[PDF] Intégration Exercices et Corrigés

12.2 Exercices du chapitre 2 - 12.2.1 Tribus

Corrigé 10 (Tribu engendrée). Soit E un ensemble. 1. Montrer qu'une intersection quelconque de tribus sur E est une tribu sur E.

L3 Maths : Cours dIntégration (partie I) Exercices corrigés

Déterminer la tribu engendrée par C = {A}. Exercice 0.4 : Soient Ω et E deux ensembles et f : Ω −→ E une application et C une partie de. P(E)

Intégration et probabilités TD — Tribus mesures – Corrig´e

exercice e de montrer qu'il n'exie pas de tribu A infinie dénombrable. Soit (EA) un ... Donner une nouvelle démonration de queion de l'exercice . Corrigé :.

Théorie de la mesure et intégration Université de Genève Printemps

Dans cet exercice on souhaite montrer que la tribu borélienne BR de R est engendrée par Série 13 – Correction (corrigée le 27/05/2020). Exercice 1. Pour j ...

1 Tribus

Exercice 3. Entraînement QCM. Par quelles collections d'ensembles la tribu borélienne de R est-elle engendrée ? a) Les intervalles ]

Untitled

Exercice 4 Soit (X T ) un espace mesurable tel que la tribu T contient les singletons. Soit µ une mesure finie sur (X

Feuille dexercices III.

Il s'agit de la plus petite tribu contenant E c'est donc la tribu engendrée par E. (non corrigé

Annales Corrigées de lAnnée 2002-2003

corrigé d'exercice. Le barème n'est donné qu'à titre indicatif pour vous ... 23Attention ce n'est pas une sous-tribu de J car J n'est pas une tribu sur Ω.

TD4. Tribus. Échauffements Tribus engendrées Tribus et fonctions

c) Décrire et donner le cardinal de la tribu engendrée par une partition finie de E. d) Même question pour une partition infinie dénombrable. Exercice 4. Soit E

Corrigés dexercices

Corrigé 10 (Tribu engendrée). Soit E un ensemble. 1. Montrer qu'une intersection quelconque de tribus sur E est une tribu sur E. ————————

[PDF] 122 Exercices du chapitre 2 - 1221 Tribus

Corrigé 10 (Tribu engendrée) Soit E un ensemble 1 Montrer qu'une intersection quelconque de tribus sur E est une tribu sur E

[PDF] L3 Maths : Cours dIntégration (partie I) Exercices corrigés

Exercice 0 2 [Application immédiate et résultat utile ] Soient ? et E deux ensembles et f : ? ?? E une application 1) si B est une tribu de E on note :

[PDF] 1 Tribus

tribu (A est constitué de toutes les réunions possibles d'ensembles Ai ) Correction de l'exercice 1 On rappelle qu'une tribu sur R est un ensemble de

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Donner une nouvelle démonration de queion de l'exercice Corrigé : On remarque que x ? ?x pour tout x ? E donc ?

[PDF] Tribus et Mesures

Exercice 3 Entraînement QCM Par quelles collections d'ensembles la tribu borélienne de R est-elle engendrée ? a) Les intervalles ]

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Exercice 8 Soit f : X ? Y une fonction entre deux ensembles (a) Soit B une tribu sur Y Monter que l'ensemble f?1[B] := {f?1(B)

[PDF] Théorie de la mesure et intégration Université de Genève Printemps

Série 1 Correction (corrigée le 26/02/2020) Exercice 1 Soit X un ensemble et A?P(X) un ensemble de parties de X (1) Montrer que si A est une tribu

[PDF] Intégration Exercices et Corrigés - CEREMADE Dauphine

c La tribu et la topologie engendrées par une partition dénombrable A de E sont toutes deux l'ensemble des unions de parties A ? A (cf exercice 3)

[PDF] Feuille 2 - mathuniv-paris13fr

Tribus Exercice 2 Soit X un ensemble et Y un sous-ensemble de X Montrer que si A est une tribu sur X alors ˜A est une tribu sur Y Décrire

[PDF] Annales Corrigées de lAnnée 2002-2003

1) Soit S une tribu sur ? Montrer que ?n est S-T({01}) mesurable si et traits du cours à votre choix à l'exclusion de tout corrigé d'exercice

