[PDF] Algèbre Géométrique et Informatique Graphique

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Algèbre Géométrique et Informatique Graphique

Laurent Fuchs

XLIM-SIC

Université de Poitiers

JIG 2013 Nancy

14-15 Novembre 2013

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Introduction

Algèbre Géométrique

Issue de travaux du XIX siècle

Exprimer les relations géométriques à l"aide d"équations algébriques :1844

Hamilton1844

Grassmann1870

CliffordDébut XXième

siècle Dirac et Pauli1941

Forder1966

Hestenes

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Introduction

Algèbre Géométrique

Issue de travaux du XIX siècle

Exprimer les relations géométriques à l"aide d"équations algébriques :1844

Hamilton1844

Grassmann1870

CliffordDébut XXième

siècle Dirac et Pauli1941

Forder1966

Hestenes

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Introduction

Algèbre Géométrique

Issue de travaux du XIX siècle

Exprimer les relations géométriques à l"aide d"équations algébriques :1844

Hamilton1844

Grassmann1870

CliffordDébut XXième

siècle Dirac et Pauli1941

Forder1966

Hestenes

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Introduction

Algèbre Géométrique

Issue de travaux du XIX siècle

Exprimer les relations géométriques à l"aide d"équations algébriques :1844

Hamilton1844

Grassmann1870

CliffordDébut XXième

siècle Dirac et Pauli1941

Forder1966

Hestenes

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Introduction

Algèbre Géométrique

Issue de travaux du XIX siècle

Exprimer les relations géométriques à l"aide d"équations algébriques :1844

Hamilton1844

Grassmann1870

CliffordDébut XXième

siècle Dirac et Pauli1941

Forder1966

Hestenes

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Introduction

Algèbre Géométrique

Issue de travaux du XIX siècle.

Applications :

Astronomie, Physique, Vision, Traitement d"images, Robotique Introduite en Informatique Graphique au début des années 2000.

Hestenes, Rockwood, Dorst, Lasenby, Goldman, Mann

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Introduction

Algèbre Géométrique

Issue de travaux du XIX siècle.

Applications :

Astronomie, Physique, Vision, Traitement d"images, RobotiqueRigidBodyDynamics I Willstart bylookingattreatmentof rigidbodymotionin ordinary3dGA Havearigidbodymoving throughspace. Relatethevector positionofpoints inthemo vingbodyy(t)backtoafixed 'reference"body. x 0 istheposition inspace ofthecentre ofmass. Have y(t)=R(t)x

R(t)+x

0 (t) Placestherotational motioninthe time-dependentrotor R(t).Introduite en Informatique Graphique au début des années 2000.

Hestenes, Rockwood, Dorst, Lasenby, Goldman, Mann

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Introduction

Algèbre Géométrique

Issue de travaux du XIX siècle.

Applications :

Astronomie, Physique, Vision, Traitement d"images, RobotiqueResults-Ex ample1Introduite en Informatique Graphique au début des années 2000.

Hestenes, Rockwood, Dorst, Lasenby, Goldman, Mann

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Introduction

Algèbre Géométrique

Issue de travaux du XIX siècle.

Applications :

Astronomie, Physique, Vision, Traitement d"images, Robotique

Bayro-Corrochano, E. and Scheuermann, G. (Eds.)

Geometric Algebra Computing,

Springer, 2010Dorst, L. and Lasenby, J. (Eds.)

Guide to Geometric Algebra in Practice,

Springer, 2011Introduite en Informatique Graphique au début des années 2000.

Hestenes, Rockwood, Dorst, Lasenby, Goldman, Mann

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Introduction

Algèbre Géométrique

Issue de travaux du XIX siècle.

Applications :

Astronomie, Physique, Vision, Traitement d"images, Robotique Introduite en Informatique Graphique au début des années 2000.

Hestenes, Rockwood, Dorst, Lasenby, Goldman, Mann

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Introduction

Algèbre Géométrique

Issue de travaux du XIX siècle.

Applications :

Astronomie, Physique, Vision, Traitement d"images, Robotique Introduite en Informatique Graphique au début des années 2000.

Hestenes, Rockwood, Dorst, Lasenby, Goldman, Mann

Leo Dorst, Daniel Fontijne and Stephen Mann

Geometric Algebra for Computer Science : An Object

Oriented Approach to Geometry,

Morgan Kauffmann Publishers, 2007

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Introduction

"Faire" de la géométrie Décrire des primitives : points, droites, plans, cercles, sphères tangentes.Constructions de "base" : intersections, incidences Opérations : translation, rotations, réflexions, projections Propriétés : tailles, positions, orientations Pratiques numériques : approximations, interpolations 4/46

Géométrie euclidienne

Algèbre linéaireEspace vectorielRnEnsemble de vecteurs muni d"opérations sur les vecteurs

Addition de vecteurs :

a+bMultiplication par un scalaire

Distributive sur l"addition :

(a+b) =a+b aveca2Reta;b2Rna ba+ba la5/46

Géométrie euclidienne

Algèbre linéaireReprésentation de l"espace "usuel" : dimension 2

On choisit une origineOet une basefe1= (1;0);e1= (0;1)gOn obtient un système de coordonnées : un pointP= (p1;p2)est

représenté par son vecteur position!OP=p1e1+p2e2xy O e1e

2P= (p1;p2)On peut comparer des vecteurs qui sont parallèles (b=a),

ajouter des vecteurs (!OQ=!OP+a).6/46

Géométrie euclidienne

Algèbre linéaireReprésenter les primitives géométriques Directions et points; vecteurs et vecteurs positions

Primitives géométriques;

Droites; vecteur position et vecteur

Plans; vecteur (normal) et distance à l"origine

Sphère; vecteur position et un nombre (rayon)

Algorithmes spécialisés pour chaque cas, gestion des cas

particulierCalculs qui n"ont pas de " sens » géométrique;P+Q,cPDifficulté d"obtenir des primitives de calcul.

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Géométrie euclidienne

Algèbre linéaireEspace euclidienRnOn ajoute un produit scalaire : !OA!OB=a1b1+a2b2=abcosoù=AB!

OA!OB=a1b1+a2b2

= (acosA)(bcosB) +(asinA)(bsinB) =ab(cosAcosB +sinAsinB) =abcos(AB)ab qa qb acos( qa)bcos(qb)asin( qa)bsin( qb)Mesurer des angles, des distances.!

OA!OB=0,!OAet!OBsont orthogonaux.8/46

Géométrie euclidienne

Algèbre linéaireEspace euclidienRnOn ajoute un produit scalaire : !OA!OB=a1b1+a2b2=abcosoù=AB!

OA!OB=a1b1+a2b2

= (acosA)(bcosB) +(asinA)(bsinB) =ab(cosAcosB +sinAsinB) =abcos(AB)ab qa qb acos( qa)bcos(qb)asin( qa)bsin( qb)Mesurer des angles, des distances.!

OA!OB=0,!OAet!OBsont orthogonaux.8/46

Géométrie euclidienne

Algèbre linéaireEspace euclidienRnOn ajoute un produit scalaire : !OA!OB=a1b1+a2b2=abcosoù=AB!

OA!OB=a1b1+a2b2

= (acosA)(bcosB) +(asinA)(bsinB) =ab(cosAcosB +sinAsinB) =abcos(AB)ab qa qb acos( qa)bcos(qb)asin( qa)bsin( qb)Mesurer des angles, des distances.!

OA!OB=0,!OAet!OBsont orthogonaux.8/46

Géométrie euclidienne

Algèbre vectorielleEspace euclidienR3En dimension 3, on introduit un produit de vecteurs : le produit vectoriel "", (cross product).Poura;b2R3:abest perpendiculaire au plan défini paraetb.kabk=kakkbksinoùest l"angle entreaetb.Les vecteursa,betabforment un repère direct (main droite).kabk=kakkbksinest l"aire du parallélogramme défini para etb. aire (parallelog(a,b))=basehauteur =(longueur dea)(longueur deb?) =kak (kbksin) b? b?9/46

Géométrie euclidienne

Algèbre vectorielleEspace euclidienR3En dimension 3, on introduit un produit de vecteurs : le produit vectoriel "", (cross product).kabk=kakkbksinest l"aire du parallélogramme défini para etb. aire (parallelog(a,b))=basehauteur =(longueur dea)(longueur deb?) =kak (kbksin) b?9/46

Géométrie euclidienne

Algèbre vectorielleEspace euclidienR3: produit vectorielDe nombreuses utilisations en physique (mécanique; calcul du

moment d"une force)En informatique graphique : calcul d"une normale à un polygone, intersection de 2 plans.C"est aussi une mesure de la "perdendicularité"; Quandaetbsont colinéaires :ab=0.Mais il ne s"étend pas aux autres dimensions : En dimension 4 :fe1;e2;e3;e4gune base, si l"on cherche un vecteur perpendiculaire àe1ete2: toute combinaison dee3ete4 marche. 10/46

Géométrie euclidienne

Langage de la géométrie

Un agrégat de méthodes et de formalismes?

Matrices

Produit vectoriel

Coordonnées de Plücker

Quaternions

Quaternions duaux

Espace des sphères

Algèbre géométrique

Langage de haut niveau pour la géométrie

Primitives géométriques; éléments de l"algèbre Contient et étend; Les nombres complexes, les quaternions, les

coordonnées de Plücker, l"espace des sphèresUn calcul est valable; en toute dimensions, pour toutes les

primitives géométriques 11/46

Géométrie euclidienne

Langage de la géométrie

Un agrégat de méthodes et de formalismes?

Matrices

Produit vectoriel

Coordonnées de Plücker

Quaternions

Quaternions duaux

Espace des sphères

Algèbre géométrique

Langage de haut niveau pour la géométrie

Primitives géométriques; éléments de l"algèbre Contient et étend; Les nombres complexes, les quaternions, les

coordonnées de Plücker, l"espace des sphèresUn calcul est valable; en toute dimensions, pour toutes les

primitives géométriques 11/46

Le produit extérieur

Algèbre de GrassmannUn "produit vectoriel" en toute dimension a^a=0a^b=b^a a^b=(a^b) (a+b)^c= (a^c) + (b^c)Étendre la notion de vecteuravecteura ba^b2-vecteur a bc a^b^c3-vecteur 12/46quotesdbs_dbs43.pdfusesText_43

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