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ALGéBRE

ET

GƒOMƒTRIE

FranoisCOMBES

ProfesseurdeMathŽmatiquesˆlÕUniversitŽ dÕOrlŽans

AVANTPROPOS

enLicencede MathŽmatiques.Lecontenu decetensei gnementdŽcoulaitlui-mme des exigencesdespr ogrammesdesConcours duCAPESetdelÕAgrŽgationde MathŽma- tiqueauxquelsla grandemajoritŽdes Žtudiantsdece cursussedestinaient. quenousavons mentionnŽs,incluantde nombreuxexemples etexercices dÕapplica- tion.Ilintr oduitlesnotions algŽbriquesdegroupe(partieI) etdÕanneau(p artieIII).Il lesutilisedÕune partdans lecadre delagŽomŽtrie afÞneet delagŽomŽtrie euclidienne (partieII),et dÕautrepart enthŽoriedes nombres(partieIV),chapitres importants dans laformationdes futursenseignants. Lesfondementsde lagŽomŽtrie afÞnene sontplusenseignŽs danslesPremiers CyclesUniversitaires oilafallufaire placeˆde nouvellesdisciplines.CÕest dansle degr oupeestpartoutsous-jacenteengŽomŽtrie. Elleytr ouvedÕinnombrablesillustra- tionsetapplications. DepuisF.Klein etH.PoincarŽ, lesgŽomŽtries,euclidiennes ou EngŽomŽtrieplane euclidienne,apparaissent diversgroupes classiques:gr oupedes homothŽtiesettranslations, groupedes isomŽtries,groupe desdŽplacements,groupe dessimilitudes,...dont lastructur edoittr econnue. Parailleurs, lanŽcessitŽdedŽcouperles cursusenUnitŽs dÕenseignementsŽpa- rŽes,crŽe artiÞciellementunedivisiondesmathŽmatiquesen disciplinesquelÕon a tendanceˆconsidŽr ercommedes domainesdisjoints.Or,danslarŽalitŽ, ethistorique- exemple,cÕestle dŽveloppementde lÕanalysequia provoquŽla naissancedela gŽomŽ- trieanalytique au17 e e e briqueau20 e chaquediscipline apportantsesoutilsˆlÕautre :preuve gŽomŽtriquede lÕexistence desolutionspour desŽquationsdiophantiennes enarithmŽtique,dŽmonstration al- etaucompas (quadrature ducercle, contructiondespolygonesrŽguliers,...), etc. vrage,nousavons volontairementlimitŽ lecontenuaux notionsÞgurantexplicitement dansles programmesdesConcoursder ecrutementdesenseignantsduSecond DegrŽ: groupescycliquesetabŽliens,gr oupesymŽtrique,gr oupesdetransformations gŽomŽ- triquesclassiques,anneau despolyn™mes,applications classiquesˆlÕarithmŽtique, ˆ lathŽorie desnombres... Lespartiesde celivre quinesont pasexplicitementau programmeduCAPESde MathŽmatique,etqui concernentplut™tl aprŽparationˆ lÕAgrŽgation,apparaissentˆ factoriels. C.POP, J.F.HA VET,J. P.SCHREIBERqui mÕontaccordŽ beaucoupdetemps

pourmÕaiderˆ surmonterles difÞcultŽspratiques liŽesˆlÕutilisationdeslogiciels, et

quimÕontfait lecadeaule plusprŽcieuxpour unmathŽmaticien: desexemplesintŽ- ressants,desremarques originales,quiont enrichicetouvrage. Jeremer cieŽgalementlesEditionsBREAL,quiontacceptŽ depublierce livre,et VERSIONNUMƒRIQUERE VUEETCORRIGƒEJ.F.H AVETMAI2015