Universit´e Pierre et Marie Curie2004-2005

Licence de math

ematiques T el´e-enseignement Int egration

Exercices et Corrig

es en compl´ement du Cours de Gilles Pag`es

Jacques F´ejoz

fejoz@math.jussieu.fr Il est n´ecessaire de chercher longtemps soi-mˆeme les exercices, avant de s"aider du corrig´e. Je vous encourage `a choisir unexercice par chapitre, parmi ceux qui ne sont pas les plus ´el´ementaires, `a r´ediger sa solution et `a m"envoyer votre travail pour que je le cor- rige.Adopter une r´edaction concise et v´erifier scrupuleusement ses d´emonstrations: ceux qui suivront ces deux conseils seront r´ecompens´es.

Table des mati`eres

Chapitre 1. Int´egrale de Riemann. Tribus. Mesures 2

1. Rappels tr`es succints surl"int´egrale de Riemann 2

2. Exemples de limites de sous-ensembles 4

3. Exemples ´el´ementaires de tribus 5

4. Tribus et partitions6

5. Tribus et topologies8

9. Exemples d"applications mesurables 9

10. Tribu image r´eciproque 10

11. Tribu image directe11

13. Partitions, extractions et mesurabilit´e 12

15. Mesure invariante par une application * 12

16. Le th´eor`eme de r´ecurrence de Poincar´e 14

17. Entropie d"une partition 16

18. Pourquoi la tribu bor´elienne ? 17

20. Une mesure diffuse purement atomique 18

24. L"ensemble de Cantor * 19

Chapitre 2. L"int´egration par rapport `a une mesure 22

1. Exemples ´el´ementaires 22

2. Un exemple bˆete23

3. In´egalit´e de Fatou stricte 25

4. Un crit`ere d"int´egrabilit´e 25

5. Une application du th´eor`eme de convergence monotone 27

6. Une application du th´eor`eme de convergence domin´ee 28

7. Int´egration par rapport `a une mesure image 28

8. Centre de masse31

9. Noyaux probabilistes32

Chapitre 3. Interversion de limites et d"int´egrales 36

1. Int´egrales et primitives 36

2. Passages `a la limite dans une int´egrale 38

3. Interversions d"une somme de s´erie et d"une int´egrale 39

4. D´erivation sous le signe somme 41

5. Calcul d"un ´equivalent par la m´ethode de Laplace 42

TABLE DES MATI`ERES3

6. Formule de Stirling par la m´ethode de Laplace 43

8. Partie finie de Hadamard 45

9. D´erivation sous le signe somme - un cas pathologique simple 47

11. Des questions de sommabilit´e 48

12. Le th´eor`eme ergodique de Birkhoff (1931) 50

13. In´egalit´e de Jensen et entropie d"une partition 54

Chapitre 4. Produits de mesures 57

1. Questions ´el´ementaires 57

2. Carr´e de la mesure de comptage 57

3. Un contre-exemple au th´eor`eme de Fubini 58

4. Mesure d"un graphe58

5. Applications du th´eor`eme de Fubini 59

6. Calculs de volumes de solides 63

7. Int´egrale curviligne65

8. Int´egrale de surface67

10. Action lagrangienne et g´eod´esiques 69

11. Calcul d"une int´egrale multiple 73

12. Propri´et´es ´el´ementaires des fonctions Γ etBet application `a une formule sommatoire

13. Variables al´eatoires ind´ependantes * 77

14. Exemples de produits de convolution 79

15. Convol´ee de probabilit´es de Poisson * 80

Chapitre 5. Les espaces de fonctions int´egrables 82

1. Application de l"in´egalit´e de Cauchy-Schwarz 82

2. Convergence simple et convergence dansLp82

3. NormesLp83

4. S´eries de Fourier dansL2* 84

5. Esp´erance conditionnelle et th´eor`eme ergodique de Birkhoff * 88

Chapitre 6. La transform´ee de Fourier 92

1. Calculs et propri´et´es ´el´ementaires 92

2. R´egularit´e de la transform´ee de Fourier 93

4. Non surjectivit´e de la transformation de Fourier 94

