Intégration et probabilités TD — Tribus mesures

12.2 Exercices du chapitre 2 - 12.2.1 Tribus

Corrigé 10 (Tribu engendrée). Soit E un ensemble. 1. Montrer qu'une intersection quelconque de tribus sur E est une tribu sur E.

L3 Maths : Cours dIntégration (partie I) Exercices corrigés

Déterminer la tribu engendrée par C = {A}. Exercice 0.4 : Soient Ω et E deux ensembles et f : Ω −→ E une application et C une partie de. P(E)

Théorie de la mesure et intégration Université de Genève Printemps

Dans cet exercice on souhaite montrer que la tribu borélienne BR de R est engendrée par Série 13 – Correction (corrigée le 27/05/2020). Exercice 1. Pour j ...

1 Tribus

Exercice 3. Entraînement QCM. Par quelles collections d'ensembles la tribu borélienne de R est-elle engendrée ? a) Les intervalles ]

Untitled

Exercice 4 Soit (X T ) un espace mesurable tel que la tribu T contient les singletons. Soit µ une mesure finie sur (X

Feuille dexercices III.

Il s'agit de la plus petite tribu contenant E c'est donc la tribu engendrée par E. (non corrigé

Annales Corrigées de lAnnée 2002-2003

corrigé d'exercice. Le barème n'est donné qu'à titre indicatif pour vous ... 23Attention ce n'est pas une sous-tribu de J car J n'est pas une tribu sur Ω.

TD4. Tribus. Échauffements Tribus engendrées Tribus et fonctions

c) Décrire et donner le cardinal de la tribu engendrée par une partition finie de E. d) Même question pour une partition infinie dénombrable. Exercice 4. Soit E

Corrigés dexercices

Corrigé 10 (Tribu engendrée). Soit E un ensemble. 1. Montrer qu'une intersection quelconque de tribus sur E est une tribu sur E. ————————

[PDF] 122 Exercices du chapitre 2 - 1221 Tribus

Corrigé 10 (Tribu engendrée) Soit E un ensemble 1 Montrer qu'une intersection quelconque de tribus sur E est une tribu sur E

[PDF] L3 Maths : Cours dIntégration (partie I) Exercices corrigés

Exercice 0 2 [Application immédiate et résultat utile ] Soient ? et E deux ensembles et f : ? ?? E une application 1) si B est une tribu de E on note :

[PDF] 1 Tribus

tribu (A est constitué de toutes les réunions possibles d'ensembles Ai ) Correction de l'exercice 1 On rappelle qu'une tribu sur R est un ensemble de

[PDF] Intégration et probabilités TD — Tribus mesures – Corrig´e

Donner une nouvelle démonration de queion de l'exercice Corrigé : On remarque que x ? ?x pour tout x ? E donc ?

[PDF] Tribus et Mesures

Exercice 3 Entraînement QCM Par quelles collections d'ensembles la tribu borélienne de R est-elle engendrée ? a) Les intervalles ]

[PDF] PDF

Exercice 8 Soit f : X ? Y une fonction entre deux ensembles (a) Soit B une tribu sur Y Monter que l'ensemble f?1[B] := {f?1(B)

[PDF] Théorie de la mesure et intégration Université de Genève Printemps

Série 1 Correction (corrigée le 26/02/2020) Exercice 1 Soit X un ensemble et A?P(X) un ensemble de parties de X (1) Montrer que si A est une tribu

[PDF] Intégration Exercices et Corrigés - CEREMADE Dauphine

c La tribu et la topologie engendrées par une partition dénombrable A de E sont toutes deux l'ensemble des unions de parties A ? A (cf exercice 3)

[PDF] Feuille 2 - mathuniv-paris13fr

Tribus Exercice 2 Soit X un ensemble et Y un sous-ensemble de X Montrer que si A est une tribu sur X alors ˜A est une tribu sur Y Décrire

[PDF] Annales Corrigées de lAnnée 2002-2003

1) Soit S une tribu sur ? Montrer que ?n est S-T({01}) mesurable si et traits du cours à votre choix à l'exclusion de tout corrigé d'exercice

Int ´egration et probabilit´esENS Paris, 2013-2014 TD2- Tribus, mesures -C orrig´e0 - Exercice du TD 1 `a pr´eparerExercice 0.Soitf:E!R+[f+1gune fon?ion. Pour toutn1et touti2 f0;1;:::;n2n1gon note A n=fx2E;f(x)ng; Bn;i=fx2E;i2nf(x)<(i+1)2n)g; et pour un entiern1on posefn=n2n1X i=0i2 n?Bn;i+n?An:Soitx2Efix´e.?ue dire de la suitefn(x) lorsque n! 1?

Corrig

´e :

La suitefn(x) tend en croissant versf(x). En effet, six2Bn;i, on v´erifie que f n+1(x) =8 >><>>:f n(x) si2i2 n+1f(x)<2i+12 n+1 f n(x)+12 n+1si2i+12 n+1f(x)<2(i+1)2 n+1; et que six2Analors f n+1(x) =8 >><>>:n+1sif(x)n+1 n2n+1+l2 n+1sin2n+1+l2 n+1f(x)Il en d

´ecoule que la suitfn(x) e?croissante.

D"autre part, par con?ru?ion, six2 ff < n0galors0f(x)fn(x)2npournn0. On en d´eduit quefn(x)!f(x) lorsquex2 ff <+1g=[k1ff < kg. D"autre part, six2 ff= +1g=\k1ffkg, alorsfn(x) =n!+1. Remarque.SifM, alors0f(x)fn(x)2npournMet la convergence e?uniforme.

1 - Petites questions1) E?-ce que l"ensemble des ouverts deRe?une tribu?

2) Si on notela mesure de Lebesgue, rappeler pourquoi(fxg)=0pour toutx2R. Alors :

(R)=0BBBBB@[ x2Rfxg1CCCCCA=X x2R (fxg)=X

x2R0=0:Pour des que?ions, demande de pr´ecisions ou explications,n"h´esitez pas`a m"envoyer un mail`a

igor.kortchemski@ens.fr , ou bien `a venir me voir au bureau V4. 1 O `u e?le probl`eme?

3) SiFetGsont deux tribus, e?-ce queF [Ge?toujours une tribu?

4) Si (an)n1et (bn)n1sont deux suites de nombres r´eels, a-t-on toujours

limsup n!1(an+bn) = limsup n!1an+limsup n!1bn?

Et si les deux suites sont born

´ees? Et sibnconverge?

Corrig

´e :

1) Non, car le compl´ementaire de]1;0[n"e?pas ouvert.

2) Non, pas toujours. Par exemple si, en notant

=f1;2;3g, on prendF=f;;f1g;f2;3g; getG= f;;f2g;f1;3g; g? En effet, on a alorsF [ G=f;;f1g;f2g;f2;3g;f1;3g; g, qui n"e?pas?able par union ( f1g[f2g3) On a(fx)g) = limn!1([x1=n;x+1=n]) =0. Par ailleurs l"´egalit´e(S x2Rfxg)=P x2R(fxg)n"e? pas v

´erifi´ee carRn"e?pas d´enombrable.

4) Ce n"e?pas toujours vrai (prendre par exemplean=bn=n). En revanche, le terme de gauche e?

inf

´erieur ou´egal au terme de droite lorsque les deux suites sont born´ees, et l"´egalit´e e?v´erifi´ee lorsque

b nconverge.

2 - MesuresExercice 1.(Lemme de Borel-Cantelli) (E;A; ) e?un espace mesur´e (e?une mesure positive) et que

(An)n1e?une suite d"´el´ements deA. On rappelle que l"on note liminf n!1An=[ n1\ knA k;limsup n!1An=\ n1[ knA k:

1.Mon trerque

liminfn!1An liminfn!1(An); et que si([n1An)<1, alors limsup n!1An! limsup n!1(An): ?u"e?-ce qui se passe si([n1An) =1?

2.(Lemme de Borel-Cantelli.)On suppose queP

n1(An)<1. Montrer que limsup n!1An! =0:

3.(Une application du lemme de Borel-Cantelli.)Soit" >0. Montrer que pour presque-toutx2[0;1]

(pour la mesure de Lebesgue), il n"exi?e qu"un nombre fini de rationnelsp=qavecpetqpremiers entre eux tels quexpq <1q 2+"; i:e:presque toutxe?"mal approchable par des rationnels`a l"ordre2+"".

Corrig

´e :

1.On remarque que, pour tout n0et pour toutkn,

BBBBBB@\

pnA p1

CCCCCCA(Ak):

Ainsi,

0BBBBB@\

knA k1

CCCCCAinfkn(Ak):(1)

Or la suite (\knAk)n0e?croissante. Le r´esultat s"obtient donc en passant`a la limite quand n!+1dans (1). De mˆeme, on a

0BBBBB@[

knA k1

CCCCCAsup

kn(Ak):(2) Or la suite ([knAk)n0e?d´ecroissante et([n0An)<+1. Le r´esultat s"obtient donc en passant

a la limite quandn!+1dans (2). On peut aussi utiliser le r´esultat pr´ec´edent et raisonner en

passant au compl ´ementaire. En effet, posonsF=[n0An. On a alors

Fnlimsup

n!1An= liminfn!1(FnAn): Donc,

Fnlimsup

n!1An! liminfn!1(FnAn); c"e?-`a-dire, (F) limsup n!1An! (F)limsup n!1(An):

Comme(F)<1, cela implique le r´esultat.

2.On a, pour tout n0,

0BBBBB@[

knA k1

CCCCCAX

kn(Ak):

Or(limsupk!1Ak)([knAk)pour toutn0etP

kn(Ak) e?le re?e d"une s´erie conver- gente et donc tend vers0quandn!+1. On obtient ainsi le r´esultat.

3.P ourtout q1, on note

A q= [0;1]\q p=0" pq 1q

2+";pq

+1q 2+"#

Ainsi,(Aq)2=q1+". Par cons´equent,

X q1(Aq)<+1: D"apr `es le lemme de Borel-Cantelli,(limsupq!1Aq) =0, or l"ensemble limsupq!1Aqcontient l"ensemble des r ´eels bien approchables par des rationnels`a l"ordre2+". Voir 3

Exercice2.(Mesure surZ) Exi?e-t-il une mesure de masse finie sur (Z;P(Z)) invariante par translation?

Corrig

´e :

Oui, mais seulement la mesure nulle. En effet, soitune mesure non nulle de masse finie sur (Z;P(Z)) invariante par translation. Commee?non nulle, il exi?en2Ztel quec:=(fng)>0. Par invariance par translation, il vient(fkg)=cpour toutk2Z. Mais alors, commeZe?d´enombrable : (Z)=([k2Zfkg)=X k2Z (fkg)=X k2Zc=1; ce qui contredit le fait quee?de masse finie.

3 - TribusExercice 3.(Op´erations sur les tribus)

1.Soit Fune tribu de

etBun´el´ement deF. Montrer que l"ensembleFB:=fA\B;A2 F ge?une tribu deB.

2.Soit ( XY;F) un espace-produit mesur´e et:XY!Xla proje?ion canonique. L"ensemble

X:=f(F);F2 F ge?-il une tribu?

3.On consid `ere surN, pour chaquen0, la tribuFn=(f0g;f1g;:::;fng). Montrer que la suite de

tribus (Fn;n0) e?croissante mais queS n0Fnn"e?pas une tribu. Indication :On pourra raisonner par l"absurde et utiliser le sous-ensemble2N.

4.( Partiel2010) Soit (E;A) un espace mesurable. SoitCune famille de parties deE, et soitB2(C).

Alexandra dit : alors n

´ecessairement, il exi?e une famille d´enombrableD Ctelle queB2(D).

A-t-elle raison?

5.Soien tX;Ydeux ensembles etf:X!Yune application. SoitA P(Y). Alexandra dit : alors

n ´ecessairement,(f1(A)) =f1((A)). A-t-elle raison?

Corrig

´e :

1.- B=

\B2 FB, Soit C=B\D2 FBavecD2 F. AlorsDc2 FetCcB=B\Dcappartient`aFB:

Soit Cn=B\Dn2 FBavecDn2 F. AlorsS

nDn2 FetS nBn=B\S nDnappartient`aFB.

L"ensembleFBe?donc bien une tribu surB.

2.On consid `ere pourX=Y=f0;1gla tribuFengendr´e par l"´el´ement (0;0)2XY. Il e?clair que

F=f?;XY;f(0;0)g;XYnf(0;0)gg:

On v ´erifie queFX=f?;f0g;Xg, ce qui n"e?pas une tribu.

3.P osons

F=[ n2NF n; et supposons queFsoit une tribu. On a f2ng 2 F2n Fet2N=[ n0f2ng: Ainsi,2N2 Fi:e:il exi?en02Ntel que2N2 Fn0. Or, les seuls´el´ements de cardinal infini de F n0sont de la formeNnA, o`uAe?une partie def0;1;:::;n0g. On obtient donc une contradi?ion. 4

4.Alexandr aa r aison.En e ffet, soitG=fB2(C);9D Cd´enombrable tel queB2(D)g. Montrons

queGe?une tribu.

Il e?clair queE2 G.

SiA2 G, alors il exi?eD Cd´enombrable tel queA2(D), et doncAc2(D): on aAc2 G. Si (An) G, alors pour toutnil exi?eDn Cd´enombrable tel queAn2(Dn), et donc nAn2(D), o`uD:=[nDn Ce?d´enombrable (´etant une union d´enombrable d"ensembles d

´enombrables) : on a[nAn2 G.

En conclusion,Ge?une tribu.

OrC G, ce qui implique que(C)(G) =G (C), d"o`u le r´esultat.

5.C eciser arevu l orsd uTD 3.

Exercice 4.Prouver queB(R2) =B(R)

B(R).

Corrig

´e :

On fera cet exercice lors du TD3.

4 - DiversExercice 5.

1.Mon trerque pour tout >0, il exi?eOun ouvert dense deRde mesure (de Lebesgue)

(O):

2.En d ´eduire que pour tout >0, il exi?eFun ferm´e d"int´erieur vide tel que pour toutA2 B(R) :

(A\F)(A):

Corrig

´e :

1.Soit >0. NotonsQ=fqn;n1gles rationnels et posons :

O n1] qn2n1;qn+2n1[: AlorsOe?un ouvert deR, dense (car il contientQ). De plus, (O)X n1 (]qn2n1;qn+2n1[)=X n12 n < :

2.P osonsF=Oc. AlorsFe?un ferm´e deRd"int´erieur vide. De plus, pour toutA2 B(R), on a

(A)=(A\F)+(A\O)(A\F)(A\F)+:

Exercice 6.(Ensembles de Cantor)

Soit (dn;n0) une suite d"´el´ements de ]0;1[, et soitK0= [0;1]. On d´efinit une suite (Kn;n0) de la

fac¸on suivante : connaissantKn, qui e?une r´eunion d"intervalles ferm´es disjoints, on d´efinitKn+1en

retirant dans chacun des intervalles deKnun intervalle ouvert centr´e au centre de chaque intervalle, de

longueurdnfois celle de l"intervalle. On poseK=T n0Kn. 5

1.Mon trerque Ke?un compa?non d´enombrable d"int´erieur vide dont tous les points sont d"ac-

cumulation.

2.C alculerla mesure de Lebesgue de K.

3.On note K3l"ensemble de Cantor obtenu en posantdn=13

pour toutn. V´erifier que K 3=8 >><>>:X n1a n3 n; (an)2 f0;2gN9>>=>>; et qu"il e?mesure de Lebesgue nulle.

Corrig

quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1