IGROUPES9

1LacatŽgorie desgroupes11

1.1FactorisationdÕune application. ... ... ... ... .. ... ... ... 11

1.2Loide compositioninternesur unensemble. ... ... .. ... ... ..13

1.3Notionde groupe. ... ...... ... ... .. ... ... ... ... ..15

1.4Homomorphismesde groupes. ... ...... ... .. ... ... ... 16

1.5Sous-groupes ...... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ..18

1.6Noyauet imagedÕunhomomorphisme ... ... ... .. ... ... ..20

1.8Groupe quotient..... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ..23

1.9Factorisationdes homomorphismes.. ... ... ... .. ... ... ..24

1.10Pr oduitdirectdegroupes ...... ... ...... .. ... ... ... .25

1.11CaractŽrisationdu produit direct. ...... ...... ... ... .. ..26

1.12ProcŽdŽ desymŽtrisation.... ... ... ... .. ... ... ... ... .27

1.13Sous-groupes deZetdeR...........................28

1.14Sous-groupe engendrŽparunŽlŽment. ... ... ... ... ... .. ..30

1.15Exercices duchapitre1. ... ...... ... ... .. ... ... ... ..31

2Actionsde groupes39

2.1Groupe agissantsurunensemble.. ... ... .. ... ... ... ... .39

2.2Orbite,stabilisateur dÕunpoint. .. ... ... ... ... ... .. ... .41

2.3ActiondÕun groupeÞni surunensemble Þni..... ... .. ... ... 43

2.6Produits semi-directs... ...... ... ... ... .. ... ... ... .47

2.7CaractŽrisationdes produits semi-directs. ...... ...... ... .. 48

2.8Exercices duchapitre2.. ... ..... ... ... ... ... ... ... .50

3GroupesabŽliens Þnis59

3.1Groupes cycliques,gŽnŽrateurs.... ... .. ... ... ... ... ... 59

3.2Homomorphismesentr egroupes cycliques..... ..... ... ... .60

3.3Sous-groupes dÕungroupecyclique.. ... ...... .. ... ... ... 62

3.4Produit dedeuxgroupescycliques. ... ... ...... .. ... ... .63

3.5Groupes dÕordrepremier. ......... ..... ... ... ... ... .64

3.6DŽcomposition cycliquedÕungr oupeabŽlienÞni ... ...... .. ... 65

3.7Groupes rŽsolubles..... ... ... .. ... ... ... ... ... ... 69

3.8Exercices duchapitre3.. ... ...... ... .. ... ... ... ... .71

5

4Legroupe symŽtrique79

4.1DŽcompositiondÕune permutationencycles ... .. ... ... ... ..79

4.2Cycles conjuguŽs.. ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... .80

4.3GŽnŽrateursdu groupe symŽtrique.. ...... ... ... .. ... ... 81

4.4Signature dÕunepermutation.... ... ... ... .. ... ... ... .81

4.5NonrŽsolubilitŽ dugroupe despermutations. ... ...... .. ... .83

4.6Exer cicesduchapitre4. ... ...... ... ... .. ... ... ... ..84

5Sous-groupesde Sylow91

5.2Structur edequelquesgroupesÞnis... ... ... ..... ... ... ..94

5.3Groupes dÕordre8.. ......... .. ... ... ... ... ... ... .96

5.4Exercices duchapitre5.. ... ..... ... ... ... ... ... ... .97

IIGEOMETRIE103

6GŽomŽtrieaf Þne105

6.1Espaceaf ÞneassociŽ ˆunespacevectoriel.. ... ... ... ... .. ..105

6.3Applicationsaf Þnes. ...... ... ... ... ... ... .. ... ... .109

6.4ExistencedÕapplications afÞnes ... ...... ... ... ... .. ... .111

6.5Isomorphismesaf Þnes.. ...... ... ... .. ... ... ... ... .112

6.6Sous-espacesaf Þnes. ...... ... ... ... ... ... .. ... ... .114

6.7Sous-espacesaf Þnesendimension Þnie..... ... .. ... ... ... 115

6.8Sous-espacesaf Þnesetapplications afÞnes.... ... .. ...... ..117

6.9Gr oupeafÞne... ...... ... ... ... .. ... ... ... ... ..118

6.10Groupe deshomothŽtiesettranslations.. ... ... ... .. ... ... 120

6.11OrientationdÕun espaceafÞne rŽel.. ... ..... ... ... ... ... 121

6.12Exercices duchapitre6.. ... ...... ... .. ... ... ... ... .123

7Barycentresen gŽomŽtrieafÞne 133

7.1Barycentres ..... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ..133

7.2Applicationsaf Þnesetbarycentr es..... ... ..... ... ... ... 135

7.3Sous-espacesaf Þnesetbarycentr es..... ... ..... ... ... ... 136

7.5Espaceaf ÞnehyperplandÕun espacevectoriel.... ... ... .. ... .139

7.6Parties convexesdÕunespace afÞnerŽel ... ... ..... ... ... ..141

7.7Enveloppeconvexe dÕunepartie. ... ... ... .. ... ... ... ..143

7.8PointsextrŽmaux dÕunepartieconvexe ... ... ... .. ... ... ..143

7.11Exercices duchapitre7.. ... ...... ... .. ... ... ... ... .148

8GŽomŽtrieaf Þneeuclidienne153

8.1Espacesaf Þneseuclidiens ...... ... ... ... ... .. ... ... .153

8.2Rappelssur legroupe orthogonal.. ... ...... .. ... ... ... .154

8.3IsomŽtriesaf Þnes.. ...... ... ... .. ... ... ... ... ... .156

8.4SymŽtriesorthogonales ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... 157

8.5SymŽtriesglissŽes ... .. ... ... ... ... ... ... .. ... ... .159

8.6IsomŽtriespr oduitsdesymŽtries hyperplanes..... ... .. ... ..160

6

8.7Groupe desisomŽtriesdeE

n .........................162

8.8DŽcompositioncanonique dÕuneisomŽtrie. ... ... .. ... ... ..163

8.9ClassiÞcationdes isomŽtriesdu plan.. ... ... ... ... ... .. ..164

8.10ClassiÞcationdes isomŽtriesde lÕespace.. ... ... ... .. ... ... 166

8.11Groupe dessimilitudes... ... ... ... ... ... .. ... ... ... 170

8.12Sous-groupes Þnisdugroupedes dŽplacements.. ... ...... ... 171

8.13Exercices duchapitre8.. ... ...... ... .. ... ... ... ... .174

IIIANNEAUX187

9GŽnŽralitŽssur lesanneaux189

9.1Les objetsdecette catŽgoriemathŽmatique. ... ... ... .. ... ..189

9.2Les morphismesdanscette catŽgoriemathŽmatique. ... ... ... .. 192

9.3Lessous-anneaux ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... 194

9.4Sous-anneau engendrŽparune partienonvide ... ... ... .. ... .195

9.5IdŽauxdÕun anneau.. .. ... ... ... ... ... ... .. ... ... .195

9.6Intersectionet sommedÕidŽaux ... ... ... ... ... ... .. ... .196

9.8IdŽauxmaximaux ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... 199

9.9Corps ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... .200

9.11Quotientpar unidŽalmaximal ... ... ... .. ... ... ... ... .204

9.12Sous-corpspr emierdÕuncorps ...... ... .. ... ... ... ... .205

9.13Exercices duchapitre9. ... ...... ... ... ... ... .. ... ..206

10Anneauxde polyn™mes213

10.1Polyn™mesˆ coefÞcientsdans unanneau. ...... .. ... ... ... 213

10.2Divisioneuclidienne ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... .215

10.3Fonctionpolynomiale etracines dÕunpolyn™me. ... ... ... ... .216

10.4DŽrivŽeformelle dÕunpolyn™me,formule deTaylor ... ... .. ... .217

10.5MultiplicitŽdÕune racine. ... ... ... ... ... ... ... .. ... .218

10.6Unexemple: lespolyn™mescyclotomiques ... ... ... .. ... ... 219

10.7Groupe K

lorsqueKestuncorps commutatif.. .. ... ... ... ..221

10.8Lepolyn™me dÕinterpolationde Lagrange.. ... ... ... .. ... ..224

10.10Exercices duchapitre10.. ... ..... ... ... ... ... ... ... 226

11Anneauxprincipaux 237

11.1IdŽauxprincipaux, anneauxprincipaux. ... ... .. ... ... ... .237

11.2Exemplesclassiques: lesanneauxeuclidiens ... ... ... .. ... ... 238

11.3EntiersdÕun corpsquadratique ... ... ... ... ... .. ... ... .240

11.4DivisibilitŽdans unanneauprincipal ... ... ... .. ... ... ... .241

11.5DŽcompositionen facteursirrŽductibles. ... ... .. ... ... ... .244

11.6Anneau desentiersde Gauss.. ... ... ... ... .. ... ... ... 246

11.8Quotients danslesanneaux principaux.. ... ... ... .. ... ... 250

11.9Exercices duchapitre11. ... ...... ... ... ... .. ... ... .252

7

IVThŽoriedes nombres261

12ArithmŽtique263

12.1Congruences, anneauZ/nZ..........................263

12.3RŽsidusquadratiques ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... .267

12.4Nombres premiers... ...... ... ... ... .. ... ... ... ..269

12.5Nombres deMersenne,nombresde Fermat.. ... ...... .. ... .270

12.7Equationsdiophantiennes ... ... ... ... .. ... ... ... ... .273

12.8Exercices duchapitre12.. ... ..... ... ... ... ... ... ... 277

13NombresalgŽbriques 289

13.3Nombres transcendants..... ... ... .. ... ... ... ... ... 292

13.4Lecorps desnombr esalgŽbriques. ... ...... ... ... .. ... .294

13.7Exercices duchapitre13.. ... ...... .. ... ... ... ... ... 301

14Anneaux factoriels307

14.1UnegŽnŽralisation desanneauxprincipaux ... ... .. ... ... ... 307

14.2Polyn™mes primitifs.. ... ... ... ... ... .. ... ... ... ..310

14.3IrrŽductibilitŽdes polyn™mes. ... ... ... ... ... ... ... .. .311

14.4Anneau despolyn™messur unanneaufactoriel ... ... ... .. ... .312

14.6IrrŽductibilitŽdes polyn™mescyclotomiques ... ... ... ... ... .317

INDEX319

8

GROUPES

9

Chapitre1

LacatŽgoriedes groupes

1.1FactorisationdÕune application

DŽÞnition.

Onappeller elationdՎquivalencesur unensemblenonvideE,uner elationbinaire

RsurEvŽriÞantlesconditions suivantes:

a)"x#ExRx(rŽßexivitŽ), b)"x#E"y#ExRy$yRx(symŽtrie),

LapartieC

x ={y#E|xRy}deEestappelŽela classedՎquivalencemoduloRde x .Pourtout z#C y onaz#C x y &C x .Commeles conditionsx#C y ety#C x x &C y etdoncC x =C y .Ilen rŽsulte quetout x#EappartientˆlÕune despartiesde lafamille (C x x#E etˆune seule.Les classesdՎquivalenceconstituent unepartition deE. NotonsP(E)lÕensembledesparties deE.Lafamille (C x x#E constitueunsous- ensembledeP(E)appelŽlÕensemblequotientde EparR.Onle noteE/R.Dans lasuite,l aclassede x#Eseravuee ssentiellementcomme ŽlŽmentdecenouvel ensembleE/RetseranotŽe x.LÕapplicationcanonique j:x'(xestsurjectivede

EsurE/R.

ConsidŽronsuneapplicationfdeEdansunensemble F.Soit(x,y)#E)E.Po- sonsxR f ysietseul ementsi f(x)=f(y).OndŽÞnit ainsiuner elationd Վquivalence R f surE.Ellepartage EenclassesdՎlŽments ayantlamme imageparf. Pourlasurjection canoniquej:E(E/RconsidŽrŽeprŽcŽdemment,on aR j =R.

Proposition.

ConsidŽronsunerelationdՎquivalence RsurlÕensembleE,uneapplication fdeE dansunautr eensembleFconstantesurtoute classedՎquivalencex.Ilexiste alors uneapplicationfdeE/RdansF,unique,telle quef*j=f.Ona Im(f)=Im f

LÕapplicationfestinjectivesi etseulementsi R=R

f DŽmonstration.Laconditionf*j=fimposelavaleur f(x)=f(x)pourtout ŽlŽmentxdeE/R,dÕolÕunicitŽ def. LÕexistencetientaufaitque festconstantesur touteclassex.Lavaleur f(x)ne dŽpendquede x#E/Retnondu reprŽsentantparticulier xdelaclasse x.Ilexiste 11

12CHAPITRE1. LACATƒGORIE DESGROUPES

doncuneapplication fbiendŽÞniede E/RdansFtellequef(x)=f(x),cÕest-ˆ-dire tellequef*j=f.Ona ŽvidemmentIm(f)=Im f EnÞn,festinjectivesi lesconditions f(x)=f(y)etx=ysontŽquivalentes.Or x=y$xRyetf(x)=f(y)$f(x)=f(y)$xR f y.