5.´Equation de propagation 95

6.´Equation de diffusion de la chaleur 96

8.´Equivalent d"une int´egrale de Fresnel 100

9. Rotations irrationnelles et s´eries de Fourier 102

10. Th´eor`eme central limite 103

CHAPITRE 1

Int´egrale de Riemann. Tribus. Mesures

Sommaire

1. Rappels tr`es succints surl"int´egrale de Riemann 2

2. Exemples de limites de sous-ensembles4

3. Exemples ´el´ementaires de tribus5

4. Tribus et partitions6

5. Tribus et topologies8

9. Exemples d"applications mesurables9

10. Tribu image r´eciproque10

11. Tribu image directe11

13. Partitions, extractions et mesurabilit´e 12

15. Mesure invariante par une application * 12

16. Le th´eor`eme de r´ecurrence de Poincar´e 14

17. Entropie d"une partition16

18. Pourquoi la tribu bor´elienne ?17

20. Une mesure diffuse purement atomique 18

24. L"ensemble de Cantor *19

1. Rappels tr`es succints surl"int´egrale de Riemann.Soient

a < bdeux r´eels etEun espace de Banach r´eel. NotonsBl"espace des fonctions born´ees deIdansE, muni de la norme?f?∞= sup t?I?f(t)?. Notons aussiEle sous-espace deBdes fonctions en escalier. a.Montrer que l"ensemble des subdivisions deIest muni d"une re- lation d"ordre naturelle. Siαetβsont deux subdivisions deI, on noteraα?βleur borne inf´erieure pour cette relation d"ordre. b.Rappeler la d´efinition de l"int´egrale de Riemann d"une fonction en escalierf?E. c.Interpr´etercette d´efinition g´eom´etriquementdans le cas o`uE=R. d.Montrer que l"application ainsi d´efinieI= (E,?·?∞)→(E,?·?) est lin´eaire et uniform´ement continue. NotonsRl"espace desfonctions r´egl´eesdeIdansE; par d´efinition, c"est l"adh´erence deEdans (B,??∞). e.Montrer qu"il existe un unique prolongementcontinu de l"application I`aR. 4

1. INT´EGRALE DE RIEMANN. TRIBUS. MESURES 5

NotonsE(I,R) l"espace des fonctions en escalier deIdansR.

Quelle que soitf?B, notons

N(f) = infI(f),I(f) =?

?b a p(t)dt, p?ˆE(f)? f.Montrer queNd´efinit une semi-norme surB. NotonsAl"espace desfonctions Riemann-int´egrablesdeIdans E; par d´efinition, c"ets l"adh´erence deEdansBpour la topologie deN. g.Montrer qu"il existe un unique prolongementcontinu de l"application I`aA.

Correction.

a.Une subdivision deIs"identifie `a une partie finie de l"int´erieur ]a,b[ deI. Alors l"ensemble

des subdivisions est muni de la relation d"ordre partiel de l"inclusion, et la borne inf´erieure de

deux subdivisions est simplement leur r´eunion. b.Soitαune subdivision adapt´ee `af. Notonsα={α1< ... < αn},α0=aetαn+1=b. La fonctionfest de la forme f=? j1]αj,αj+1[+? j1{αj}, o`ucj,dj?Eet o`u, pour toute partieAdeI,1A:t?→1 sit?Aet 0 sit /?A, d´enote la fonction indicatrice deA. Par d´efinition, l"int´egrale de Riemann defest le vecteur b a f(t)dt=?

En prenant une autre subdivisionβadapt´ee `afet en consid´erant la subdivisionα?βon voit

que cette d´efinition ne d´epend pas de la subdivision choisie.

c.Dans le cas o`uE=R, le r´eel (αj+1-αj)cjest l"aire alg´ebrique du rectangle bord´e par l"axe

des abscisses et le graphe de la restriction def`a l"intervalle ]αj,αj+1[ (compt´ee n´egativement si

c j<0). Donc?b af(t)dtest l"aire alg´ebrique de la r´egion du plan d´elimit´ee parl"axe des abscisses et le graphe def.

d.Soientf,g?Eetλ,μ?R. Soientαune subdivision adapt´ee `af,βune subdivision adapt´ee

`ag, etγ=α?β. En utilisant la formule pr´ec´edente avec la subdivisionγon voit que l"on a

I(λf+μg) =λI(f) +μI(g).

