(0);r0sin(0)) =1r 0@Q@ (r0cos(0);r0sin(0))et @P@ (r0cos(0);r0sin(0)) =r0@Q@r (r0cos(0);r0sin(0)) Les quations (ii) et (iii) sont appeles les quations de Cauchy-Riemann en coordonnes polaires. b)Application :On noteUle plan complexe priv de la demi-droitefz: Montrer quefest holomorphe surU. Calculerf(z)2. c)Trouver toutes les fonctionsfholomorphes surCtellesP=1.2 Considerations geometriques

Exercice 1.2.1SoitA=a b

c d un endomorphisme deR2. Montrer que les assertions suivantes sont quivalentes :

10CHAPITRE 1. HOLOMORPHIE : PROPRIETESELEMENTAIRES

(i) dtA>0et il existek2R+tel que pour tousu;v2Con a :hAu;Avi= k

2hu;vi;

(ii) il existe2Retk2R+tels que

A=kcosksin

ksin kcos (iii)a=detb=c; (iv) il existew2Ctel que pour toutu2Con a :Au=wu; (v)Aest la compose d'une rotation de centre 0 et d'angleet d'une homothtie de rapportk. (vi)AestC-linaire; (vii)A(i) =iA(1); Si dtA6= 0, ces conditions sont encore quivalentes : (viii)Aprserve les angles orients (dans ces conditions on dit queAest une similitude directe). Rappelons que siz1,z2sont deux lments deC, on appelle angle orient entre les vecteursz1,z2l'unique rel2[;[tel que : z

2jz2j=eiz1jz1j:

Exercice 1.2.21. SoitUun ouvert deCet soitf:U!Cune application dierentiable. Montrer que les assertions suivantes sont equivalentes : (a)fest holomorphe surUetf0(z)6= 0pour toutz2U. (b)fprserve les angles orients entre les courbes etf0(z)6= 0pour tout z2U. (c) Pour toutu2U,Dfuest de la formekuAuouku2]0;+1[etAuest une rotation deR2.

1.2. CONSID

ERATIONS GEOMETRIQUES11

(d) Pour toutu2U,Jacfu>0etDfuconserve l'angle oriente de deux vecteurs deR2. N.B :Une application qui prserve les angles orients entre les courbes qui se coupent en un pointz0est diteconforme en z0.

2.Application 1: soientf:z7!ez,a;b2Ret soit1(resp.2) la droite

d'equationx=a(resp.y=b). (a) Determinerf(1),f(2)etf(1)\f(2). (b) Que signie geometriquement le resultat precedent?

3.Application 2: soitf:z7!12

z1z (a) Determiner l'ensemble desz2Coufest conforme. (b) Soient

1=fz:jzj= 1g,

2=fz: arg(z) =2

3=fz: arg(z) =

2 g. Determinerf( i)pour1i3et en donner une representation graphique. (c) Examiner les angles entre les courbes 1et

2, puis entre les courbes

1et

3. Conclure.

Exercice 1.2.3Soitf:C!C,z7!f(z) :=z2.

a)Montrer quefest une application conforme surCn f0g. b)L'applicationfest-elle conforme enz0= 0? Exercice 1.2.4Soient~e1; ~e2deux vecteurs tangents aSen un pointMdeS.

L'angle oriente

\(~e1; ~e2)entre~e1et~e2est l'unique reel2[;[tel que cos=h~e1; ~e2ik~e1kk~e2ketsin=~e1^~e2k~e1kk~e2k!M0:

Montrer alors que si

1et

2sont deux chemins deCqui se coupent enz0, alors

2) =\(

1; 2); uest la projection stereographique deCsurSn fNg.

12CHAPITRE 1. HOLOMORPHIE : PROPRIETESELEMENTAIRES

Chapitre 2

Series entieres

2.1 Disque de convergence et comportement au

bord. Exercice 2.1.1Calculer le rayon de convergence des sries suivantes : a) X n>0n nn!znb)X n>0n!znc)X n>0(2n)!(n!)2zn d) X n>0n!zn2e)X n>02 nzn!: Montrer que la sriec)converge pour toutztel quez6=14 etjzj=14

Exercice 2.1.2Soit2]0;2[,6=.

a)Montrer que sijzj<1, la srieX n>1cos(n)n znconverge absolument. b)Montrer que, pourz=eiouz=ei, la srie du a) diverge. En dduire le rayon de convergence de cette srie. c)Montrer, sur cet exemple, qu'une srie entire et sa srie drive n'ont pas le mme comportement sur le bord du disque de convergence. Exercice 2.1.3Calculer le rayon de convergence des sries suivantes et tudier la convergence de la srie sur le bord du disque de convergence : a) X n>1z nn pn b)X n>2z nn(lnn)2c)X n>1e in2=2n zn: 13

14CHAPITRE 2. SERIES ENTIERES

Exercice 2.1.4La convergence absolue d'une srie entire en un point du cercle de convergence implique-t-elle la convergence absolue en tout point de ce cercle?

