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Introduction a la geometrie algebrique

Olivier Debarre

Table des matieres

Introduction 1

Chapitre 1. Varietes anes 3

1.1. Sous-varietes anes 3

1.2. Ideal d'une sous-variete ane 4

1.3. Irreductibilite 4

1.4. Le Nullstellensatz 5

1.5. Applications regulieres 6

1.6. Exercices 8

Chapitre 2. Varietes projectives 11

2.1. L'espace projectif 11

2.2. Varietes projectives 12

2.3. Ideal d'une variete projective 13

2.4. Le Nullstellensatz projectif 14

2.5. Applications regulieres 15

2.6. Applications rationnelles 17

2.7. Produits de varietes 19

2.8. Eclatements 20

2.9. Image d'une application reguliere 21

2.10. Exercices 23

Chapitre 3. Dimension 27

3.1. Denition de la dimension 27

3.2. Dimension des varietes algebriques 27

3.3. Dimension et nombre d'equations 29

3.4. Applications generiquement nies 30

3.5. Applications regulieres et dimension 32

3.6. Cas des applications fermees 34

3.7. Applications 35

3.8. Applications nies 36

3.9. Exercices 37

Chapitre 4. Points et applications regulieres lisses 41

4.1. Espace tangent de Zariski 41

4.2. Points lisses et points singuliers 42

4.3. Le theoreme principal de Zariski 45

4.4. Application tangente, applications regulieres lisses 48

4.5. Theoremes de Bertini 50

4.6. Exercices 51

iii iv TABLE DES MATI ERES Chapitre 5. Diviseurs sur une variete algebrique 53

5.1. Fibres en droites 53

5.2. Diviseurs 55

Chapitre 6. Faisceaux coherents et cohomologie 63

6.1. Faisceaux 63

6.2. Cohomologie des faisceaux 68

6.3. Faisceaux coherents 70

6.4. Cohomologie des faisceaux coherents sur une variete projective 77

6.5. Faisceaux inversibles amples et tres amples 79

Chapitre 7. Nombres d'intersection 85

7.1. Denition 85

7.2. C^one des courbes 93

7.3. Caracterisation des faisceaux amples par leurs nombres d'intersection 94

Chapitre 8. Caracterisations numeriques des faisceaux inversibles nefs et amples 97

8.1. Faisceaux inversibles nefs 97

8.2.^Etre nef est une propriete numerique 98

8.3. Une caracterisation numerique de l'amplitude 99

8.4. Une forme faible du theoreme de Riemann-Roch 100

8.5. Exercices 101

Bibliographie 103

Introduction

Ces notes sont celles de deux cours de D.E.A. de 20 heures chacun donnes a l'Universite Louis Pasteur en 1999/2000. Je me suis inspire des ouvrages [H], [Ha], [M], [P] et [S], mon but etant de donner une idee des resultats et concepts de base de la geometrie des varietes algebriques quasi-projectives sur un corpsk algebriquement clos.A part les denitions de base, nous avons admis les resultats suivants d'algebre commutative : Nullstellenstaz :soitIun ideal dek[X1;:::;Xn]; on aI(V(I)) =pI. Hauptidealsatz :soientAunek-algebre integre de type ni,fun element non nul deAetpun ideal premier minimal contenantf. On a deg:tr:kK(A=p) = deg:tr:kK(A)1: Factorialite des anneaux reguliers :toutek-algebre locale de type niA dont l'ideal maximal peut ^etre engendre par dimAelements est un anneau factoriel. 1

CHAPITRE 1

Varietes anes

On xe un corpsket un entiern. On noteAl'anneauk[T1;:::;Tn] des po- lyn^omes anindeterminees a coecients dansk.

1.1. Sous-varietes anes

SiF(T1;:::;Tn) est un element deA, on dit qu'un pointx= (x1;:::;xn) de k nest unzerodeFsiF(x1;:::;xn) = 0. D efinition1.1.SoitSune partie de l'anneau de polyn^omesA. On noteV(S) le sous-ensemble deknforme des zeros communs a tous les elements deS. Les sous-ensembles deknde ce type sont lessous-varietes anesdekn. Exemples1.2.1) On aV(1) =?etV(?) =V(0) =kn: le vide et l'espace tout entier sont des sous-varietes anes dekn.

2) Un point deknest une sous-variete ane, puisqueV(T1x1;:::;Tnxn) =

f(x1;:::;xn)g.

3) Dansk2, on aV(T2) =V(T) : c'est l'axe desy. Des parties dierentes

peuvent donner la m^eme sous-variete ane.

4) Tout sous-espace ane deknest une sous-variete ane.

Remarquons queS0Sentra^neV(S)V(S0) (les inclusions changent de sens). D'autre part, sihSiest l'ideal engendre parS(c'est-a-dire l'ensemble des sommes niesPFiGi, avecFidansS, etGiquelconque dansA), on aV(S) = V(hSi). L'anneauAetantnoetherien, l'idealhSiest engendre par un nombre ni de polyn^omesF1;:::;Fr, de sorte que

V(S) =V(hSi) =V(F1;:::;Fr):

En d'autres termes, toute sous-variete ane deknpeut ^etre denie par un nombre ni d'equations. Proposition1.3.a)Toute intersection de sous-varietes anes deknest une sous-variete ane. b)Toute reunion nie de sous-varietes anes deknest une sous-variete ane. D emonstration.Pour a), il sut de remarquer queT

V(S) =V(S

S). Pour b), il sut de remarquer que la reunionV(S1)[V(S2) est egale aV(S1S2), ouS1S2designe l'ensemble des produits d'un element deS1avec un element deS2 (six =2V(S1)[V(S2), il existeF1dansS1etF2dansS2avecF1(x) etF2(x) non nuls, de sorte queF1F2(x) est non nul, etx =2V(S1S2)). En particulier, tout sous-ensemble ni deknest une sous-variete ane. La proposition permet de denir unetopologie, dite de Zariski, sur l'ensemble k n, en prenant comme fermes les sous-varietes anes. C'est une topologie tres 3

4 1. VARI

ETES AFFINES

dierente des topologies usuelles; en particulier, elle n'est pas separee. Pire : sik est inni, deux ouverts non vides quelconques se rencontrent (cf.cor. 1.9; sikest ni, la topologie de Zariski est la topologie discrete et ne presente aucun inter^et). En gros, les ouverts sont tres gros, et les fermes tres petits. Par exemple, dansk, les fermes sont?,k, et les sous-ensembles nis. On munit toute sous-variete ane deknde la topologie induite par la topologie de Zariski dekn.

1.2. Ideal d'une sous-variete ane

On a vu qu'une m^eme sous-variete aneVpouvait ^etre denie par des par- ties dierentes deA(en d'autres termes, par des equations dierentes). Il existe cependant un moyen naturel d'associer un ideal deAaV. D efinition1.4.SoitVun sous-ensemble dekn; on appelle ideal deV, et l'on noteI(V), l'ensemble des polyn^omes nuls surV.

On a les proprietes suivantes :

1)VV(I(V)), avec egalite si et seulement siVest ane. En fait,V(I(V))

est l'adherence deV(pour la topologie de Zariski).

2)SI(V(S)), mais il n'y a en general pas egalite, m^eme lorsqueSest un

ideal; par exempleI(V((T2)) = (T). La relation entreIetI(V(I)) est l'objet du Nullstellensatz, que nous verrons plus bas.

1.5.On peut traduire le fait que l'anneauAestnoetheriende facon geometrique :

toute suite decroissante de sous-varietes anes est stationnaire. En eet, si (Vi) est une telle suite, la suite d'ideaux (I(Vi)) est croissante, donc stationnaire. Il en est de m^eme de la suite (Vi) par la propriete 1) ci-dessus. En particulier, toute sous-variete ane estquasi-compacte.

1.3. Irreductibilite

La sous-variete ane dek2denie parT1T2= 0 se decompose en la reunion des axes de coordonnees, qui sont eux-m^emes anes, mais qu'on ne peut, sikest inni, decomposer a leur tour en une reunion nie d'anes. C'est cette remarque que l'on veut generaliser. D efinition1.6.On dit qu'un espace topologiqueEestirreductibles'il n'est pas vide et qu'il n'est pas reunion de deux fermes distincts deE. On verie facilement que siEest non vide,Eest irreductible si et seulement si deux ouverts non vides quelconques se rencontrent, c'est-a-dire si et seulement si tout ouvert non vide est dense. Le theoreme suivant fournit une traduction en termes algebriques de l'irreducti- bilite d'une sous-variete ane. Th eoreme1.7.Pour qu'une sous-variete ane soit irreductible, il faut et il sut que son ideal soit premier. D emonstration.SoitVune sous-variete ane irreductible; considerons des polyn^omesFetGtels queFGs'annule surV. On aVV(FG) =V(F)[V(G), de sorte queVest la reunion des fermesV\V(F) etV\V(G). CommeVest irreductible, l'un d'eux est egal aV, de sorte que soitF, soitGs'annule surV.

1.4. LE NULLSTELLENSATZ 5

SupposonsI(V) premier, et supposonsVreunion de deux fermes propresV1et V

2. CommeVi V, il existe un polyn^omeFinul surVimais pas surV, de sorte

queFi=2I(V), maisF1F22I(V), ce qui contredit le fait queI(V) est premier.

1.8.On peut aussi exprimer la condition du theoreme en demandant que l'algebre

quotientA(V) =A=I(V), ditealgebre deV, soitintegre.

Corollaire1.9.Sikest inni,knest irreductible.

D emonstration.Puisquekest inni, tout polyn^ome nul surknest nul, de sorte queI(kn) = (0), qui est premier. Th eoreme1.10.Toute sous-variete ane non vide se decompose de facon uni- que (a permutation pres) en une reunion nie de sous-varietes anes irreductibles, non contenues l'une dans l'autre. D emonstration.Existence : supposons qu'il existe une sous-varieteVnon vide qui ne se decompose pas en une reunion nie d'irreductibles; d'apres (1.5), l'ensemble de ces sous-varietes admet un element minimalV, qui est forcement reductible. On ecritV=V1[V2, avecViferme non vide distinct deV. Par mini- malite,Viest reunion nie d'irreductibles, d'ou la contradiction. L'unicite est laissee au lecteur en exercice. Les sous-varietes irreductiblesV1;:::;Vrapparaissant dans la decomposition du theoreme sont appelees lescomposantes irreductibles dela sous-variete ane

V. On aI(V) =T

iI(Vi), et les ideauxI(Vi) sont premiers. C'est un exemple de decomposition primaire d'un ideal deA.

1.4. Le Nullstellensatz

C'est un premier resultat fondamental. Je refere par exemple a [H] pour diverses demonstrations. SiIest un ideal deA, l'idealpI=fF2Aj 9m2NFm2Ig est appeleradicaldeI. Les sous-varietesV(I) etV(pI) concident. On dit qu'un idealIest radical s'il est egal apI. Un ideal premier est radical. Un idealIdeA est radical si et seulement si le seul element nilotent deA=Iest 0. L'ideal d'une sous-variete ane est radical. En particulier, on apII(V(I)):

Le Nullstellensatz precise cette relation.

Th eoreme1.11 (Nullstellensatz).On supposekalgebriquement clos. Pour tout idealIdeA, on aI(V(I)) =pI. En particulier,V(I) est vide si et seulement siI=A. Corollaire1.12.L'applicationV7!I(V)realise une bijection decroissante, de reciproqueI7!V(I)entre a) les sous-varietes anes deknet les ideaux radicaux deA; b) les sous-varietes anes irreductibles deknet les ideaux premiers deA; c) les points deknet les ideaux maximaux deA.

Un cas particulier important est le suivant.

6 1. VARI

ETES AFFINES

D efinition1.13.On appelle hypersurface dekntoute sous-variete ane de- nie par un polyn^ome non constant. Ce sont donc les sous-varietes du typeV(F), avecF2A. SiFest irre- ductible, l'ideal (F) est premier, et le Nullstellensatz entra^ne que lorsquekest algebriquement clos,V(F) est irreductible (comparer avec l'exercice 1.6.8)b)). Comme Aest factoriel, on peut decomposerFde facon unique en un produitF=Q iFnii, avecFiirreductible. En particulier, lesV(Fi) sont les composantes irreductibles de V(F). On peut etendre la correspondance du corollaire aux sous-varietes d'une sous- variete ane quelconque. Pour cela, considerons des sous-varietes anesWetV avecWV. On aI(V)I(W), de sorte queI(W) est l'image inverse par la surjection:A!A(V) d'un ideal deA(V), que l'on noteIV(W). Th eoreme1.14.On supposekalgebriquement clos. SoitVune variete ane. L'applicationW7!IV(W)realise une bijection decroissante, de reciproqueI7!

V(1(I))entre

a) les sous-varietes anes deVet les ideaux radicaux deA(V); b) les sous-varietes anes irreductibles deVet les ideaux premiers deA(V); c) les points deVet les ideaux maximaux deA(V). D emonstration.Soitxun point deV; l'idealIV(x) (souvent notemx) des polyn^omes nuls enxest maximal dansA(V) : c'est le noyau du morphismeA(V)! kqui a [F] associeF(x). Cela demontre une partie de c). Pour le reste, il sut de remarquer qu'un idealIdeA(V) est radical (resp. premier) (resp. maximal) si et seulement si1(I) l'est, puisque ces proprietes se lisent sur le quotientA(V)=I, qui est isomorphe aA=1(I).

1.15.En particulier, les composantes irreductibles deVcorrespondent aux ideaux

premiers minimaux deA(V), et celles deWaux ideaux premiers minimaux deA(V) contenantIV(W). Mentionnons un exemple important d'application du Nullstellensatz. C'est l'ana- logue des partitions de l'unite en analyse. Proposition1.16.On supposekalgebriquement clos. SoientVune sous-va- riete ane etf1;:::;frdes elements deA(V)sans zero commun. Il existe des elementsg1;:::;grdeA(V)tels quePfigi= 1(dansA(V)). D emonstration.En d'autres termes, des elements deA(V) sans zero com- mun engendrentA(V). SoientFr+1;:::;Fsdes generateurs deI(V). Les polyn^omes F

1;:::;Fr;Fr+1;:::;Fs(ouFjest un polyn^ome de classefjpourjr) n'ont pas

de zero commun danskn; le Nullstellensatz entra^ne que le radical de l'ideal qu'ils engendrent estA, donc contient 1. Il existe donc des polyn^omesG1;:::;Gstels quePs i=1FiGi= 1. Il sut de considerer cette egalite moduloI(V).

1.5. Applications regulieres

Comme nous avons deni unetopologiesur les sous-varietes anes, celle de Zariski, on pourrait croire que les applicationscontinuespour cette topologie jouent un r^ole important. Il n'en est rien. Considerons une \courbe" plane irreductibleC, c'est-a-dire le lieu des zeros d'un polyn^ome irreductible a deux variables. Il ressort de l'exercice 1.6.8) que les fermes deCsontC,?, et les sous-ensembles nis deC.

1.5. APPLICATIONS R

EGULIERES 7

Cette topologie ne re

ete pas la geometrie deC: deux telles courbes sont toujours homeomorphes, puisque toute bijection est continue. Les applications qui nous interessent sont les suivantes. D efinition1.17.SoientVknetWkmdes sous-varietes anes; une applicationV!West diteregulieresi c'est la restriction aVd'une application k n!kmdont les composantes sont des fonctions polynomiales. On en deduit immediatement que l'algebreA(V), denie en (1.8), s'identie a l'ensemble des fonctions regulieres deVdansk. Siu:V!West une application reguliere, on lui associe un morphisme dek-algebresu:A(W)!A(V) par la reglef7!fu. Exemples1.18.1) Toute application ane est reguliere.

2) Toute application reguliere est continue pour la topologie de Zariski.

3) Supposonskinni. SoitCl'hypersurface plane d'equationY=X2; on

verie que le polyn^omeX2Yest irreductible, ce qui entra^neI(C) = (X2Y) (utiliser l'exercice 1.6.8)b), ou le Nullstellensatz lorsquekest algebriquement clos). L'applicationf:C!kdenie parf(x;y) =xest reguliere et bijective. Son inverse x7!(x;x2) est aussi reguliere : on dit quefest unisomorphisme. Le morphisme f :k[T]!k[X;Y]=(X2Y) est deni parf(T) =X.

4) Supposons toujourskinni. SoitCl'hypersurface plane d'equationX2=Y3

(c'est une cubique a point de rebroussement); l'applicationu:k!Cdenie paru(t) = (t3;t2) est reguliere bijective, mais on verra plus loin que ce n'est pas un isomorphisme. On verie que l'ideal deCest (X2Y3) (exerc. 1.6.7)a); le morphismeu:k[X;Y]=(X2Y3)!k[T] est deni paru(X) =T3etu(Y) = T 2.

5) On supposekalgebriquement clos de caracteristiquep >0. L'application

u:k!kdenie paru(x) =xp(ditede Frobenius) est reguliere bijective, mais n'est pas un isomorphisme , comme on le verra plus loin. Le morphisme de k-algebresu:k[T]!k[T] est deni paru(T) =Tp. Proposition1.19.SoientVetWdes sous-varietes anes; l'applicationu7! u realise une bijection entre l'ensemble des applications regulieres deVdansW et l'ensemble des morphismes dek-algebres deA(W)dansA(V). En particulier, pour queVetWsoient isomorphes, il faut et il sut que lesk-algebresA(V)et

A(W)le soient.

D emonstration.SupposonsVknetWkm. On peut reconstruireu a partir deude la facon suivante : siy1;:::;ymsont les fonctions coordonnees surkm, on au= (u(y1);:::;u(ym)). Cela montre que l'applicationu7!uest injective. On peut faire cette construction en partant de n'importe quel morphisme dek- algebres':A(W)!A(V). On obtient ainsi une application reguliereu:V!km, dont on verie qu'elle est a valeurs dansW: pour tout polyn^omeFnul surW, on a F(u(x)) =F('(y1)(x);:::;'(ym)(x)) ='(F(y1;:::;ym))(x) = 0 puisqueFest nul dansA(W). Cela montre que l'applicationu7!uest surjective.

8 1. VARI

ETES AFFINES

Dans l'exemple 1.18.3),fest bien un isomorphisme, d'inverse donne parX7! TetY7!T2. En revanche, dans les exemples 4) et 5),un'est pas surjectif, puisque

Tn'est pas atteint, etun'est pas un isomorphisme.

L'anneauA(V) est donc un invariant a isomorphisme pres de la varieteV. On a vu dans le theoreme 1.14 qu'il existe une bijection entre les ideaux maximaux de A(V) et les points deV; la donnee deA(V) permet donc de reconstruire l'ensemble

V, mais il manque encore sa topologie.

Pour terminer, on peut lire certaines des proprietes de l'applicationusur le morphismeu. D efinition1.20.Une application reguliereu:V!West ditedominantesi son image est dense. Proposition1.21.a)Pour qu'une application reguliereu:V!Wsoitdo- minante, il faut et il sut queusoit injectif. b)Siuest surjectif,uest injective. D emonstration.Siuest dominante etfdans le noyau deu, alorsfuest nulle, de sorte quefs'annule suru(V), donc sur son adherenceW. Reciproquement, siun'est pas dominante, le fermeu(V) est distinct deW; il existe donc une fonc- tion regulieref:W!knulle suru(V) mais pas surW. Elle est donc dans lequotesdbs_dbs6.pdfusesText_12

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