Doncfestinjectivesi etseulementsi R=R

f

DŽÞnition.

Onditque fsedŽduitde fparfactorisation,ou parpassageau quotient.

Corollaire.

Soitf:E(Funeapplication.Elle admetla dŽcompositioncanoniquef=i*f*j oj:E(E/R f dŽsignelasurjection canonique,of:E/R f (f(E)est bijectiveeto i:x'(xestlÕinjectionnatur elledef(E)dansF. Exercice1.SoitRunerelation binairesurunensemble E.Onappelle graphede

R,lapartie G

R ={(x,y)#E)E|xRy}deE)E.

QuellespropriŽtŽs deG

R traduisentlefait queRestuner elationdՎquivalence? Quedire dÕunerelationdՎquivalencequi estaussiune relationdÕordre? SiE=[0,3[,dessinerle graphedela relationbinair ex+y(mod1). Solution.LarŽßexivitŽ( "x#ExRx)signiÞeque G R contientladiagonale ]={(x,x);x#E}.

LasymŽtrie esttraduitepar lÕinvariancedeG

R dans lasymŽtrie(x,y)'((y,x)parrapportˆ ladiagonale LatransitivitŽ delar elationRsigniÞequesi deux pointsM=(x,y)etN=(y,z)dugraphe,sont telsque ÒlÕordonnŽeÓydeMetÒlÕabscisseÓde NsontŽgales, alorsP=(x,z)estluiaussi ŽlŽmentdeG R Larelation dՎquivalenceRnepeut treune relationdÕordreque siG R =],cÕest-ˆ- diresilesclassesdՎquivalence sonttoutesponctuelles. (RestlՎgalitŽ. )

MontrerqueR

f =R g sietseulement sÕilexiste unebijectionudeYsurZtelle queg=u*f. Solution.SÕilexisteu:Y(Zinjectivetelle queg=u*f,pourtout x#Xettout y#Xona xR g y$g(x)=g(y)$u(f(x))=u(f(y))$f(x)=f(y)$xR f y DoncR f =R g .RŽciproquement, supposonsqueR f =R g .DŽsignons parjla surjectioncanoniquede XsurX/R f =X/R g .LesdŽcompositions canoniquesde fetgdonnentdesbijections f:X/R f (Yetg:X/R g (Ztellesque f=f*jetg=g*j.Alors u=g*f ,1 estunebijection deYsurZtelleque u*f=(g*f ,1 )*(f*j)=g*j=g.

1.2.LOIDE COMPOSITIONINTERNESUR UNENSEMBLE13

1.2Loi decompositioninterne surunensemble

DŽÞnition.

Onappelleloi decompositioninterne, ouopŽration,sur unensembleE,uneappli- cation(x,y)'(x]ydeE)EdansE. CetteopŽrationest ditecommutativesix]y=y]zpourtoutx#Eettouty#E. Elleestdite associativesi(x]y)]z=x](y]z)pourtousx#E,y#E,z#E. SÕilexistee#Etelquee]x=xpourtoutx#Eonditque eestneutreˆgauche.

SÕilexistee

#Etelquex]e =xpourtoutx#Eonditque e estneutreˆdroite. Onditque e#EestneutresÕilestneutr eˆgauche etneutreˆdroite.

SilÕopŽrationest notŽeadditivement,lՎlŽment neutrese note0et sÕappellele zŽro.

Ondit quea#EestrŽguliersipour toutx#Eetpourtout y#E, (a]x=a]y)%(x=y)etsi(x]a=y]a)%(x=y). Danslasuite, uneloide compositioninternesera leplussouvent notŽe(x,y)'(quotesdbs_dbs6.pdfusesText_12

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