Exercice 2.1.5

a)SoitX n>0a nznune srie entire de rayon de convergenceR >0,z02C, jz0j=R. Montrer que si la srie numrique X n>0a nzn0 converge alors la srie de fonctions z7!X n>0a nzn converge uniformment sur le segment[0;z0]du plan complexe. b)Application :on veut montrer que log2 = X n>0(1)nn+ 1:(2.1) (i)Montrer que la srie entire X n>1(1)n1znn a pour rayon de convergence 1 et que pour toutt2]1;1[, log(1 +t) =X n>0(1)nn+ 1tn+1: (ii)En utilisanta), en dduire la formule (2.1).

2.2 Dveloppement en srie entire

Exercice 2.2.1Dvelopper en srie entire au voisinage de 0 les fonctions suivantes (on prcisera le rayon de convergence) : a)g(z) =2(1 +z)3.

2.3. THORME DE LIOUVILLE ET FORMULE DE PARSEVAL15

b)h(z) =eztan()cos(z), o2RnZest x etcosz:=eiz+eiz2

Rciproquement, on considre la srie entireS(z) :=X

n>1nz n. Calculer le rayon de convergence de cette srie entire et expliciterS(z).

Exercice 2.2.2Soitf:R!Rdnie par

f(x) =( exp1x

2six6= 0

0six= 0:

a)Montrer quefest de classeC1surR. b)Montrer quefn'est pas dveloppable en srie entire au voisinage de 0 et n'est donc pas analytique en 0.

Exercice 2.2.3On considre l'quation direntielle :

(E)z(z1)'00(z) + 3z'0(z) +'(z) = 0: Montrer que(E)possde une unique solution'holomorphe dansCn f1g, telle que'0(0) = 1.

2.3 Thorme de Liouville et formule de Parseval

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UNIVERSIT LYON I

LICENCE (MATHMATIQUES PURES)VARIABLE COMPLEXE

EXERCICES et ANNALES

Table des matieres

1 Holomorphie : proprietes elementaires 5

1.1 Holomorphie et conditions de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Considerations geometriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Series entieres 13

2.1 Disque de convergence et comportement au bord. . . . . . . . . . 13

2.2 Dveloppement en srie entire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Thorme de Liouville et formule de Parseval . . . . . . . . . . . . . 15

3 Homographie et fonctions classiques 17

3.1 Les homographies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2 Les fonctions circulaires et hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3 Le logarithme complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.4 Les fonctions puissances non entieres . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4 Integrales curvilignes 23

4.1 Calculs explicites et majoration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.2 Les lemmes de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.3 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5 Primitives de fonctions holomorphes et indices 25

5.1 Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.2 Indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4TABLE DES MATIERES

6 Theoreme de Goursat et formules de Cauchy 29

6.1 Thorme de Goursat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

6.2 Formules de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

6.3 Analyticit des fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . 32

7 Zeros des fonctions holomorphes, prolongement analytique et

7.1 Zeros d'une fonction holomorphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

7.2 Principe du prolongement analytique . . . . . . . . . . . . . . . . 36

7.3 Principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

8 Points singuliers et fonctions meromorphes 43

8.1 Nature des singularites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

8.2 Fonctions meromorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

8.3 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

9 Theoreme des residus 47

9.1 Le thorme des rsidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

9.2 Le thorme de Rouch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Chapitre 1

Holomorphie : proprietes

1.1 Holomorphie et conditions de Cauchy

0(z0) =@P@x

6CHAPITRE 1. HOLOMORPHIE : PROPRIETESELEMENTAIRES

UdeC? Si oui, calculer leur drive.

1.z7!z.

2.z7!zz.

4.z7! =m(z).

5.z7!z

6.z7!zkpourk2Nx.

7.z7!zkpourk2Nx.

8.z7!ez:=ex(cosy+isiny)siz=x+iy.

2. Soitg:Cn f0g !Cdenie parg(x+iy) =xx

2+y2iyx

2+y2. La fonctiong

1.fest direntiable.

2.fest drivable.

3.fest holomorphe.

0siz= 0.

Dterminer les ensembles des points deCo

1.1. HOLOMORPHIE ET CONDITIONS DE CAUCHY7

Exercice 1.1.6Soitf:C!Cla fonction dnie par :

2+y2six+iy6= 0,

0six+iy= 0.

2. En dduire que les assertions precedentes sont aussi quivalentes :

1. Montrer que sif(U)Ralorsfest constante.

2. Que peut-on dire defsi sa partie relle est holomorphe surU?

3. Mme question sijfjest holomorphe.

8CHAPITRE 1. HOLOMORPHIE : PROPRIETESELEMENTAIRES

2. Trouver toutes les fonctionsf:C!Cholomorphes telles que

Soienta;b;c2RetP(x;y) =ax2+ 2bxy+cy2.

1.2. CONSID

ERATIONS GEOMETRIQUES9

1. Donner une condition necessaire et susante portant sura;b;cpour qu'il

Exercice 1.2.1SoitA=a b

10CHAPITRE 1. HOLOMORPHIE : PROPRIETESELEMENTAIRES

2hu;vi;

A=kcosksin

2jz2j=eiz1jz1j: