[PDF] L3 Maths : Cours dIntégration (partie I) Exercices corrigés PDF

12.2 Exercices du chapitre 2 - 12.2.1 Tribus

Corrigé 10 (Tribu engendrée). Soit E un ensemble. 1. Montrer qu'une intersection quelconque de tribus sur E est une tribu sur E.

L3 Maths : Cours dIntégration (partie I) Exercices corrigés

Déterminer la tribu engendrée par C = {A}. Exercice 0.4 : Soient Ω et E deux ensembles et f : Ω −→ E une application et C une partie de. P(E)

Intégration et probabilités TD — Tribus mesures – Corrig´e

exercice e de montrer qu'il n'exie pas de tribu A infinie dénombrable. Soit (EA) un ... Donner une nouvelle démonration de queion de l'exercice . Corrigé :.

Théorie de la mesure et intégration Université de Genève Printemps

Dans cet exercice on souhaite montrer que la tribu borélienne BR de R est engendrée par Série 13 – Correction (corrigée le 27/05/2020). Exercice 1. Pour j ...

1 Tribus

Exercice 3. Entraînement QCM. Par quelles collections d'ensembles la tribu borélienne de R est-elle engendrée ? a) Les intervalles ]

Untitled

Exercice 4 Soit (X T ) un espace mesurable tel que la tribu T contient les singletons. Soit µ une mesure finie sur (X

Feuille dexercices III.

Il s'agit de la plus petite tribu contenant E c'est donc la tribu engendrée par E. (non corrigé

Annales Corrigées de lAnnée 2002-2003

corrigé d'exercice. Le barème n'est donné qu'à titre indicatif pour vous ... 23Attention ce n'est pas une sous-tribu de J car J n'est pas une tribu sur Ω.

TD4. Tribus. Échauffements Tribus engendrées Tribus et fonctions

c) Décrire et donner le cardinal de la tribu engendrée par une partition finie de E. d) Même question pour une partition infinie dénombrable. Exercice 4. Soit E

Corrigés dexercices

Corrigé 10 (Tribu engendrée). Soit E un ensemble. 1. Montrer qu'une intersection quelconque de tribus sur E est une tribu sur E. ————————

[PDF] 122 Exercices du chapitre 2 - 1221 Tribus

Corrigé 10 (Tribu engendrée) Soit E un ensemble 1 Montrer qu'une intersection quelconque de tribus sur E est une tribu sur E

[PDF] L3 Maths : Cours dIntégration (partie I) Exercices corrigés

Exercice 0 2 [Application immédiate et résultat utile ] Soient ? et E deux ensembles et f : ? ?? E une application 1) si B est une tribu de E on note :

[PDF] 1 Tribus

tribu (A est constitué de toutes les réunions possibles d'ensembles Ai ) Correction de l'exercice 1 On rappelle qu'une tribu sur R est un ensemble de

[PDF] Intégration et probabilités TD — Tribus mesures – Corrig´e

Donner une nouvelle démonration de queion de l'exercice Corrigé : On remarque que x ? ?x pour tout x ? E donc ?

[PDF] Tribus et Mesures

Exercice 3 Entraînement QCM Par quelles collections d'ensembles la tribu borélienne de R est-elle engendrée ? a) Les intervalles ]

[PDF] PDF

Exercice 8 Soit f : X ? Y une fonction entre deux ensembles (a) Soit B une tribu sur Y Monter que l'ensemble f?1[B] := {f?1(B)

[PDF] Théorie de la mesure et intégration Université de Genève Printemps

Série 1 Correction (corrigée le 26/02/2020) Exercice 1 Soit X un ensemble et A?P(X) un ensemble de parties de X (1) Montrer que si A est une tribu

[PDF] Intégration Exercices et Corrigés - CEREMADE Dauphine

c La tribu et la topologie engendrées par une partition dénombrable A de E sont toutes deux l'ensemble des unions de parties A ? A (cf exercice 3)

[PDF] Feuille 2 - mathuniv-paris13fr

Tribus Exercice 2 Soit X un ensemble et Y un sous-ensemble de X Montrer que si A est une tribu sur X alors ˜A est une tribu sur Y Décrire

[PDF] Annales Corrigées de lAnnée 2002-2003

1) Soit S une tribu sur ? Montrer que ?n est S-T({01}) mesurable si et traits du cours à votre choix à l'exclusion de tout corrigé d'exercice

L3 Maths : Cours d'Integration (partie I)

Exercices corriges

NoureddineIgbida12012-2013

1. Institut de recherche XLIM, UMR-CNRS 6172, Faculte des Sciences et Techniques, Universite de

Limoges 123, Avenue Albert Thomas 87060 Limoges, France. Email : noureddine.igbida@unilim.fr

Table des matieres

0.1 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

0.2 Corrige des exercices : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40.1 Exercices

Exercice 0.1[ resultat reutilise ].

Soit un ensemble et (An)n2INune suite d'elements deP( ).On pose : B n=An\(n1[ p=0A p)CavecB0=A0

Montrer que :

n2INA n=[ n2INB n et que lesBisont disjoints deux a deux. (Cela signie que toute reunion denombrable peut s'ecrire comme reunion denombrable de parties deux a deux disjointes. On remarquera aussi que si lesAnsont des elements d'une tribuT, alors les B nappartiennent aussi a cette tribu.) Exercice 0.2[Application immediate et resultat utile ].

Soient

etEdeux ensembles etf: !Eune application.

1) siBest une tribu deE, on note :

T=f1(B) =ff1(B);B2 Bg

Montrer queTest une tribu sur

( appelee image reciproque de la tribuB).

Dans le cas ou

est une partie deEetfdenie parf(x) =xpour toutx, on a :T=f TB;B2

Bget on dit queTest la tribu de

induite par la tribuBdeE.

2) Exemple :

=f1;0;1;2g; E=f0;1;4g;B=P(E); f:x7!x2. 1

Cours d'Int

egration N. Igbida2

Determinerf1(P(E)).

3) SiTest une tribu de

, alorsf(T) =ff(B);B2 T gn'est en general pas une tribu deE.

Donner un exemple.

Exercice 0.3[Application immediate et resultat utile ] : Soit un ensemble etA2 P( ). Determiner la tribu engendree parC=fAg.

Exercice 0.4: Soient

etEdeux ensembles etf: !Eune application etCune partie de P(E). On veut montrer que l'image reciproque de la tribu engendree parCest la tribuTengendree par l'image reciproque deC.

1) Montrer que :

1(C)f1((C)) etT=(f1(C))f1((C))

2) On noteT0=fBE;f1(B)2 T g. Montrer queT0est une tribu deE, contenantC.

3) En deduire quef1((C)) est inclus dansf1(T0) et conclure .

4) Application :

=f1;0;1g; E=f0;1;2;3;4g, etf:x7!x2. Determinerf1(P(E)).

Exercice 0.5.

Soitune mesure nie sur (

;T).

1) Montrer que siAetBappartiennent aTalors :

(A[B) =(A) +(B)(A\B)

2) SiA,B,Csont dansTalors :

(A[B[C) =(A) +(B) +(C)(A\B)(A\C)(B\C) +(A\B\C)

Exercice 0.6.

Soit (

;T) un espace mesurable , (i)1in,nmesures sur ( ;T) et (ai)1in,nreels positifs.

PourAdansTon pose :

(A) =n X i=1a ii(A)

Montrer queest une mesure sur (

;T) notee=n X i=0a ii.

Exercice 0.7.

Soit (

;T) un espace mesurable, (i)i2IN, une suite de mesures sur ( ;T). PourAdansTon pose : (A) =X i2IN i(A)

1) Montrer queest une mesure sur (

;T), notee=X i2IN i.

2) On suppose que lesnsont des probabilites (c-a -d.n(

) = 1 ) et on considere une suite (pn)n2INde reels positifs tels queX n2INp n= 1.

Cours d'Int

egration N. Igbida3

Verier que=X

n2INp nnest une probabilite sur ( ;T).

3) Verier que la mesure discrete denie par :

=X n2INp nxnouxnest la mesure de Dirac au pointxn est telle que :

8A2 T(A) =X

n2INp nI1A(xn)

Exercice 0.8([Application immediate].

On considere les mesures suivantes sur (IR;B(IR)) : 1=X p2IN p2=X p2INp p3= oupest la mesure de Dirac enpetest la mesure de Lebesgue. Calculer pour chacune de ces mesures les mesures des ensembles suivants : pourn2IN; An= [n;n+ 1 + 1=n2]; Cn=n k=1A k; Dn=n k=1A k C=[ k2INA kD=\ k2INA k

Exercice 0.9.

On considere l'espace mesure (IR;B(IR);), (, mesure de Lebesgue); pourA2 P(IR) eta2IR on note :A+a=fx+atels quex2Ag. Soita2IR xe.

1) Montrer que :

T a=fA2 P(IR) tel queA+a2 B(IR)g est une tribu sur IR.

2) montrer queB(IR) Tapuis queB(IR) =Ta.

3) PourA2 B(IR) on pose(A) =(A+a) . Montrer queest une mesure sur (IR;B(IR)).

4) En deduire que pour toutA2 B(IR) , on a :(A+a) =(A) (invariance de la mesure de

Lebesgue par translation.

Cours d'Int

egration N. Igbida4

0.2 Corrige des exercices :

Exercice 0.1.

Pourn2IN on a :

B n=An\(n1[ p=0A p)C=An(n1[ p=0A p) on a :BnAn, d'ou[ n2INB n[ n2INA n

Soitx2[

n2INA n. Il existen02IN tel quex2An0. Soitn1le plus petit entier tel quex2An1, alors : x =2Appourp < n1, doncx2An1(n 11[ p=0A p) =Bn1[ n2INB n ainsi : n2INA n[ n2INB net[ n2INA n=[ n2INB n

Verions enn queBnTBm=;sim6=n.

x2Bn\B m()8 :x2Anetx =2AppourOpn1 et x2Ametx =2AppourOpm1 Si par exemplem < nalorsmn1 : il y a contradiction; lesBisont bien disjoints.

Exercice 0.2.

1)T=f1(B) =ff1(B) ;B2 Bg. Verions queTest une tribu :

=f1(E) etE2 Bdonc 2 T. * soitA2 Talors il existeB2 Btel queA=f1(B) , on a alorsAC=f1(BC) avecBC2 B, carB2 B; on a doncAC2 T. * soit (An)n2INune suite d'elements deT. Pour toutn2IN on aAn=f1(Bn) avecBn2 B.

Alors :

n2INA n=[ n2INf

1(Bn) =f1([

n2INB n)2 T

2) Exemple :P(E) admet 8 elements. Les elements de la tribuf1(P(E)) sont :f1(;) =;,

1(f0g) =f0g,f1(f1g) =f1;1g,f1(f4g) =f2g,f1(f0;1g) =f0;1;1g, etc. On verie que

l'on obtient dans ce cas 8 elements distincts.

3) Exemple :

=f0;1;2;3gE=f0;1;2getf:8 >:0!0 1!1 2!2 3!0

T=(f0;1g) =f;;

;f0;1g;f2;3gg f(T) =f;;E;f0;1g;f2;0ggmaisf0;1gC=f2g=2f(T)

Cours d'Int

egration N. Igbida5

Exercice 0.3.

On a :f;;

;A;ACg (fAg) . L'inclusion inverse decoule du fait queT=f;; ;A;ACgest bien une tribu : *Tcontient et le complementaire de chacun de ces elements. * Soit (An)n2INune suite d'elements deT; la reunion desAnest egale a une reunion nie d'elements distincts deT; or toute reunion de deux elements deTest dansT( faire la liste ...) donc toute reunion nie d'elements distincts deTest dansT.

Exercice 0.4.

1)C (C) doncf1(C)f1((C)); orf1((C)) est une tribu comme image reciproque d'une

tribu. Et donc(f1(C))f1((C))

2) soitT=(f1(C)) etT0=fBE;f1(B)2 T g. Montrons queT' est une tribu deE.

*E2 T0carf1(E) =

2 Tqui est une tribu de

* siB2 T0alorsf1(B)2 Tdonc (f1(B))C=f1(BC)2 T. On a doncBC2 T0. * soit (Bn)n2INune suite d'elements deT0. On a pour toutn2IN ,f1(Bn)2 Tdonc[ n2INf

1(Bn)2 T; d'ouf1([

n2INB n) =[ n2INf

1(Bn)2 T. On a donc[

n2INB n2 T0. SiA2 C, on a par denition deT,f1(A)2 Tdonc, par denition deT0, on aA2 T0.T0est donc une tribu contenantC

3) on a donc(C) T0, et par suitef1((C))f1(T0) T.

4) Application :P(E) est engendre parff0g;f1g;f2g;f3g;f4gg, doncf1(P(E) est engendre par

la famille formee des elements :A=f1(f0g) =f0g,f1(f1g) =f1;1g=AC, f

1(f2g) =f1(f3g) =f1(f4g) =;. Doncf1(P(E) est engendre parAet est la tribu :

fA;AC;;; g.

Exercice 0.5.

Soitune mesure nie sur (

;T).

1) On a :ASB= (AB)S(BA)S(ATB) ( faire un dessin ). On en deduit

(A[B) =(AB) +(BA) +(A\B) On deduit deA= (AB)S(ATB) que l'on a(A) =(AB) +(ATB) , on a aussi(B) = (BA) +(ATB).La mesure etant nie on peut soustraire, d'ou le resultat.

2) formerASBSCcomme reunion d'ensembles deux a deux disjoints, en s'aidant d'un dessin

eventuellement et proceder comme ci-dessus.

Exercice 0.6.

* on a evidemment(;) = 0 * Soit (An)n2INune suite d'elements deT, deux a deux disjoints . On a : k2INA k) =n X i=1a ii([ k2INA k) n X i=1a iX k2IN i(Ak) X k2INn X i=1a ii(Ak) =X k2IN(Ak)

Cours d'Int

egration N. Igbida6 ( propriete utilisee : Xu n+vn=Xu n+Xv n)

Exercice 0.7.

1) Montrons que=X

n2IN nest une mesure : * On a evidemment(;) = 0 * Soit (Ai)i2IN, une famille d'elements deTdeux a deux disjoints. On a : iA i) =X n2IN n([ iA i) =X n2IN(X i2IN n(Ai))-additivite desn X i2IN(X n2IN n(Ai)) interversion de l' ordre de sommation X i2IN(Ai)

2) Verions que si lesnsont des probabilites et si (pn)n2INest une suite de reels positifs de

\somme" 1 , alors=X n2INp nnest une probabilite.D'apres l'exercice 6 et ce qui precede, on sait queest une mesure. Il reste a constater que l'on a bien : ) =X np nn( ) =X np n= 1

3) Cas des mesures discretes : (xn) est une suite d'elements de

et (pn) une suite de reels positifs; xnest la mesure de Dirac enxn. Alors :

8A2 P(

)(A) =Xp nxn(A) =Xp nI1A(xn)

Exercice 0.8.

1= [1;3] , doncA1contient les trois entiers 1;2;3 :

1(A1) =X

p2IN p(A1) =1(A1) +2(A1) +3(A1) = 3 carp(A1) = 0 pourp >3. De m^eme ,2(A1) = 1:1+2:1+3:1 = 6. Pourn >1,Ancontient les deux entiersnetn+ 1, donc,1(An) = 2 et2(An) =n:1 + (n+ 1):1 = 2n+ 1. Enn pour toutnon a : (An) = 1 + 1=n2.Les autres calculs se font de maniere analogue. (Voir queCn= [1;n+ 1 + 1=n2] ,

C= [1;+1]D=Dn=;pourn >3.

Exercice 0.9.

1)- Montrons queTa=fA2 P(IR)= A+a2 B(IR)gest une tribu de IR :

IR +a= IR2 B(IR) donc IR2 Ta

SoitA2 Ta. On aA+a2 B(IR)

C+a=fx+a = x2ACg=fy = ya =2Ag

=fy = y =2A+ag= (A+a)C2 B(IR)

DoncAC2 Ta.

Cours d'Int

egration N. Igbida7 Soit (An)n2INune suite d'elements deTa; par hypothese,An+a2 B(IR) . n2INA n) +a=[ n2IN(An+a)2 B(IR) Donc nA n2 Ta.

2) Montrons queB(IR) Ta. Soitx2IR ety2IR .

]x;y] +a=]x+a;y+a]2 B(IR) donc ]x;y]2 Ta DoncTacontientB(IR) , plus petite tribu contenant les intervalles ]x;y]. De la m^eme maniere , on aB(IR) Ta. Soit alorsA2 Taon aA+a2 B(IR) doncA+a2 Ta , donc (A+a) + (a) =A2 B(IR) . Ceci prouve queTa B(IR)

3)- PourA2 B(IR) , on pose(A) =(A+a) . Montrons queest une mesure sur (IR;B(IR)) :

(;) =(;) = 0 Soit (An)n2INune suite d'elements deB(IR) deux a deux disjoints. Alors nA n) +a=[ n(An+a) et les (An+a) sont encore deux a deux disjoints. On a donc : nA n) =(([ nA n) +a) =([ n(An+a)) X n(An+a) =X n(An)

4)- Soitx2IR ety2IR . On a ]x;y] +a=]x+a;y+a] .D'ou :

(]x;y]) =(]x+a;y+a])quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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L3 Maths : Cours d'Integration (partie I)

Exercices corriges

NoureddineIgbida12012-2013

1. Institut de recherche XLIM, UMR-CNRS 6172, Faculte des Sciences et Techniques, Universite de

Table des matieres

0.1 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

0.2 Corrige des exercices : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40.1 Exercices

Exercice 0.1[ resultat reutilise ].

Montrer que :

Soient

1) siBest une tribu deE, on note :

T=f1(B) =ff1(B);B2 Bg

Montrer queTest une tribu sur

Dans le cas ou

Bget on dit queTest la tribu de

2) Exemple :

Cours d'Int

Determinerf1(P(E)).

3) SiTest une tribu de

Donner un exemple.

Exercice 0.4: Soient

1) Montrer que :

1(C)f1((C)) etT=(f1(C))f1((C))

2) On noteT0=fBE;f1(B)2 T g. Montrer queT0est une tribu deE, contenantC.

3) En deduire quef1((C)) est inclus dansf1(T0) et conclure .

4) Application :

Exercice 0.5.

Soitune mesure nie sur (

1) Montrer que siAetBappartiennent aTalors :

2) SiA,B,Csont dansTalors :

Exercice 0.6.

Soit (

PourAdansTon pose :

Montrer queest une mesure sur (

Exercice 0.7.

Soit (

1) Montrer queest une mesure sur (

2) On suppose que lesnsont des probabilites (c-a -d.n(

Cours d'Int

Verier que=X

3) Verier que la mesure discrete denie par :

8A2 T(A) =X

Exercice 0.8([Application immediate].

Exercice 0.9.

1) Montrer que :

2) montrer queB(IR) Tapuis queB(IR) =Ta.

3) PourA2 B(IR) on pose(A) =(A+a) . Montrer queest une mesure sur (IR;B(IR)).

4) En deduire que pour toutA2 B(IR) , on a :(A+a) =(A) (invariance de la mesure de

Lebesgue par translation.

Cours d'Int

0.2 Corrige des exercices :

Exercice 0.1.

Pourn2IN on a :

Soitx2[

Verions enn queBnTBm=;sim6=n.

Exercice 0.2.

1)T=f1(B) =ff1(B) ;B2 Bg. Verions queTest une tribu :

Alors :

1(Bn) =f1([

2) Exemple :P(E) admet 8 elements. Les elements de la tribuf1(P(E)) sont :f1(;) =;,

1(f0g) =f0g,f1(f1g) =f1;1g,f1(f4g) =f2g,f1(f0;1g) =f0;1;1g, etc. On verie que

3) Exemple :

T=(f0;1g) =f;;

Cours d'Int

Exercice 0.3.

On a :f;;

Exercice 0.4.

1)C (C) doncf1(C)f1((C)); orf1((C)) est une tribu comme image reciproque d'une

2) soitT=(f1(C)) etT0=fBE;f1(B)2 T g. Montrons queT' est une tribu deE.

2 Tqui est une tribu de

1(Bn)2 T; d'ouf1([

1(Bn)2 T. On a donc[

3) on a donc(C) T0, et par suitef1((C))f1(T0) T.

4) Application :P(E) est engendre parff0g;f1g;f2g;f3g;f4gg, doncf1(P(E) est engendre par

1(f2g) =f1(f3g) =f1(f4g) =;. Doncf1(P(E) est engendre parAet est la tribu :

Exercice 0.5.

Soitune mesure nie sur (

1) On a :ASB= (AB)S(BA)S(ATB) ( faire un dessin ). On en deduit

2) formerASBSCcomme reunion d'ensembles deux a deux disjoints, en s'aidant d'un dessin