Analyse complexe PDF Cours et exercices corrigés

Examen (Corrigé)

Montrer que f est une fonction entière. 2. Pour z ∈ C posons z = x+iy

TD 4. Fonctions holomorphes

Exercice 3. Soit Ω un ouvert connexe de C et f une fonction analytique (donc holomorphe) sur Ω. On note P et Q les parties réelle et imaginaire de la

Fonctions holomorphes (HOLO) Exercice 1 (Questions de cours 4

Fonctions holomorphes (HOLO). INTERROGATION (CORRIGÉ). Exercice 1 (Questions de cours 4 points). 1. Démontrer que la partie imaginaire d'une fonction

Dérivabilité au sens complexe fonctions analytiques

les fonctions z ↦→ x et z ↦→ y. Correction ▽. [002790]. Exercice 9. Prouver qu'une fonction holomorphe sur un ouvert connexe de dérivée identiquement

TD n°2 : Fonctions Holomorphes. CORRECTION

. Elle n'est donc pas dérivable en 1. Exercice 4. 1. Montrer que si f est dérivable

VARIABLE COMPLEXE EXERCICES et ANNALES

Mme question si

Mathématiques pour lIngénieur - S2 Analyse complexe

Une fonction de variable complexe `a valeurs réelles peut-elle être holomorphe ? Exercice 1.7 « Conjuguées » de fonctions holomorphes. Soit z ↦→ f(z) une

Exercices corrigés pour lanalyse complexe

25 août 2021 Montrer que f est analytique (holomorphe) dans C. Solution. Page 32. 24. Fonctions complexes. Pour ...

Analyse complexe pour la Licence 3 : Cours et exercices corrigés

Les résultats concernant la théorie des fonctions holomorphes d'une ou plusieurs va- riables complexes sont très nombreux car c'est une théorie

Analyse complexe

Cours et exercices corrigés. André Giroux. Département de mathématiques et fonctions holomorphes dans D. Soit C est un chemin fermé contenu ainsi que.

TD n°2 : Fonctions Holomorphes. CORRECTION

TD n°2 : Fonctions Holomorphes. CORRECTION. Exercice 1 ?1 donc la fonction ne vérifie pas les conditions de Cauchy-Riemann elle.

Analyse complexe pour la Licence 3 : Cours et exercices corrigés

Solutions des exercices. 83. CHAPITRE 7 • PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS HOLOMORPHES. 7.1 Inégalités de Cauchy et conséquences. 84. 7.2 Principe du maximum.

Fonctions holomorphes (HOLO) Exercice 1 (Questions de cours 4

INTERROGATION (CORRIGÉ). Exercice 1 (Questions de cours 4 points). 1. Démontrer que la partie imaginaire d'une fonction holomorphe est harmonique.

VARIABLE COMPLEXE EXERCICES et ANNALES

7 Zéros des fonctions holomorphes prolongement analytique et Exercice 1.1.8 Soit U un ouvert connexe de C et f : U ? C une fonction holomorphe sur U.

Dérivabilité au sens complexe fonctions analytiques

Exercice 9. Prouver qu'une fonction holomorphe sur un ouvert connexe de dérivée identiquement nulle

Analyse complexe

Cours et exercices corrigés 9.5 Propriétés analytiques des fonctions holomorphes . ... 9.7 Propriétés géométriques des fonctions holomorphes .

Quelques exercices corrigés pour préparer le partiel du 20 avril.

Vous verrez bientôt en cours que les fonctions holomorphes non constantes sont des fonctions ou- vertes i.e l'image d'un ouvert par une fonction holomorphe non

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1. Examen 1. Exercice 1. Soit un ouvert connexe non vide ? ? C soit z0 ? ?

Mathématiques pour lIngénieur - S2 Analyse complexe

A Probl`emes corrigés Exercice 1.3 Classe de fonctions holomorphes ... Exercice 1.4 Détermination d'une fonction holomorphe par sa partie réelle.

VARIABLE COMPLEXE EXERCICES et ANNALES

c) Trouver toutes les fonctions f holomorphes sur C? telles P = e(f) ne dépend pas de ?. Exercice 2.11 Soit f : ? ?? ? C une fonction holomorphe sur ?

Analyse complexe

Cours et exercices corriges

Andre Giroux

Departement de mathematiques et statistique

Universite de Montreal

2013

Introduction

L'analyse est l'etude approfondie du calcul dierentiel et integral. Ce cours porte sur le calcul dierentiel et integral des fonctions complexes d'une va- riable complexe. Il s'agit d'un premier cours sur le sujet ou les proprietes des nombres complexes et l'extension aux fonctions de ces nombres des fonctions elementaires d'une variable reelle sont tout d'abord presentees. On developpe ensuite leur calcul dierentiel et integral et on etudie les proprietes supplementaires de ces fonctions qui en decoulent. Quelques applications aux series et aux integrales de Fourier sont enn exposees. L'etudiant est repute ^etre familier avec les methodes de l'analyse ( les et les) et bien conna^tre les proprietes des fonctions elementaires d'une va- riable reelle (polyn^omes et fonctions rationnelles, exponentielle et logarithme, fonctions trigonometriques directes et inverses, fonction gamma). Le cours contient des demonstrations rigoureuses et completes de tous ses theoremes (certains calculs sont laisses au lecteur a titre d'exercice) et l'etudiant serieux devrait fournir des solutions de m^eme calibre aux problemes proposes a la n de chaque chapitre. Le style est deliberement informel; c'est ainsi, par exemple, qu'il n'y a pas de denitions formelles : la premiere fois qu'unterme nouveauappara^t, il est ecrit en caractere gras et sa denition est contenue dans la phrase qui le contient.

Table des matieres

1 Les nombres complexes

1.1 Proprietes algebriques

1.2 Proprietes topologiques

1.3 L'inni en analyse complexe

1.4 Exercices

2 Les fonctions complexes

2.1 Fonctions continues

2.2 Polyn^omes et fonctions rationnelles

2.3 La fonction exponentielle

2.4 Application aux series de Fourier

2.5 Exercices

3 Les fonctions holomorphes

3.1 Derivabilite

3.2 Les equations de Cauchy-Riemann

3.3 Exercices

4 Le calcul integral

4.1 Proprietes des courbes

4.2 Integrales curvilignes

4.3 Les theoremes de Cauchy

4.4 Le logarithme

4.5 Exercices

5 Proprietes analytiques des fonctions holomorphes

5.1 L'analycite

5.2 La propriete des zeros isoles

5.3 La propriete du module maximum

5.4 Exercices

6Table des matieres6 Le calcul des residus69

6.1 Singularites isolees

6.2 Residus

6.3 La propriete de l'application ouverte

6.4 Application aux transformees de Fourier

6.5 Application au calcul d'integrales diverses

6.6 Exercices

7 Proprietes geometriques des fonctions holomorphes

7.1 Transformations conformes

7.2 Les transformations homographiques

7.3 Exercices

8 Les fonctions harmoniques

8.1 L'equation de Laplace

8.2 Proprietes

8.3 Application aux EDP

8.4 Exercices

102

9 Solutions des exercices

105

9.1 Les nombres complexes

105

9.2 Les fonctions complexes

112

9.3 Les fonctions holomorphes

116

9.4 Le calcul integral

119

9.5 Proprietes analytiques des fonctions holomorphes

125

9.6 Le calcul des residus

128

9.7 Proprietes geometriques des fonctions holomorphes

133

9.8 Les fonctions harmoniques

137

Table des gures

1.1 Les racines 7

iemede l'unite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1w=z2, les hyperboles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2w=z2, les paraboles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.1 Le sens de parcours positif

4.2 Le theoreme de Cauchy

4.3 Le theoreme de Cauchy, suite

4.4 La formule de Cauchy

6.1 Le theoreme de Laurent

6.2 Une transformee de Fourier

6.3 Une transformee de Fourier

6.4 Un calcul d'integrale

6.5 Un calcul d'integrale

6.6 Un calcul d'integrale

7.1 Angle entre deux courbes

7.2 Une transformation homographique

8.1 Le noyau de Poisson

100

8.2 Un probleme de Dirichlet

102

9.1 Une spirale

106

9.2 Un parallelogramme

107

9.3 Un polyn^ome de Tchebychev

108

9.4 Un calcul d'integrale

132

Chapitre 1

Les nombres complexes

L'ensembleN=f1;2;3;:::gdes entiers naturels est ferme sous l'addi- tionm+net la multiplicationmnmais pour pouvoir resoudre pourxtoute equation du type x+m=n ; m;n2N; il faut passer aux entiers relatifsZ=f0;1;2;:::g. Et pour ^etre capable de resoudre pourxtoute equation de la forme px+q= 0; p;q2Z; il faut aller aux nombres rationnelsQ=fp=qjp;q2Z;q6= 0g. Ce dernier systeme est ferme sous les quatre operations de l'arithmetique mais on ne peut y resoudre pourxtoute equation du type x

2=a ; a2Q:

Les nombres reelsRpermettent de resoudre certaines de ces equations mais pas toutes. Ils forment un systeme ferme sous les quatre operations qui est de plus complet au sens ou toute suitefxngn2Nqui satisfait la condition de

Cauchy

lim m;n!+1jxmxnj= 0 y est convergente mais on ne peut par exemple y obtenir une solution de l'equation x

2+ 1 = 0:

Il faut pour cela construire les nombres complexesC.

10Chapitre 1. Les nombres complexes1.1 Proprietes algebriques

Si (x;y), (u;v)2R2, soient

(x;y) + (u;v) = (x+u;y+v) et (x;y)(u;v) = (xuyv;xv+yu): Ces operations creent un corps commutatif, le corpsCdes nombres complexes; (0;0) est l'element neutre pour l'addition, (1;0) est l'element neutre pour la multiplication et l'inverse multiplicatif de (x;y)6= (0;0) est xx

2+y2;yx

2+y2

En identiant (x;0)2R2avecx2Ret en posanti= (0;1),

C=fzjz=x+iyavecx;y2Reti2=1g:

On calcule donc avec les nombres complexes comme avec les nombres reels en remplacant partouti2par1.

Exemple. Sin2N0=f0;1;2;:::g, on a

1 +i+i2+i3++in=1in+11i

de telle sorte que

1 +i+i2+i3++in=8

>>>:1 sin= 0 mod 4;

1 +isin= 1 mod 4;

isin= 2 mod 4;

0 sin= 3 mod 4:

Le nombre reelxest lapartie reelledez, le nombre reelysapartie imaginaire, x=1.1. Proprietes algebriques11est sonmodule. On remarque que 1z =z jzj2: Exemple. Sia6= 0,betcsont reels, l'equation quadratique az

2+bz+c= 0

admet toujours deux racines donnees par la formule de Viete : z=8 >>>:bpb

24ac2asib24ac >0;

quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

[PDF] Analyse complexe Cours et exercices corrigés

Analyse complexe

Cours et exercices corriges

Andre Giroux

Departement de mathematiques et statistique

Universite de Montreal

Introduction

Table des matieres

1 Les nombres complexes

1.1 Proprietes algebriques

1.2 Proprietes topologiques

1.3 L'inni en analyse complexe

1.4 Exercices

2 Les fonctions complexes

2.1 Fonctions continues

2.2 Polyn^omes et fonctions rationnelles

2.3 La fonction exponentielle

2.4 Application aux series de Fourier

2.5 Exercices

3 Les fonctions holomorphes

3.1 Derivabilite

3.2 Les equations de Cauchy-Riemann

3.3 Exercices

4 Le calcul integral

4.1 Proprietes des courbes

4.2 Integrales curvilignes

4.3 Les theoremes de Cauchy

4.4 Le logarithme

4.5 Exercices

5 Proprietes analytiques des fonctions holomorphes

5.1 L'analycite

5.2 La propriete des zeros isoles

5.3 La propriete du module maximum

5.4 Exercices

6Table des matieres6 Le calcul des residus69

6.1 Singularites isolees

6.2 Residus

6.3 La propriete de l'application ouverte

6.4 Application aux transformees de Fourier

6.5 Application au calcul d'integrales diverses

6.6 Exercices

7 Proprietes geometriques des fonctions holomorphes

7.1 Transformations conformes

7.2 Les transformations homographiques

7.3 Exercices

8 Les fonctions harmoniques

8.1 L'equation de Laplace

8.2 Proprietes

8.3 Application aux EDP

8.4 Exercices

9 Solutions des exercices

9.1 Les nombres complexes

9.2 Les fonctions complexes

9.3 Les fonctions holomorphes

9.4 Le calcul integral

9.5 Proprietes analytiques des fonctions holomorphes

9.6 Le calcul des residus

9.7 Proprietes geometriques des fonctions holomorphes

9.8 Les fonctions harmoniques

Table des gures

1.1 Les racines 7

2.1w=z2, les hyperboles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2w=z2, les paraboles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.1 Le sens de parcours positif

4.2 Le theoreme de Cauchy

4.3 Le theoreme de Cauchy, suite

4.4 La formule de Cauchy

6.1 Le theoreme de Laurent

6.2 Une transformee de Fourier

6.3 Une transformee de Fourier

6.4 Un calcul d'integrale

6.5 Un calcul d'integrale

6.6 Un calcul d'integrale

7.1 Angle entre deux courbes

7.2 Une transformation homographique

8.1 Le noyau de Poisson

8.2 Un probleme de Dirichlet

9.1 Une spirale

9.2 Un parallelogramme

9.3 Un polyn^ome de Tchebychev