De plus, avec les notations de la question pr´ec´edente, on a b a f(t)dt????? ce qui montre queI:E→Best lipschizienne, donc uniform´ement continue. e.Supposons que˜Isoit un prolongement continu deI`aR. Soitfune fonction r´egl´ee.

Par d´efinition, il existe une suite (φn) deEqui converge versf. En particulier, (φn) est de

Cauchy. CommeIest uniform´ement continue, (I(φn)) aussi est de Cauchy. Comme cette derni`ere est une suite r´eelle et commeRest complet, (I(φn)) converge. Comme˜Iest continu, ˜I(f) = limnI(φn). Ceci montre que le prolongement est unique.

1. INT´EGRALE DE RIEMANN. TRIBUS. MESURES 6

En prenant une seconde suite (ψn) de fonctions en escalier tendant versf, on voit que la

limite deI(ψn) co¨ıncide forc´ement avec celle deI(φn), parce queφn-ψnconverge vers 0?E,

dont l"int´egrale au sens deIest nulle. Donc c"est une semi-norme. (Le seul axiome qui manque pour enfaire une norme est l"axiome de s´eparation.) g.L"applicationI: (E,N)→(E,?·?) est uniform´ement continue, et se prolonge donc comme pr´ec´edemment en une fonction continue d´efinie sur l"adh´erenceAdeE.

2. Exemples de limites de sous-ensembles.

a.D´eterminer la limite des suites (An)n≥1et (A?n)n≥1de parties deR d´efinies par A n=? -1 n,1? etA?n=? -1n,1? b.Donner un exemple de suite non constante de parties deRdont la limite est ]0,1]. c.D´eterminer les limites sup´erieure et inf´erieure de la suite (Bn)n≥1 de parties deRd´efinie par B

2n-1=?

-2-1 n,1? etB2n=? -1,2 +1n2? d.Existe-t-il une suite (Cn)n≥1de parties deRtelle que limsup nCn= [-1,2] et liminfnCn= [-2,1] ? Soient (an)n?Net (bn)n?Ndeux suites de r´eels qui convergent re- spectivement vers-1 et 1. e.Trouver la condition sur ces deux suites pour que lim n[an,bn] = [-1,1[. f.Est-il possible que limn[an,bn] n"existe pas ?

Correction.

a.Les suites (An) et (A?n) sont d´ecroissantes. Donc elles ont une limite. Six?[0,1], alorsxappartient `aAnet `aA?npour toutn≥1. Donc [0,1]?limnAnet [0,1]?limnA?n. R´eciproquement, six /?[0,1], alors il existe un rangN`a partir duquelx /?An etx /?A?n. Donc lim n→+∞An= limn→+∞A?n= [0,1]. b.Avec le mˆeme type d"arguments qu"`a la question pr´ec´edente, on voit que lim n→+∞? 1 n,1? =]0,1].

1. INT´EGRALE DE RIEMANN. TRIBUS. MESURES 7

c.Six?[-2,1], alorsxappartient `aBnpour une infinit´e de valeurs de l"indicen(en l"occurence, toutes les valeurs paires≥2). Il en est de mˆeme six?[-1,2] (les valeurs impaires denjouant maintenant le rˆole clef). On a donc [-2,2]?limsupnBn. D"autre part, six /?[-2,2], on a x /?Bn`a partir d"un certain rang ; doncxappartient au plus `a un nombre fini de partiesBnet x /?limsupnBn. Par cons´equent, limsup n→+∞Bn= [-2,2]. Pour la limite inf´erieure desBn, on peut utiliser un argument similaire. Six?[-1,1], alors x?Bnpour toutn. On a donc [-1,1]?liminfnBn. D"autre part, six /?[-1,1], il existe une infinit´e de valeurs de l"indicenpour lesquellesx /?Bn. Doncx /?liminfnBn. Finalement, liminf n→+∞Bn= [-1,1]. d.Non : on a toujours liminfnBn?limsupnBntandis que [-2,1] n"est pas inclus dans [-1,2]. e.On a lim n[an,bn] = [-1,1[??limn1[an,bn]=1[-1,1[ f.Oui : par exemple, sian= 1 etbn= 1 + (-1)n/npourn≥1, alors en faisant de mˆeme qu"`a la question (a). on peut v´erifier que limsup n→+∞[an,bn] = [-1,1] et liminfn→+∞[an,bn] = [-1,1[ ; donc lim n[an,bn] n"existe pas, bien que limnanet limnbnexistent toutes deux.

3. Exemples ´el´ementaires de tribus.

a.Quelle est la tribu engendr´ee par l"ensemble des singletons d"un ensembleE? b.`A supposer que le cardinal deEest sup´erieur `a 2, quelle est la tribu engendr´ee par l"ensemble des paires (c"est-`a-diredes ensemblesquotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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Table des mati`eres

1. Rappels tr`es succints surl"int´egrale de Riemann 2

2. Exemples de limites de sous-ensembles 4

3. Exemples ´el´ementaires de tribus 5

4. Tribus et partitions6

5. Tribus et topologies8

9. Exemples d"applications mesurables 9

10. Tribu image r´eciproque 10

11. Tribu image directe11

13. Partitions, extractions et mesurabilit´e 12

15. Mesure invariante par une application * 12

16. Le th´eor`eme de r´ecurrence de Poincar´e 14

17. Entropie d"une partition 16

18. Pourquoi la tribu bor´elienne ? 17

20. Une mesure diffuse purement atomique 18

24. L"ensemble de Cantor * 19

1. Exemples ´el´ementaires 22

2. Un exemple bˆete23

3. In´egalit´e de Fatou stricte 25

4. Un crit`ere d"int´egrabilit´e 25

5. Une application du th´eor`eme de convergence monotone 27

6. Une application du th´eor`eme de convergence domin´ee 28

7. Int´egration par rapport `a une mesure image 28

8. Centre de masse31

9. Noyaux probabilistes32

1. Int´egrales et primitives 36

2. Passages `a la limite dans une int´egrale 38

3. Interversions d"une somme de s´erie et d"une int´egrale 39

4. D´erivation sous le signe somme 41

5. Calcul d"un ´equivalent par la m´ethode de Laplace 42

TABLE DES MATI`ERES3

6. Formule de Stirling par la m´ethode de Laplace 43

8. Partie finie de Hadamard 45

9. D´erivation sous le signe somme - un cas pathologique simple 47

11. Des questions de sommabilit´e 48

12. Le th´eor`eme ergodique de Birkhoff (1931) 50

13. In´egalit´e de Jensen et entropie d"une partition 54

Chapitre 4. Produits de mesures 57

1. Questions ´el´ementaires 57

2. Carr´e de la mesure de comptage 57

3. Un contre-exemple au th´eor`eme de Fubini 58

4. Mesure d"un graphe58

5. Applications du th´eor`eme de Fubini 59

6. Calculs de volumes de solides 63

7. Int´egrale curviligne65

8. Int´egrale de surface67

10. Action lagrangienne et g´eod´esiques 69

11. Calcul d"une int´egrale multiple 73

12. Propri´et´es ´el´ementaires des fonctions Γ etBet application `a une formule sommatoire

13. Variables al´eatoires ind´ependantes * 77

14. Exemples de produits de convolution 79

15. Convol´ee de probabilit´es de Poisson * 80

1. Application de l"in´egalit´e de Cauchy-Schwarz 82

2. Convergence simple et convergence dansLp82

3. NormesLp83

4. S´eries de Fourier dansL2* 84

5. Esp´erance conditionnelle et th´eor`eme ergodique de Birkhoff * 88

Chapitre 6. La transform´ee de Fourier 92

1. Calculs et propri´et´es ´el´ementaires 92

2. R´egularit´e de la transform´ee de Fourier 93

4. Non surjectivit´e de la transformation de Fourier 94

5.´Equation de propagation 95

6.´Equation de diffusion de la chaleur 96

8.´Equivalent d"une int´egrale de Fresnel 100

9. Rotations irrationnelles et s´eries de Fourier 102

10. Th´eor`eme central limite 103

CHAPITRE 1

Int´egrale de Riemann. Tribus. Mesures

Sommaire

1. Rappels tr`es succints surl"int´egrale de Riemann 2

2. Exemples de limites de sous-ensembles4

3. Exemples ´el´ementaires de tribus5

4. Tribus et partitions6

5. Tribus et topologies8

9. Exemples d"applications mesurables9